22.1 一元二次方程 课件　　2023—2024学年华东师大版数学九年级上册

22.1 一元二次方程 华东师大版九年级上册 第22章 一元二次方程 学习目标： 1. 知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二 次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）. 2. 在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问 题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工 具，增加对一元二次方程的感性认识. 学习重点： 判定一个数是否是方程的根. 学习难点： 由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根. 什么是方程的解？ 使方程左右两边相等的未知数的值，就叫做方程的解. 什么叫做一元一次方程？ 只含有一个未知数，并且未知数的次数为“1”的整式方程，叫做一元一次方程.它的一般形式是：ax﹢b﹦0(a，b为常数，a ≠ 0). 复习导入 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 推进新课 问题1 我们已经知道可以运用方程解决实际问题． 分析 设长方形绿地的宽为 x 米，不难列出方程： x ( x + 10 ) = 900， 整理得 x2 + 10x – 900 = 0 . （1） 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 问题2 设这两年的年平均增长率为 x . 已知去年年底的图书数是 5 万册，则今年年底的图书数是 5(1 + x) 万册. 同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的 (1 + x) 倍，即 5(1 + x)(1 + x) = 5(1 + x)2 (万册). 可列得方程 5(1 + x)2 = 7.2， 整理可得 5x2 + 10x - 2.2 = 0. 分析 （2） 思考 得到的这两个方程都不是一元一次方程 . 那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们又有什么共同特点呢？ x2 + 10x – 900 = 0 （1） 5x2 + 10x - 2.2 = 0（2） 共同特点： （1）都是整式方程 （2）只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2 x2 + 10x – 900 = 0 （1） 5x2 + 10x - 2.2 = 0（2） 思考 一元二次方程的一般形式： ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 a ≠ 0 概括 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程 . x2 + 10x – 900 = 0 （1） 5x2 + 10x - 2.2 = 0（2） 指出方程（1）（2）的二次项系数、一次项系数和常数项. 10 – 900 1 10 – 2.2 5 1. 判断下列方程是否为一元二次方程： ① 1 – x2 = 0 ② 2(x2 – 1) = 3y ③ 2x2 – 3x – 1 =0 ④ ⑤ (x + 3)2 = (x – 3)2 ⑥ 9x2 = 5 – 4x 是 不是 是 不是 不是 是 ①方程是整式方程；②只含有一个未知数； ③可化为 ax2 + bx + c = 0（ a ≠ 0 ）的形式； 小结：判断一个方程是否是一元二次方程，要把握三点： 练习 2. 试比较下面两个方程的异同： 方程 相同点 不同点 概念 是否 是整式方程 未知数个数 未知数的最高次数 5x = 20 x2+10x–900=0 是 是 1 1 1 2 一元一次方程 一元二次方程 3.已知关于 x 的一元二次方程 (m-2) x2 + 3x + m2 -4 = 0有一根是 0，求 m 的值. 一根是 0，即 x = 0，只需把 x = 0 代入原方程. 分析 把 x = 0 代入原方程得m2 – 4 = 0，即 m = ± 2. 又 m – 2 ≠ 0，∴ m = – 2. 解 随堂演练 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. （1）5x2 – 1 = 4x （2）4x2 = 81 （3）4x(x+2)= 25 （4）(3x – 2)(x+1)= 8x – 3 解：（1）5x2 – 4x – 1 = 0； （2）4x2 – 81 = 0； 5， – 4， – 1 4，0， – 81 （3）4x2 + 8x – 25 = 0； 4，8， – 25 （4）3x2 – 7x + 1 = 0； 3， – 7，1. （3）4x(x+2)= 25 （4）(3x – 2)(x+1)= 8x – 3 2.根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长 x ； （2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长 x ； 解：（1）4x2 = 25； （2）x（x – 2）= 100； 一般形式: x2 – 2x – 100 = 0； 一般形式:4x2 – 25 = 0； （3）x·1 = ( 1 – x )2； 一般形式： x2 – 3x + 1 = 0. （3）把长为 1 的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长 x . 3.若 x = 2 是方程 ax2 + 4x – 5 = 0 的一个根，求 a 的值. 解：∵x = 2 是方程 ax2 + 4x – 5 = 0的一个根. ∴4a + 8 – 5=0 解得 一元二次方程的一般形式： ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 a ≠ 0 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程 . 课堂小结 课后作业 1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题. 教学反思 学习本课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内，小组之间充分交流后概括所得结论，从而强化学生对一元二次方程的有关概念的认识，掌握建模思想，利用一元二次方程解决实际问题. $$