22.1一元二次方程（基础篇） 讲义 2025-2026学年华东师大版（2012） 数学九年级上册

该初中数学讲义以思维导图系统梳理一元二次方程的核心知识，涵盖定义、一般形式、项与系数特征等基础概念，按“概念内涵-结构特征-应用要素”的逻辑层次构建知识框架，清晰呈现重难点分布与内在联系。 复习资料的亮点在于分题型整合各地期中真题，设计“定义判断-系数确定-参数求解-方程解验证”的递进式练习，如“由定义求参数”题（若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为）培养抽象能力与推理意识。通过基础题型到综合应用的梯度设置，助力基础薄弱学生巩固核心概念，为教师实施精准分层教学提供优质素材。

22.1一元二次方程 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 一元二次方程的一般形式：． 它的特征：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零． 叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项． 型 习 练 题 一元二次方程的定义 1．（25-26九年级上·广西玉林·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】解：∵ 选项A：，未知数次数为1，是一元一次方程； 选项C：，二次项系数a可能为0，故不一定是一元二次方程； 选项D：，含有两个未知数，是二元一次方程； 选项B：，只含一个未知数，且最高次数为2，符合一元二次方程定义． ∴ 属于一元二次方程的是选项B． 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，关键对定义的理解； 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项. 【详解】解：∵一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为；③整式方程. 选项A：含有两个未知数和，不符合①； 选项B：含有分式，不是整式方程，不符合③； 选项C：未知数的最高次数为，不符合②； 选项D：只含未知数，最高次数为，且为整式方程，符合定义； ∴ 故答案是：D. 3．（25-26九年级上·新疆昌吉·期中）方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．1，， 0 B．，1，0 C．，1，1 D．，1， 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据一般式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，进行分析，即可作答． 【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，1，， 故选：D 4．（25-26九年级上·重庆·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，关键是判断一元二次方程时，需确保方程是整式形式，且未知数的最高次数为； 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次项次数为的整式方程）逐一判断各选项. 【详解】∵ 一元二次方程需同时满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次项次数为；③为整式方程； 选项A：方程中含有两个未知数和，不符合①； 选项B：方程只含未知数，最高次数为2，且为整式方程，符合定义； 选项C：方程整理为：，分母含有未知数，不是整式方程，不符合③； 选项D：方程中未知数的最高次数为3，不符合②； ∴正确答案是：B. 故选：B. 5．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）下列方程中属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）进行判断即可． 【详解】解：A选项可化为，是一元二次方程，故符合题意； B选项中含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； C选项中含有两个未知数x和y，不是一元二次方程，故不符合题意； D选项中，a为字母系数，若则不是二次方程，不一定是一元二次方程，故不符合题意； 故选A． 判断是否是一元二次方程 6．（24-25八年级下·甘肃武威·月考）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程是一元二次方程，符合题意； D、，方程是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 7．（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，利用去括号和移项把方程整理成（为常数，且）即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴将一元二次方程化成一般形式为， 故选：． 8．（24-25九年级上·四川广元·期末）将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项，将方程化为的形式即可． 【详解】解：， ∴； 故选D． 9．（2025·四川泸州·一模）把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 将方程左边展开，然后移项，化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． 10．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 【答案】D 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可进行解答． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，， 故选：D． 由定义求参数 11．（25-26九年级上·广西南宁·期中）一元二次方程的二次项系数是（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】A 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式． 一元二次方程的一般形式为，其中二次项系数是项的系数，据此求解即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是1． 故选：A． 12．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判定条件是未知数的最高次数为2且二次项系数不能为零． 根据一元二次方程的判定条件列式求解即可． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， ∴，即． 又∵ 二次项系数 ， 当时，，不符合条件； 当时，，符合条件． ∴ ． 故选B． 13．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如果方程，是关于x的一元二次方程，那么m的值为（    ） A． B．3 C． D．0 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，即可求解． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得． 故选：C． 14．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ）． A．1 B．－1 C． D．不存在 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需同时满足次数和系数条件．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴ 且， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 15．（25-26九年级上·四川成都·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数是（    ）． A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式，其中 a为二次项系数、为一次项系数、c为常数项是解题的关键． 