21.1二次根式（基础篇）讲义 2025-2026学年华东师大版（2012） 数学九年级上册

21.1二次格式 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 二次根式的概念：形如(a≥0)的式子叫做二次根式． 二次根式的性质： （1） a（a≥0）； （2） ≥0(a≥0)； （3） 型 习 练 题 二次根式的识别 1．下列各式中，一定是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 2．下列选项中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各式中，一定是二次根式的是(   ) A． B． C． D． 求二次根式的值 6．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 8．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 10．已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 求二次根式中的参数 11．已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 12．若是二次根式，则a，b应满足的条件是（    ） A．， B．， C． D． 13．已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 15．已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 二次根式有意义的条件 16．当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 17．若是二次根式，则的值不能为（   ） A． B． C． D． 18．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．若，则的值是（   ） A．5 B．1 C． D．2 20．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 利用二次根式的性质化简 21．下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 22．化简的结果是（   ） A． B．3 C． D．9 23．化简的结果是（    ） A． B．6 C． D． 24．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 25．下列各式正确的是（  ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.1二次格式 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 二次根式的概念：形如(a≥0)的式子叫做二次根式． 二次根式的性质： （1） a（a≥0）； （2） ≥0(a≥0)； （3） 型 习 练 题 二次根式的识别 1．下列各式中，一定是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的判断，根据形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、不含根号，不是二次根式，不符合题意； B、是三次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、无意义，不是二次根式，不符合题意； 故选C． 2．下列选项中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式定义是解题的关键．二次根式需满足被开方数非负且根指数为2．选项A被开方数为，符合；选项B被开方数x可能为负；选项C根指数为3；选项D被开方数为负，均不符合二次根式定义． 【详解】解：A、，所以是二次根式，故A选项符合题意． B、x可能小于0，所以不是二次根式，故B选项不符合题意． C、是三次方根不是二次根式，故C选项不符合题意． D、，所以不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：A． 3．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键，根据二次根式的定义：形如的式子是二次根式，据此判断即可求解． 【详解】解：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，该选项不符合题意； 、是二次根式，该选项符合题意； 、根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，该选项不符合题意； 、当时，是二次根式；当时，无意义，不是二次根式，故不一定是二次根式，该选项不符合题意； 故选：． 4．下列各式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式． 根据二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】A． 当时，即是二次根式； B． ，，即是二次根式； C． ，即是二次根式； D． 当时，即不一定是二次根式； 故选：D． 5．下列各式中，一定是二次根式的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据被开方数必须非负逐一分析各选项即可求解． 【详解】解：∵ 二次根式要求被开方数是非负数． 对于A：被开方数为，不符合； 对于B：根指数为3，是三次根式，不是二次根式； 对于C：∵，∴，恒成立，故一定是二次根式； 对于D：当时，，被开方数为负，不是二次根式． ∴ 只有C一定是二次根式． 故选：C． 求二次根式的值 6．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 7．二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式表示的是a的算术平方根，算术平方根是指正的平方根，其结果为非负数，据此判断即可． 【详解】解： 故选：B． 8．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 9．计算：（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算的值即可． 【详解】解：， 故选：C． 10．已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再根据是整数，即可得出答案． 【详解】解:∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴； ①，即， ②，即， ③，即， 综上所述，自然数n的值可以是3，6，7， ∴自然数的所有可能取值的和为． 故选：D． 求二次根式中的参数 11．已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次根式．由是整数，可设（为非负整数），则，且，故，枚举值进而求出的可能值，即可得出答案． 【详解】解：∵是整数， ∴设，其中为整数且， 则， ∴． 又∵是自然数， ∴，即， ∴， ∴可取0，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴的可能值为13，12，9，4，最小值为4． 故选：D． 12．若是二次根式，则a，b应满足的条件是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 利用二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：根据二次根式的性质得，， ∴， 故选：D． 13．已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数，以及二次根式的性质，把18分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 根据二次根式的性质进行整理分析，即可解题． 【详解】解：因为， 所以． 因为是整数， 所以正整数m的最小值是2． 故选：B． 14．如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可． 【详解】解：A、当时，，不是一个正整数，故此选项不符合题意； B、当时，，是一个正整数，故此选项符合题意； C、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； 故选：B． 15．已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数． 【详解】解： 要使是正整数， 即当时，． 故整数的最大值为2024． 故选：B． 二次根式有意义的条件 16．当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“二次根式有意义的条件”和“分式有意义的条件”​的综合应用，二次根式有意义，则被开方数；分式有意义的条件是分母；解答本题的关键在于是否考虑到两个条件都要同时满足，遗漏一个条件便不成立，这也是本题的易错点．本题可以直接将代入每一个选项，若得出分母为或者被开方数小于0，都是无意义的，即可排除选项． 【详解】A、，分母，代数式无意义，选项A不符合题意； B、，被开方数，且分母，代数式有意义；选项B符合题意； C、， 被开方数，代数式无意义，选项C不符合题意； D、，被开方数，代数式无意义，选项D不符合题意. 故选B． 17．若是二次根式，则的值不能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式非负性的性质，准确分析判断是解题的关键． 根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，即，判断即可． 【详解】解：是二次根式， ， ， 不可能是； 故选． 18．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的意义可得，求解即可，理解二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：． 19．若，则的值是（   ） A．5 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确解出的值，是解答本题的关键． 利用二次根式有意义的条件，得到，，代入即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 20．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，关键是掌握被开方数非负．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数， 即， ∴， 故选：A． 利用二次根式的性质化简 21．下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 22．化简的结果是（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的性质，准确计算是解题的关键． 根据算术平方根的定义，，因此先计算平方，再取非负平方根． 【详解】； 故选． 23．化简的结果是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据算术平方根的定义，，结果应为非负数． 【详解】解： ， 故选：B． 24．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握是解题关键． 【详解】解：， 故选：C． 25．下列各式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握它们的区别与联系是解题的关键． 根据平方根、算术平方根、立方根的定义，逐一分析每个选项的计算结果是否正确． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选： 学科网（北京）股份有限公司 $