21.3二次根式的加减（基础篇）讲义 2025-2026学年华东师大版（2012） 数学九年级上册

本讲义聚焦初中数学“二次根式的加减”核心知识点，前承二次根式化简（化为最简二次根式），后续混合运算及化简求值，通过“一化二找三合并”的加减步骤和“一分二移三化”的化简方法搭建学习支架，配套思维导图梳理知识逻辑。 资料以“30分提至70分”为提分导向，针对基础薄弱学生设计，分“同类二次根式识别、加减运算、混合运算、化简求值”等题型，通过阶梯式练习培养运算能力与推理意识，思维导图助力几何直观与抽象能力发展。课中辅助教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用与模型意识。

21.3二次根式的加减 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 2. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 3. 二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 型 习 练 题 同类二次根式 1．已知m为正整数，如果与是同类二次根式，那么m的最小值是（    ）． A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，利用二次根式的性质化简，解题的关键在于正确掌握同类二次根式定义． 根据同类二次根式需化简后根号内部分相同．先将化简为，则需可化为（k为正整数）形式，即m需为3乘以一个完全平方数．求m的最小值，即取最小完全平方数1，进而即可得到m的最小值． 【详解】解：∵， ∴ 化简后根号内部分为3． ∵ 与是同类二次根式， ∴ 可化为（k为正整数），即． 当时，为最小值． ∴ m的最小值为3． 故选：B． 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，同类二次根式需化简后被开方数相同，因此将各选项化简，判断根号内是否为3即可，熟练掌握同类二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，根号内为30，不是3，故不是同类二次根式，不符合题意； B、，化简后根号内为3，是同类二次根式，符合题意； C、，根号内为2，不是3，故不是同类二次根式，不符合题意； D、，已是最简，根号内为13，不是3，故不是同类二次根式，不符合题意； 故选：B． 3．下面与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，同类二次根式的判断，解题的关键是掌握二次根式的化简方法，最简二次根式的特征，以及同类二次根式的定义．先将各个选项化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可解答． 【详解】解：A、是最简二次根式，但与不是同类二次根式，不符合题意； B、与是同类二次根式，符合题意； C、与不是同类二次根式，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：B． 4．下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简二次根式，同类二次根式的判断，分母有理化，分别化简和计算出四个选项中式子的值，若被开方数是3则可以与合并，据此可得答案． 【详解】解：A、能与合并，不符合题意； B、能与合并，不符合题意； C、不能与合并，符合题意； D、能与合并，不符合题意； 故选：C． 5．下列二次根式中与不是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式，根据二次根式的性质化简是解题的关键． 将各个选项化为最简二次根式，判断是否为同类二次根式即可． 【详解】A、，故A选项符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、，故D选项不符合题意； 故选：A． 二次根式的加减运算 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算规则，二次根式的加减法需要合并同类二次根式，乘除法需遵循根号内数值运算的法则，通过直接计算可判断各选项的正误． 【详解】A、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误。 D、，故该选项正确； 故选：D． 7．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算．根据二次根式的加减乘除运算法则计算解答即可． 【详解】解：A、不是同类二次根式，无法计算，本选项不符合题意； B、不是同类二次根式，无法计算，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 8．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟知运算法则是解题的关键．根据算术平方根的定义和二次根式的运算法则，逐一计算或比较各选项，判断其正确性即可． 【详解】对于A：∵，∴ A错误； 对于B：∵不可合并，且，∴ B错误； 对于C：∵，∴ C错误； 对于D：∵，∴D正确． 故选：D． 9．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算；选项A和B涉及加减法，需同类根式才能合并；选项C和D涉及乘除法，需遵循二次根式运算法则，仅选项C计算正确． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故错误； B、，故错误； C、，故正确； D、，故错误． 故选：C． 10．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握相关知识是解题的关键．根据二次根式的运算法则，逐一解答即可． 【详解】解：A．不能合并，不符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，符合题意； 故选：D． 二次根式的混合运算 11．下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简与运算，解题的关键是掌握二次根式的化简和运算法则． 根据二次根式的性质逐一判断，注意算术平方根的非负性和分母有理化． 【详解】解：∵ 对于选项A：， ∴ 正确，符合题意； 对于选项B：， ∴ 错误，不符合题意； 对于选项C：， ∴ 错误，不符合题意； 对于选项D：， ∴ 错误，不符合题意； 故选：A． 12．化简的结果是（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行合并即可． 【详解】解：原式 ． 13．的倒数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查倒数的概念，熟练掌握倒数的概念为解题的关键． 求一个数的倒数，即计算其倒数，进行分母有理化，据此计算求解即可． 【详解】解：倒数为， 分子、分母同乘得： 则的倒数为． 故选：A． 14．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的性质，分母有理化，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．根据二次根式的性质和运算法则，进行计算即可． 【详解】解：A．，计算正确，故此选项不符合题意； B．，计算正确，故此选项不符合题意； C．，计算正确，故此选项不符合题意； D．，原计算错误，故此选项符合题意． 故选：D． 15．的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的概念，分母有理化，解题的关键是熟练掌握概念． 根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据这个求倒数，然后进行分母有理化即可得到答案． 