精品解析：四川省乐山市第五中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

乐山五中2025－2026学年度八上期中考试数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 81的平方根是（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平方根，一个正数的平方根有两个，互为相反数．81是正数，其平方根为． 【详解】∵，且， ∴ 81的平方根是． 故选：B． 2. 下列实数中，是无理数的是( ) A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义；根据无理数的定义，无限不循环小数为无理数，逐一判断各选项． 【详解】∵无理数是指无限不循环小数，不能写成分数形式； A. 是有理数； B.，是有理数； C. ，无限不循环小数，是无理数； D. ，是有限小数，是有理数． 故选：C． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式分别判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； D、，故选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握各自的运算法则． 4. 下列语句中的数学式子正确的是（ ） A. 7是49的算术平方根： B. 5是的算术平方根： C. 是36的平方根： D. 的平方根表示为： 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根和平方根的概念．算术平方根是非负的，平方根有两个值（一正一负）．选项A、C、D的数学式子均混淆了算术平方根与平方根的表达，只有选项B正确表述了算术平方根． 【详解】解：A、表示的平方根，应为，而非，故错误． B、，，且是的算术平方根，故正确． C、表示的算术平方根，应为，而非，故错误． D、表示的算术平方根，为，但平方根应为，故错误． 故选：B． 5. 下列命题中，是真命题的是( ) A. 若，则 B. 相等的角是对顶角 C. 两点之间线段最短 D. 若，则． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判断，A选项两负数相乘为正，故错误；B选项相等的角不一定是对顶角，故错误；C选项是公理，正确；D选项时，不一定，故错误． 【详解】解：A．若，，则， ∴不成立，假命题； B．对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角(如等腰三角形底角)，假命题； C．两点之间线段最短，是真命题； D．∵，当时，但也成立， 不成立，假命题． 故选：C． 6. 如图所示，以为圆心的圆交数轴于，两点，若，两点表示的数分别为，，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查数轴上两点间距离的问题，直接运用概念就可以求解． 【详解】解：∵，两点表示的数分别为，， ∴AB=AC=， ∴点表示的数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数与数轴，利用距离相等是解题的关键． 7. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是（　 　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的性质及算术平方根的性质求出a、b，b、c的关系，即可得解． 【详解】解：根据题意得，a2-2ab+b2=0，b-c=0， 解得a=b，b=c， 所以，a=b=c， 所以，△ABC的形状是等边三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． 8. 代数式的值（ ） A. 只与a，b有关 B. 只与a，c有关 C. 只与b，c有关 D. 与a，b，c都有关 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．根据单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，即可求解． 【详解】解： ， ∴代数式的值只与b，c有关， 故选：C． 9. 如图①，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为、的长方形纸片一张，其中．把纸片I、III按图②所示的方式放入纸片II内，已知图②中阴影部分的面积满足，则，满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用含a，b的代数式表示出S1，S2，即可得出答案． 【详解】由题意可得：S1=(a+b) 2-b2-a2=2ab，S2=(b-a)a=ab-a2， ∵， ∴2ab=8(ab-a2)， ∴2ab=8ab-8a2 ∴b=4b-4a ∴4a=3b， 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，用含a，b的代数式表示出S1，S2是解题关键． 10. 已知为自然数，且满足，则的取值不可能是（） A. 2 B. 3 C. 8 D. －7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． 将方程化简为同底数幂形式，比较指数得到和，列举所有自然数解计算的值，与选项对比找出不可能的值． 【详解】解：∵， ∴， 即． 又∵， ∴， ∴，． ∵为自然数（包括0）， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴可能值为、、、． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 比较大小（填“”“”或者“”） （1）__________ （2）3.14_____ （3）__________ 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了实数大小比较． （1）比较算术平方根，被开方数大的算术平方根大； （2）比较小数，的近似值大于； （3）通过计算估算的大小可得，进而比较和的大小． 【详解】解：（1） ∵ ， ∴ ， 故答案为：． （2） ∵ ， ∴， 故答案为：． （3）∵ ∴ ∴ 故答案为：． 12. 将“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式为______． 【答案】如果两个角是邻补角，那么这两个角互补 【解析】 【详解】解：命题“邻补角互补”的题设为：两个角是邻补角，结论为：这两个角互补， 因此改写为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补． 13. 计算：_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的乘法运算，根据单项式乘法的法则，将系数相乘，同底数幂的指数相加． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 若，，则为正整数，则值为_____ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的应用．利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将已知条件转化为同底数形式，再代入求值． 