新疆乌鲁木齐市第四十一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年第一学期高二数学期中考试卷 (本试卷满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1.答题前考生务必用黑色字迹签字笔将自己的姓名、考号写在试卷和答题卡相应位置上 2.答选择题时，用2B铅笔将答题卡对应的题目涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其 他答案，非选择题部分用黑色字迹签字笔写在答题卡相应区域上，写在本试卷上无效 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目的： 1.已知=(1，2)为直线的一个方向向量，=（2,1)为平面的一个法向量，若上， 则的值为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 2.过点(1,2)且垂直于直线-2+1=0的直线方程为() A.2+-4=0B.2-+4=0C.2+-8=0D.-2+4=0 3.若直线2+-1=0是圆(-)2+2=1的一条对称轴，则=() A. B.- C.1 D.-1 4.已知空间问量=(2，-1,1)，=(，3，-3)，若与的夹角是钝角，则的取值范围是 () A.(-∞，-6)U(-6,3) B.(-∞，3) C.(3,6)U(6,-∞) D.(3,+∞) 5.已知直线+2-4=0与直线2+++1=0平行，则它们之间的距离为() A.9 B.8 C.13/5 10 D.13V10 10 6.在四棱锥- 中，=(4，-2,3)，=(-4,1,0)，=(-3,1，-4)： 则这个四棱锥的高h等于() A.26 B.13 C.2 D.1 7.已知(-2,3)，(5，-4)，直线：+(+2)++4=0与线段有公共点，则的 取值范围是() A.[-5,2] B.引 C.（-∞，-]u2+∞) D.(-∞，-5]U[-2,+∞) 试卷第1页，共4页 8.过点(2√2,0)作直线与曲线=V4-2相交于，两点，为坐标原点，当△ 的面 积取最大值时，直线的斜率为() A.土 B.士 3 D.-V3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.已知直线1过点(0,2)，(3,1)，则() A.点(2，-1)在直线1上 B。直线1的两点式方程为号=。得 C.直线1的一个方向向量的坐标为(1，-3) D.直线1的截距式方程为25+2=1 10.点在圆1：2+2=1上，点在圆2：2+2-6+8+24=0上，则() A.两个圆的公切线有2条 B.1I的取值范围为[3,7] C.两个圆上任意一点关于直线4+3=0的对称点仍在对应圆上 D.1到两个圆的公共弦所在直线的距离为 11.如图，在正方体 一1111中，，，分别为棱1，，11的中点，则 下列结论正确的是() A.平面 截该正方体所得的截面为正三角形 B.平面 /平面11 C.直线与1所成角为 D.直线1与平面 所成角的正弦值为9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 试卷第2页，共4页 12.设1,2是空间两个不共线的非零向量，已知=21+2，=1+32，=21一 2,且，，三点共线，则实数k的值为 13.已知直线经过点(1,0,0)，且方向向量为=(1,0，-1)，则点(2,1，-1)到直线的距离 为 14.己知(2,5)，(-2,4)，动点P在直线：-2+3=0上.则|+|1的最小值 为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.己知空间三点(-2,0,2)，(-3,1,5)，(-1,3,4)，设=，= (1)若(+)1，求的值： (2)若向量满足1|=6，且1(-)，求向量的坐标. 16.已知直线1经过(1,0)、(5，-3)两点. (1)求直线1的方程： (2)设直线2：(-1)+(+1)+3=0，若112，求实数的值. 17.如图，在四棱柱 -1111中，11平面，1，/川，=1= 2, =1.M,N分别为1,11的中点. (1)求证：1/平面1： 试卷第3页，共4页 (2)求平面1与平面11夹角的余弦值： (3)求直线1到平面1的距离. 18.已知圆过点(-3，-2)和点(1，-6)，且圆心在直线++1=0上. (1)求圆的标准方程： (2)经过点(5，-3)作直线与圆相切，求直线的方程： (3)已知实数，满足圆的方程，求(-2)2+(-4)的最小值 19.已知圆C经过(0,1)，(4，)(>0)两点. (I)如果AB是圆C的直径，证明：无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点， 求出这个定点坐标， (2)己知点A关于直线=-3的对称点也在圆C上，且过点B的直线1与两坐标轴分别 交于不同两点M和N,当圆C的面积最小时，试求！|·|的最小值. 试卷第4页，共4页 《2025-2026学年第一学期高二数学期中考试卷》参考答案 题号 1 2 4 6 8 10 答案 B A A C D C C BD BC 题号 11 答案 BC 1.B 【分析】依题意可得/，即可得到=，再根据向量相等得到方程组，解得即可. 【详解】因为上，所以1，所以=，即1，2)=（克1）： （12 所以 解得{三1 =2 2 2= 故选：B. 2.A 【分析】根据两条互相垂直的直线的斜率相乘等于-1，先求出斜率，再根据点斜式写出直 线方程即可. 【详解】因为直线-2+1=0的斜率为=子所以与其垂直的直线的斜率‘=-2， 又因为直线过点(1,2)，所以直线方程为-2=-2(-1)，即2+-4=0. 故选：A 3.A 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解. 【详解】由题可知圆心为(，0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2+0-1= 0,解得= 故选：A. 4.A 【分析】根据题意，只需限制：数量积为负数且向量不能反向共线，即可解题 【详解】由题意可得·<0，且，不能反向共线， 则一3-0解得<-6或-6<<3 故选：A. 答案第1页，共10页 5.c 【分析】利用两直线平行求出，利用两平行线间的距离公式求出这两条直线之间的距离. 【详解】根据题意，直线+2-4=0与直线2+++1=0平行，则有=2× 2=4, 则两直线的方程分别为+2-4=0,2+4+5=0， 直线+2-4=0可化为2+4一8=0，则它们之间的距离=5+8=135 √4+16 10 故选：C 6.D 【分析】求出平面 的法向量，再利用点到平面的距离公式计算即得 【详解】设平面 的法向量=(，，)，则 ,12800令1海 (1,4), 所以这个四棱锥的高h=:」=1x-3+4x1+x(-4_是 12+42+2 ==1. 故选：D 7.A 【分析】先求出直线过的定点，再得到，，进而结合题意建立不等式，求解参数范 围即可 【详解】由+(+2)++4=0，得(++1)+2+4=0. 2+4, {-2 =1 则直线经过定点(1，-2)， 则 如图，设直线的斜率为，则之-或≤- 故C正确！ 答案第2页，共10页 故选：C 8.C 【分析】根据直线方程和曲线方程，判断面积最大时的情况，进而列出直线满足的条件，列 出方程，求出参数即可 【详解】由=V4-2,则≥0,2=4-2，即2+2=4（≥0）， 所以曲线=V4一2，是以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分，如图 可知△=引ll Isin2 ,因为|=|1=2， 则当△ 面积取最大值时，sinL =1,即1， 半圆2+2=4（≥0）的圆心为(0,0)，半径=2，此时1|=2V2, 所以圆心(0,0)到直线的距离为，=V2, 设直线的斜率为，则直线的方程为=（-2V2),<0, 圆心(0,0)到直线的距离=上2=V2, 2+1 解得=±号因为<0，所以=-9 故选：C. 9.BD 【分析】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C;写出直线的两点式和截距式判断B、D. 【详解】A:因为直线I过点(02.(3，)小，所以直线1的斜率为1=品=-号 设0,2），则=2四=-2≠1，故点(2-1)不在直线1上，错： 0-2 B:直线1的两点式方程为会=。 ，对： C:若直线1的一个方向向量的坐标为(1，-V3),则1=-3，与A分析不符，错； D:由B中两点式方程，整理得截距式方程为2万+2=1，对. 故选：BD 10.BC 【分析】根据题意确定圆心及半径，根据两圆位置关系逐项判断即可 答案第3页，共10页 【详解】易知圆1：2+2=1的圆心为1(0,0)，半径1=1， 将圆2：2+2-6+8+24=0化为(-3)2+(+4)2=1，可知圆心为2(3，-4)， 半径2=1， 对于A,易知12=5>1+2，可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条，故A错误： 对于B,易知1的最小值为12-1-2=3，最大值为12+1+2=7， 所以|PQ|的取值范围为[3,7]，故B正确； 对于C,显然两圆圆心1(0,0)，2(3，-4)都在直线4+3=0上， 因此直线4+3=0为两圆对称轴，故C正确： 对于D,由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，故D错误. 11.BC 【分析】分别取，11,1的中点为，，，连接各中点，求出平面 截该正方 体所得的截面为正六边形 判断A;利用面面平行的判定定理证明判断B;建立空间 直角坐标系，利用空间向量法来求线面夹角正弦，即可判断CD. 【详解】对于A,分别取，11,1的中点为，，，连接各中点，如下图所示： B B 因为∥11，∥，∥11，所以/1，同理/，/， 即可知，，，·，在同一平面内， 所以平面 截该正方体所得截面即为六边形 ,即A错误： 对于B,因为点，分别为11,11的中点，所以川11， 又丈平面11,11c平面11，所以/平面11 因为点，分别为11,1的中点，所以/11， 又1/1，所以/1，女平面11,1c平面11， 所以/平面11： 又 c平面 c平面 所以平面11/平面 ,即平面 /平面11，故B正确： 答案第4页，共10页 对于C,建立以为原点的空间直角坐标系一，如图所示： B 不妨取正方体 一1111的棱长为2， 则(0,1,2)，(1,2,0)，(2,0,1)，(2,2,0)，1(0,2,2)， 所以1=（-2,0,2)，=(2，-1，-1)， 所以直线ME与1所成的角的余弦值为cos(1, === 所以直线ME与1所成的角为经，故C正确： 对于D,由选项C可知， =(2,-1,-1), =(11-2), 设平面EFM的一个法向量为=(，，)， 则： =2--=0,取=1，则=1，=1， =+-2=0 所以平面EFM的一个法向量为=(1,1,1)，1=(0,0,2) 设直线1与平面 所成角为， 即直线1与平面 所成角的正弦值为停，故D错误。 故选：BC 12.-8 【分析】根据题意，化简得到=-1+42，由，，三点共线，可设=，利用 空间向量共线的充要条件，列出方程，即可求解 【详解】因为=1+32， =21-2 可得=+=（+3-(2-2=-t42 又因为，，三点共线，可设=，即21十2=(-1+42)， 因为，2不共线，可得三4，解得=一8。 答案第5页，共10页 所以实数的值为-8. 故答案为：-8. 13.1 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离的向量求法计算即得. 【详解】由题意可得与同向的单位向量=T=方(1,0，-1)， 设==（←1，-1,10，则2=3，= -2 点到直线的距离=、？-(=v3-2=1. 故答案为：1 14.35 【分析】借助线段和的几何意义求解即可」 【详解】设(2,5)关于直线对称对称点坐标为(，)， (+2-2×5+3=0 则2 x=-1 ，解得科三，即4。 11+11=1+11≥'=4+2)2+(1-4)2=35， 所以|+1的最小值为35. 故答案为：3v5. 15.(①)=-马 (2)(4,4,-2)或(-4，-4,2) 【分析】(1)写出两个向量的坐标，然后通过向量垂直的坐标公式求解； (2)通过向量平行设出向量的坐标、再通过向量的模长求解， 【详解】(1)由题意知==(-3,1,5)-(-2,0,2)=(-1,1,3)， ==(-1,3,4)-(-2,0,2)=(1,3,2), 所以+=(-1,1,3)+(1,3,2)=（-1,3+1,2+3)， 答案第6页，共10页