直接根据一元二次方程的一般式的定义求解即可． 【详解】解：∵方程可写为， ∴一次项系数为． 故选D． 判断是否是方程的解 16．（25-26九年级上·云南昆明·期中）下表是某同学求代数式的值的情况，根据表中的数据，可知方程的根是（    ）． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C．， D．， 【答案】D 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】此题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，直接找出使代数式的值等于2的值，这些值即为方程的根． 【详解】由表格可知，当时，；当时，． ∴方程的根是， ． 故选：D． 17．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 18．（25-26九年级上·河南许昌·阶段练习）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（    ） A．6，3 B．6， C．3， D．6， 【答案】C 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：C． 19．（25-26九年级上·海南·期中）下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键． 根据二次方程根的性质，两根为和的方程可写为，展开后即为，判断即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， 方程可表示为，展开得． 故选：． 20．（25-26九年级上·天津津南·阶段练习）若是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，代数式求值等知识，利用方程根的定义，将所求表达式变形后整体代入求值． 【详解】解：∵ m是方程 的根， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 化成一元二次方程的一般式 21．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需通过展开和移项化为标准形式． 根据一元二次方程的一般形式（），将方程左边展开并移项整理． 【详解】， 展开得， 移项得。 一般形式为， 故选C． 22．（江西省部分学校2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项的系数为1，则一次项系数是（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，通过乘以使二次项系数为1，再确定一次项系数． 【详解】解：∵ 原方程：， 展开：， 移项：， 为使二次项系数为1，乘以：， ∴ 一次项系数为． 故选：B． 23．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式（，且a、b、c均为常数），掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 去括号、移项，使等号右边为0，化为一元二次方程的一般形式，对比选项即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 故选：D． 24．（25-26九年级上·河南郑州·期中）方程的一次项系数是（　　） A． B．4 C．0 D．9 【答案】C 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；一元二次方程的一般形式为，其中是一次项系数，给定方程中无项，因此一次项系数为0，因此问题可求解． 【详解】解：∵方程 可化为， ∴一次项系数为0； 故选C． 25．（25-26九年级上·广西南宁·期中）一元二次方程的二次项系数是（   ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式．根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解． 【详解】解：∵ 方程 中， 项的系数为3， ∴ 二次项系数是3． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.1一元二次方程 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 一元二次方程的一般形式：． 它的特征：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零． 叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项． 型 习 练 题 一元二次方程的定义 1．（25-26九年级上·广西玉林·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·新疆昌吉·期中）方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．1，， 0 B．，1，0 C．，1，1 D．，1， 4．（25-26九年级上·重庆·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）下列方程中属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 判断是否是一元二次方程 6．（24-25八年级下·甘肃武威·月考）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·四川广元·期末）将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·四川泸州·一模）把一元二次方程化成一般式为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 由定义求参数 11．（25-26九年级上·广西南宁·期中）一元二次方程的二次项系数是（    ） A．1 B．2 C． D．0 12．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 13．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如果方程，是关于x的一元二次方程，那么m的值为（    ） A． B．3 C． D．0 14．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ）． A．1 B．－1 C． D．不存在 15．（25-26九年级上·四川成都·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数是（    ）． A． B．0 C．1 D．2 判断是否是方程的解 16．（25-26九年级上·云南昆明·期中）下表是某同学求代数式的值的情况，根据表中的数据，可知方程的根是（    ）． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C．， D．， 17．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·河南许昌·阶段练习）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（    ） A．6，3 B．6， C．3， D．6， 19．（25-26九年级上·海南·期中）下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26九年级上·天津津南·阶段练习）若是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 化成一元二次方程的一般式 21．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（江西省部分学校2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项的系数为1，则一次项系数是（   ） A．1 B． C．3 D． 23．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26九年级上·河南郑州·期中）方程的一次项系数是（　　） A． B．4 C．0 D．9 25．（25-26九年级上·广西南宁·期中）一元二次方程的二次项系数是（   ） A． B．1 C．3 D．4 学科网（北京）股份有限公司 $