【详解】解：由，根据幂的乘方法则，． 由，得． 根据同底数幂的乘法法则，． 故答案为：． 15. （1）若，则_____ （2）已知，则_____ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方根； （1）利用完全平方公式，将已知条件平方后求解． （2）利用完全平方公式，求的平方，再根据平方根求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ 即 故答案为：． （2）∵，，： ∴ ∴ 故答案为：． 16. 我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期一．其中正确的序号有______． 【答案】①②③ 【解析】 【点睛】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，根据表中等式的项数和系数的和，找出规律可判断①；利用“杨辉三角”的规律解答可判断②③④，综上即可求解，找出规律是解题的关键． 【详解】解：①∵，展开式有项，系数的和为， ，展开式有项，系数的和为:， ，展开式有项，系数的和为， ，展开式有项，系数的和为， ，展开式有项，系数的和为， ， ∴展开式有项，系数的和为，故①正确； ②∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴， 当代数式的值是时，， 解得，故③正确； ④∵， ∴展开式中除最后一项，均含有因数，都能被整除，展开式的最后一项为， ∴的余数与的余数相同， ∵， ∴的余数为， ∴的余数为， ∴如果今天是星期一，那么天后是星期日，故④错误； 综上，正确的序号有①②③， 故答案为：①②③． 三、简答题（每小题9分，共27分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据平方根的定义解方程． （1）根据算术平方根、绝对值的性质、立方根的定义分别化简，再合并即可求解； （2）根据平方根的定义解方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ∴， 解得：或． 18. （1）计算：； （2）用乘法公式计算：； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，熟练掌握运算法则和平方差公式是解题关键． （1）根据同底数幂的乘法，积的乘方以及单项式除以单项式进行计算即可求解； （2）利用平方差公式计算即可得． 【详解】解：（1） （2） ． 19. 分解因式： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）直接提公因式，即可求解． （2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 四、简答题（每小题10分，共30分） 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，算术平方根和绝对值的非负性，先根据整式的混合运算化简，再根据非负数的性质求得，代入代数式，即可求解． 【详解】解： ， ∵，，， ∴， ∴，， ∴原式． 21. 文字解答题 （1）若，都是实数且，求的平方根； （2）实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查实数与数轴，算术平方根的化简，绝对值的化简，立方根，平方根的定义． （1）根据二次根式的性质求出的值，再代入，结合平方根的定义即可解答； （2）根据数轴上实数a，b，c的位置，得到，再分别化简计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意：，解得， ∴， ∴， ∴的平方根为； 【小问2详解】 解：根据题意得：，， ∴，，， ． 22. 定义，如． （1）若，求的值； （2）若的值与无关，求值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义将化为，解方程即可得到答案； （2）根据定义得到，再由的值与无关，得到方程组求解即可得到答案． 【小问1详解】 解： ， ，即， 解得； 【小问2详解】 解： ， ， 的值与无关， ， 解得， ． 【点睛】本题考查新定义运算，涉及解方程及方程组、整式运算、多项式无关项问题等知识，读懂题意，掌握新定义运算，灵活转化为解方程及解方程组问题是解决问题的关键． 五、简答题（每小题10分，共20分） 23. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，因此4、12、20都是这种“神秘数”． （1）44和1612这两个数是“神秘数”吗？试说明理由； （2）试说明神秘数能被4整除； （3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由． 【答案】（1） 是，理由如下： 神秘数为两个连续偶数的平方差，设连续偶数为和（）， 则． 神秘数必为乘以一个奇数． ，为奇数，故是神秘数（对应，偶数为和）． ，为奇数，故是神秘数（对应，偶数为和）． （2） 神秘数可表示为， 神秘数是的倍数，故能被整除． （3） 两个连续奇数的平方差不是神秘数，理由如下： 设两个连续奇数为和（为整数）， 则． 连续奇数的平方差为，是的偶数倍． 而神秘数为，是的奇数倍． 的偶数倍的奇数倍， 两个连续奇数的平方差不是神秘数． 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式以及完全平方公式的应用，因式分解的应用； （1）神秘数定义为两个连续偶数的平方差，可表示为的形式，其中为非负整数．和均满足此形式，因此是神秘数． （2）神秘数可化为，显然是的倍数，因此能被整除． （3）两个连续奇数的平方差可化为，是的偶数倍，而神秘数是的奇数倍，因此不是神秘数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 【阅读理解】 【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题： 如果，其中a是整数，且，那么，． 【材料二】已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值． 解：， ． 且，解得：，． 请解答： （1）如果，其中m是整数，且，那么 ， ； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的立方根； （3）已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）－1或－5 【解析】 【分析】本题考查无理数的性质和等式的性质，正确理解等式得性质是解题的关键． （1）根据夹逼法可得，依此可求和； （2）根据夹逼法可得，依此可求和，代入算式进行计算即可； （3）已知x，y是有理数，所以也是有理数，根据材料二可得方程组，解方程组即可． 【小问1详解】 解： ，其中m是整数，且 ， 故答案为：，． 【小问2详解】 解： 的整数部分为b 的立方根为． 【小问3详解】 解： 且， 解得， 当时， 当时， 答：的值为或． 六、简答题（第25小题12分，第26题13分，共25分） 25. 我们把多项式，叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．（1）例如：①； 是非负数，即， （1）已知代数式，则它的最小值_____． （2）当、为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； （3）知识迁移：如图，在中，，，，点在边上以的速度从点向移动，点在边上以的速度从点向点移动，若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止．