【详解】解：根据倒数的定义可得， 则， 故选：A． 比较二次根式的大小 16．比较大小： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握把根号前面的数变成它的平方移到根号内．先把各个根号前面的数变成它的平方移到根号内，然后比较被开方数的大小，从而比较其算术平方根的大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴，即， 故答案为：． 17．比较大小： （填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．先把根号外的因式移入根号内，再根据实数的大小比较方法比较大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 即 故答案为：． 18．比大小： （填写“＞”、“=”、或“＜”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，对于带根号的无理数的大小比较，可以利用平方法先转化为有理数的大小比较． 通过比较两数的平方值，根据平方后的大小关系推断原数的大小即可． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ． 故答案为． 19．比较大小： 【答案】> 【分析】该题考查了二次根式比较大小，通过比较两数的平方值，根据正数平方大的原数也大，判断大小关系． 【详解】解：∵ ， ，且， ∴ ． 故答案为：>． 20．比较大小：填“>”、“<”或“=” ； 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，如果有无理数比较大小时，可以采用平方法、比差法、立方法等．对于第一个比较，利用正负数的大小关系；对于第二个比较，通过平方比较两个正无理数的大小． 【详解】对于第一个空：因为 是负数，而 是正数， ∵负数小于正数， ∴． 对于第二个空：计算平方值，，，由于 ，且两数均为正数，所以 ． 分母有理化 21．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)1 【分析】本题主要考查实数的混合运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算括号内的，再计算除法即可； （2）原式先计算乘方，再进行加减运算 即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）先分别进行分母有理化、立方根运算、化简绝对值、零指数幂，然后合并计算即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 23．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键． （1）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可； （2）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）将各个二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）利用二次根式四则混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 25．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，分式的化简，二次根式的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 先将分子进行因式分解，然后约分，再进行加减计算． 【详解】解： ． 化简求值 26．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值．先对分式进行化简，然后代入x、y的值进行计算即可． 【详解】解：原式 当，时，原式． 27．已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了分母有理化、通过对完全平方公式变形求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）利用分母有理化将化简，得到，，再利用完全平方公式变形求值即可； （2）先求出的值，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴，， ∴； （2）解：由（1）得，，， ∴， ∵， ∴． 28．先化简，后求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简求值是解题的关键． 把原式化简，分母有理化得，通分化简后，把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 29．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先根据二次根式的性质及运算法则化简，再将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 30．先化简，再求值，已知，，求：的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化， 先分母有理化求出x，y，再因式分解代入求值即可． 【详解】解：，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3二次根式的加减 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 2. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 3. 二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 型 习 练 题 同类二次根式 1．已知m为正整数，如果与是同类二次根式，那么m的最小值是（    ）． A．2 B．3 C．6 D．8 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下面与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．下列二次根式中，不能与合并的是（ ） 5．下列二次根式中与不是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 二次根式的加减运算 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 二次根式的混合运算 11．下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 12．化简的结果是（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 13．的倒数是（） A． B． C． D． 14．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 15．的倒数是（    ） A． B． C． D． 比较二次根式的大小 16．比较大小： （填“”，“”或“”）． 17．比较大小： （填“”、“”、“”）． 18．比大小： （填写“＞”、“=”、或“＜”）． 19．比较大小： 20．比较大小：填“>”、“<”或“=” ； 分母有理化 21．计算： (1)； (2)． 22．计算： (1)； (2)． 23．计算： (1)； (2)． 24．计算： (1)； (2)． 25．计算： 化简求值 26．已知，，求的值． 27．已知，求下列代数式的值． (1) (2) 28．先化简，后求值：，其中． 29．先化简，再求值：，其中 30．先化简，再求值，已知，，求：的值． 学科网（北京）股份有限公司 $