21.2二次根式的乘除（基础篇） 讲义 2025-2026学年华东师大版(2012) 数学九年级上册

本讲义聚焦二次根式的乘除法则及最简二次根式，系统梳理乘法法则（被开方数相乘、根指数不变，结果化简）、除法法则（分母有理化）及最简二次根式条件，形成从概念到应用的学习支架。 针对基础薄弱学生，含思维导图辅助知识构建，通过实例推导法则培养推理意识，分层练习题提升运算能力。课中助教师分层教学，课后学生可针对性练习查漏补缺，落实核心素养。

21.2二次根式的乘除 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 二次根式的乘法运算 二次根式的乘法法则是：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（其中，）。这个法则的依据是平方根的乘法性质，因为如果a和b都是非负数，那么和分别表示a和b的算术平方根，它们的乘积的平方等于ab，所以乘积就是ab的算术平方根。在进行具体计算时，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数；若相乘的结果中被开方数含有能开得尽方的因数或因式，需要进行化简。例如，计算，根据法则可得；再如，先将化为，然后相乘得。 二次根式的除法运算 二次根式的除法法则为：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（其中，b > 0）。这里b不能为0，因为分母不能为0。同样，该法则也是基于平方根的除法性质。在运算过程中，若除得的结果中被开方数含有分母，通常要进行分母有理化，即将分母中的根号去掉。例如，计算，根据法则可得；再如，分母有理化可得。 最简二次根式 最简二次根式需要满足两个条件：第一，被开方数不含分母；第二，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。判断一个二次根式是否为最简二次根式，就看它是否同时符合这两个条件。如果被开方数含有分母，需要利用分式的基本性质和二次根式的性质将其化为不含分母的形式；如果被开方数含有能开得尽方的因数或因式，要将其开出来。例如，不是最简二次根式，因为12可以分解为，其中4是能开得尽方的因数，所以，就是最简二次根式；也不是最简二次根式，因为被开方数含有分母，化简可得，这才是最简形式。 型 习 练 题 二次根式的乘法 1．计算：（    ） A．6 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 根据次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵ （其中 ）， ∴ ． 故选：B． 2．的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理化因式． 有理化因式的定义是两个含有根式的式子相乘后结果为有理式．对于形如的根式，其有理化因式通常为本身，因为，结果不含根号． 根据有理化因式的定义作答即可． 【详解】解：的一个有理化因式是． 故选： D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查基本运算，包括乘方、平方差公式、同底数幂除法、二次根式的乘法和零次幂的性质．根据相关运算法则计算即可． 【详解】解： A、，∴ A错误． B、，∴ B正确． C、，∴ C错误． D、任何非零数的零次幂等于1，，∴ D错误． 故选：B． 4．计算的结果是（   ） A． B．6 C．8 D．4 【答案】D 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键，利用平方根的性质 计算即可得到答案． 【详解】解：∵ ， 故选：D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，立方根，二次根式的运算，根据相关定义和运算法则，逐一进行计算即可． 【详解】解：A、没有意义，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选D． 最简二次根式的判断 6．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不能含有分母或能开得尽方的因数，选项A和B的被开方数含有分数或小数，选项D能够化简，只有选项C满足条件． 【详解】解：∵ 最简二次根式要求被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数． A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 7．下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式定义，准确判断是解题的关键． 根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数），逐一判断各选项． 【详解】选项中， = ，被开方数含分母，不是最简； 选项中，，可化简为整数，不是最简； 选项中，，可化简，不是最简； 选项中，，被开方数7是质数，无平方因数，是最简二次根式； 故选． 8．下列四个选项中，属于最简二次根式的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义，掌握知识点是解题的关键． 最简二次根式需满足两个条件：①根号下不含分母；②根号下的数不含平方因子（即不能写成某个整数的平方与另一个整数的乘积），逐项分析判断即可． 【详解】解：A．，根号下含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B．，根号下无平方因子（2不能被任何大于1的整数平方整除），是最简二次根式，符合题意； C．，根号下含平方因子4，不是最简二次根式，不符合题意；； D．，分母含根号，不是最简二次根式，不符合题意；． 故选B． 9．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，逐项分析即可得解，熟练掌握最简二次根式需要满足的条件是解此题的关键． 【详解】解：A、，含能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，不符合题意； B、中，被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； C、中，被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，故符合题意； 故选：D． 10．下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对最简二次根式的理解，被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分数的二次根式叫做最简二次根式；根据最简二次根式的定义（被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分数），逐一判断即可得答案． 【详解】A.，故该选项不是最简二次根式，不符合题意， B.，故该选项不是最简二次根式，不符合题意， C.，是最简二次根式，符合题意， D.，故该选项不是最简二次根式，不符合题意， 故选：C． 化为最简二次根式 11．下列二次根式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简． 根据二次根式的性质，对各选项进行化简判断即可． 【详解】解：A．，原化简不正确，不符合题意； B．， 原化简不正确，不符合题意； C．，原化简正确，符合题意； D． ，原化简不正确，不符合题意． 故选：C． 12．下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，解题的关键是掌握最简二次根式的定义. 利用最简二次根式的定义逐项进行判断即可，即被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式. 【详解】解：A.，该选项不是最简二次根式，不符合题意； B.该选项是最简二次根式，符合题意； C. ，该选项不是最简二次根式，不符合题意； D. ，该选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B. 13．下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B 14．下列根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含分母，被开方数中不含能开方开得尽的因式或因数，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，被开方数中含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 15．化为最简二次根式是（ ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须同时满足以下条件：“被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 二次根式的除法 16．下列二次根式中不能再化简的二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了最简二次根式以及化为最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、是不能再化简的二次根式，本选项符合题意； 故选：D． 17．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算规则，运用定义判断法，解题关键是准确掌握二次根式的运算性质，易错点是混淆同类二次根式及运算公式，解题思路是依据二次根式的加减、乘除及化简规则逐一分析选项． 【详解】解：选项A：和不是同类二次根式，不能直接相加， ，不符合题意； 选项B：，，不符合题意；    选项C：，，不符合题意； 选项D：， 符合题意； 故选：D． 18．已知长方体的体积，高，则它的底面积S为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式除法的应用，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 根据长方体的底面积等于体积除以高列式计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 19．如图所示，的顶点、、在边长为的正方形网格点上，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据图形和三角形的面积公式求出三角形的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，由勾股定理得： ， 根据的面积，得： ， 即：， 解得：． 故选：C． 20．估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的除法、算术平方根的估算，先根据二次根式的除法运算法则计算，再估算的范围即可解答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即的值应在3和4之间， 故选：D． 二次根式的乘除混合运算 21．计算的结果是（   ） A．±2 B．±4 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则、算术平方根计算等方法求解，需注意运算规则的正确应用． 【详解】解：． 故选：C． 二、解答题 22．计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握开平方和实数的乘除运算是解题的关键，先利用开平方将式子化简，再利用实数的乘除混合运算法则计算即可得到答案． 【详解】解： ． 23．计算：（）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算；根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 24．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算． 根据二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变计算，再把结果化为最简二次根式． 【详解】解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2二次根式的乘除 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 二次根式的乘法运算 二次根式的乘法法则是：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（其中，）。这个法则的依据是平方根的乘法性质，因为如果a和b都是非负数，那么和分别表示a和b的算术平方根，它们的乘积的平方等于ab，所以乘积就是ab的算术平方根。在进行具体计算时，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数；若相乘的结果中被开方数含有能开得尽方的因数或因式，需要进行化简。例如，计算，根据法则可得；再如，先将化为，然后相乘得。 二次根式的除法运算 二次根式的除法法则为：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（其中，b > 0）。这里b不能为0，因为分母不能为0。同样，该法则也是基于平方根的除法性质。在运算过程中，若除得的结果中被开方数含有分母，通常要进行分母有理化，即将分母中的根号去掉。例如，计算，根据法则可得；再如，分母有理化可得。 最简二次根式 最简二次根式需要满足两个条件：第一，被开方数不含分母；第二，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。判断一个二次根式是否为最简二次根式，就看它是否同时符合这两个条件。如果被开方数含有分母，需要利用分式的基本性质和二次根式的性质将其化为不含分母的形式；如果被开方数含有能开得尽方的因数或因式，要将其开出来。例如，不是最简二次根式，因为12可以分解为，其中4是能开得尽方的因数，所以，就是最简二次根式；也不是最简二次根式，因为被开方数含有分母，化简可得，这才是最简形式。 型 习 练 题 二次根式的乘法 1．计算：（    ） A．6 B． C． D．1 2．的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（   ） A． B．6 C．8 D．4 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 最简二次根式的判断 6．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 7．下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A．​ B．​ C．​ D．​ 8．下列四个选项中，属于最简二次根式的是（） A． B． C． D． 9．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 10．下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 化为最简二次根式 11．下列二次根式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 12．下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 13．下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 14．下列根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 15．化为最简二次根式是（ ） A． B．6 C． D． 二次根式的除法 16．下列二次根式中不能再化简的二次根式是（   ） A． B． C． D． 17．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 18．已知长方体的体积，高，则它的底面积S为（　　） A． B．2 C． D． 19．如图所示，的顶点、、在边长为的正方形网格点上，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 20．估计的值应在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 二次根式的乘除混合运算 21．计算的结果是（   ） A．±2 B．±4 C．2 D．4 二、解答题 22．计算： 23．计算：（）． 24．计算： 学科网（北京）股份有限公司 $