设四边形的面积为，运动时间为秒．求的最小值． 【答案】（1） （2）时，有最小值 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方式的非负性，因式分解的应用； （1）仿照例题根据完全平方公式因式分解，进而根据非负数的性质得出代数式的最小值，即可求解； （2）同（1）的方法进行计算即可求解； （3）根据列出代数式，进而根据（1）的方法求得最值，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ∵是非负数，即， ∴， ∴的最小值是； 【小问2详解】 解：， ， ， ∵，， ∴， ∴时，有最小值； 【小问3详解】 解：依题意，，， ∴ ， ∵ ∴的最小值为． 26. “数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有4个边长为的正方形，1个边长为的正方形，4个两边长分别为和的长方形．从而可以得到乘法公式． （1）如图2，若，则图中阴影部分的面积为_____． （2）若求代数式的值． （3）观察图3． ①从图3中得到_____． ②根据得到的结论，解决问题：已知，，，求代数式的值． 【答案】（1） （2） （3）①；②． 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式是解决本题的关键． （1），将数据代入求出，图中阴影部分的面积是三角形，三角形的面积底高，即，代入数据计算即可； （2）设，，由可得，所以，代入数据计算即可； （3）①根据图形可得； ②由，得，，因为，代入求出的结果． 【小问1详解】 因为，， ， 图中阴影部分的面积为：； 故答案为：． 【小问2详解】 因为， 所以， 设，， 所以， 所以， ． 【小问3详解】 ， 故答案为：； 因为，，， 所以 ， 因为，， ， 所以 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐山五中2025－2026学年度八上期中考试数学试卷 （时间：120分钟 满分150分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 81的平方根是（ ） A. B. C. 3 D. 9 2. 下列实数中，是无理数的是( ) A. B. 0 C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列语句中的数学式子正确的是（ ） A. 7是49的算术平方根： B. 5是的算术平方根： C. 是36的平方根： D. 的平方根表示为： 5. 下列命题中，是真命题的是( ) A. 若，则 B. 相等的角是对顶角 C. 两点之间线段最短 D. 若，则． 6. 如图所示，以为圆心的圆交数轴于，两点，若，两点表示的数分别为，，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是（　 　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 代数式的值（ ） A. 只与a，b有关 B. 只与a，c有关 C. 只与b，c有关 D. 与a，b，c都有关 9. 如图①，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为、的长方形纸片一张，其中．把纸片I、III按图②所示的方式放入纸片II内，已知图②中阴影部分的面积满足，则，满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 已知为自然数，且满足，则的取值不可能是（） A. 2 B. 3 C. 8 D. －7 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 比较大小（填“”“”或者“”） （1）__________ （2）3.14_____ （3）__________ 12. 将“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式为______． 13. 计算：_____ 14. 若，，则为正整数，则值为_____ 15. （1）若，则_____ （2）已知，则_____ 16. 我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期一．其中正确的序号有______． 三、简答题（每小题9分，共27分） 17. 计算： （1）； （2） 18. （1）计算：； （2）用乘法公式计算：； 19. 分解因式： （1） （2）． 四、简答题（每小题10分，共30分） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 文字解答题 （1）若，都是实数且，求的平方根； （2）实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 22. 定义，如． （1）若，求的值； （2）若的值与无关，求值． 五、简答题（每小题10分，共20分） 23. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，因此4、12、20都是这种“神秘数”． （1）44和1612这两个数是“神秘数”吗？试说明理由； （2）试说明神秘数能被4整除； （3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由． 24. 【阅读理解】 【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题： 如果，其中a是整数，且，那么，． 【材料二】已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值． 解：， ． 且，解得：，． 请解答： （1）如果，其中m是整数，且，那么 ， ； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的立方根； （3）已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 六、简答题（第25小题12分，第26题13分，共25分） 25. 我们把多项式，叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．（1）例如：①； 是非负数，即， （1）已知代数式，则它的最小值_____． （2）当、为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； （3）知识迁移：如图，在中，，，，点在边上以的速度从点向移动，点在边上以的速度从点向点移动，若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止．设四边形的面积为，运动时间为秒．求的最小值． 26. “数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有4个边长为的正方形，1个边长为的正方形，4个两边长分别为和的长方形．从而可以得到乘法公式． （1）如图2，若，则图中阴影部分的面积为_____． （2）若求代数式的值． （3）观察图3． ①从图3中得到_____． ②根据得到的结论，解决问题：已知，，，求代数式的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $