精品解析：贵州省黔西南州兴仁市金成实验等四校2025-2026学年九年级上学期期中联考数学试卷

2025-2026学年度第一学期1106四校联考测试卷 九年级 数学 一、单选题（36分） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 故选：． 2. 将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握和运用配方法是解题的关键，①一般式： (a，b，c为常数，)；②顶点式： (a，b，c为常数，)；③交点式：． 把右边加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，然后再减去一次项系数的一半的平方，以使式子的值不变，把一般式转化为顶点式． 【详解】解：， 所以，； 故选B． 3. 将的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移， 根据二次函数图象平移的规律解答即可.即“左加右减，上加下减”. 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式为. 故选：B. 4. 《感动中国2024年度人物颁奖盛典》节目上线后，第一天的播放量为135万次，第三天的播放量增长到228万次．设该节目播放量的日均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据日均增长率的定义，每天播放量是前一天的倍，因此从第一天到第三天的增长倍数为，据此即可获得答案． 【详解】解：设日均增长率为x，则第二天播放量为，第三天播放量为， ∵ 第三天播放量为228万次， ∴可得． 故选：A． 5. 平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标系下的旋转．过点和点分别作轴的垂线，证明，得到，，据此求解即可． 【详解】解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵点的坐标为， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B． 6. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．根据旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质得，然后根据平行线的性质由得，则，再根据三角形内角和计算出，所以． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转到的位置， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 二次函数图象上有三个点，，，则，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数值的大小比较，掌握二次函数的性质是解题的关键． 先配方函数解析式抛物线的开口方向向下，对称轴为，再根据二次函数的增减性和对称性即可解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵关于的对称点为，， ∴． 故选A． 8. 抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值． 【详解】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点， ∴x2+x+c=0有两个相等的实数根， ∴△=1-4c=0， 解得：c=． 故选：B． 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键． 9. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性等知识．根据图象得到抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点为，进而得到抛物线与x轴的另一个交点为，根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：由二次函数的图象得抛物线对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的解为，． 故选：D 10. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 11. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据函数图象交点求不等式的解集．不等式的解集是抛物线在直线上方相对应的自变量x的取值范围，根据函数图象及其交点即可解答． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴由图象可得，不等式的解集是． 故选：C． 12. 已知抛物线 的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 根据抛物线的开口方向和对称轴即可判断A；根据抛物线与轴的交点情况可判断B；由对称轴的位置即可判断C；根据时的函数值的符号即可判断D． 【详解】解：抛物线的对称轴在轴的左侧， ， 抛物线开口向下，， ，故A正确，不合题意； 抛物线与轴有两个交点， ，故B正确，不合题意； ，， ， ，故C错误，符合题意； 由图象知，当时，，故D正确，不合题意． 故选：C． 二、填空题(16分 ) 13. 点A（1，-5）关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为______． 【答案】（-1，5） 【解析】 【分析】根据若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点A（1，-5）关于原点的对称点为点B， ∴点B的坐标为（-1，5）． 故答案为：（-1，5） 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于原点对称的特征，熟练掌握若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 14. 已知方程的一个根是1，则m的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，即可求解． 【详解】解：将代入得：，解得． 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根，掌握一元二次方程根的定义，是解题的关键． 15. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点． 【答案】2 【解析】 【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解． 【详解】根据题意，有， 当时，有最大值． 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用． 16. 如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝5，则CD的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理可得的长，由此即可得CD的长． 【详解】是等边三角形， ， 如图，将绕点C顺时针旋转，点为点D的对应点，连接， ， 点A为点B旋转后的对应点， 由旋转的性质得：， 是等边三角形， ， ， ， 则在中，， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，利用旋转的性质，构造等边三角形和直角三角形是解题关键． 三、解答题（98分） 17. 解一元二次方程 （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是： （1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可； （2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． 【小问1详解】 解∶， ， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）根据题意可知，再解不等式可得出结论； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系得，，再将原式整理为，然后代入计算即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， 故的取值范围为； 【小问2详解】 解：方程的两个根分别为， ，， ， ， 解得， 故的值为． 19. 如图，在直角坐标系中，，，，请解答下列问题 （1）若关于原点对称的图形为，在图中作出． （2）绕原点顺时针旋转得到，作出． （3）求面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3）3.5 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—旋转和中心对称，熟练掌握旋转的性质，中心对称的性质，是解题的关键： （1）根据关于原点对称的点的特征，找点，描点，连线画出即可； （2）根据旋转的性质，画出即可； （3）借助网格求面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． 20. 如图，抛物线 经过点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． （3）直接写出时x的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象与轴的交点问题，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）一般式化成顶点式，求出顶点坐标即可； （3）图象法确定自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象过点，，， ∴设抛物线的解析式为，把代入，得， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问3详解】 由图象可知，时x的取值范围为或． 21. 在中，是线段上的动点．连接，将绕点逆时针旋转至的位置．连接，试按要求解答下列问题： （1）求证：； （2）求的度数； 【答案】（1） 证明：绕点逆时针旋转至的位置， ． 又，所以，即． 在和中： ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用旋转性质得到全等条件，再结合等腰直角三角形角度特征求解． （1）利用旋转性质得到边和角的关系，再结合已知条件，根据全等三角形判定定理证明； （2）先由等腰直角三角形性质得和的度数，再根据全等三角形性质得，进而求出度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 是等腰直角三角形． ． 由（1）知， ． ． 的度数为． 22. 如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为，矩形花圃的面积为S．     （1）用含有的代数式表示为____； （2）当矩形花圃的面积S最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 【答案】（1） （2），矩形花圃面积的最大值为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确地列出二次函数的解析式是解题的关键： （1）根据篱笆总长，列出代数式即可； （2）根据矩形的面积公式列出二次函数关系式，求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为32； 答：，矩形花圃面积的最大值为． 23. 电影《哪吒之魔童闹海》成为首部进入全球票房榜前5登顶动画票房榜榜首的亚洲电影！与之相关的周边衍生品也在市场上热销起来．已知某种哪吒手办玩偶的成本价为10元/件，若售价不低于成本价，且相关部门规定售价不能高于16元．市场调查发现，该玩偶每天的销量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件玩偶售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润销量每件的利润） 【答案】（1） （2）每件玩偶售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是168元 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）设y与x之间的函数表达式为，再利用待定系数法即可求解； （2）由题意得，，根据二次函数的性质，结合自变量x的取值范围，求出的最大值以及对应的值，即可解答． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数表达式为， 代入和得，， 解得， ∴y与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：每件玩偶售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是168元． 24. 投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为米，当水平距离达到米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． （1）求关于的函数表达式； （2）根据2025辉县市中考体育考试评分标准男生，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． （3）实心球运动的抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】（1）关于的函数表达式为： （2） 解：该生在此项考试中未得满分，理由如下： 令， 则， 解得：舍去， ∵， 该生在此项考试中未得满分； （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）设关于的函数表达式为：，将代入得，，解方程即可得到结论； （2）令，则，解方程得到（舍去），比较即可得到结论； （3）①如图，当时，，如图，当时，，解方程即可得到结论． 此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，计算抛物线与坐标轴的交点，正确理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：依题意设关于的函数表达式为：， 将代入得：， 解得：， 关于的函数表达式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图，当时，， ∴， ∴， 解得或； 与相矛盾，故舍去， ； 如图，当时，， ∴， ∴， 解得或 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，的值为或． 25. 【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题． 【初步探究】如图 1 ，在正方形中，点 E，F 分别在边上，连接．若，将绕点A 顺时针旋转 ．点 D 与点B 重合，得到 易证：． （1）根据以上信息，线段之间满足的数量关系为 ； 【迁移探究】（2）如图 2 ，在正方形 中，若点 E 在射线上，点 F 在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论；(提示：可将逆时针旋转） 【拓展探索】（3）如图 3 ，已知正方形的边长为，连接分别交于点 M 、N ，若点 M 恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 【答案】 （1） （2），理由如下： 如图，将绕点旋转得到， ∴，，， ∴点在线段上， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （3）2.5 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得，再根据旋转得，可知点G，B，E共线，得到，然后根据“边角边”证明，可得答案； （2）将绕点旋转得到，推出点在线段上，证明，即可得出答案； （3）将绕点A顺时针旋转得到，连接，先根据正方形的性质及勾股定理求出，进而求出，再根据旋转的性质得，即可说明，得，然后设，则，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴． 将绕点A旋转，点D与点B重合，得到， 则， ∴点G，B，E共线． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：； （2）略 （3）将绕点A顺时针旋转得到，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 由旋转，得， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则． 在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期1106四校联考测试卷 九年级 数学 一、单选题（36分） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将二次函数化成的形式，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 《感动中国2024年度人物颁奖盛典》节目上线后，第一天的播放量为135万次，第三天的播放量增长到228万次．设该节目播放量的日均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数图象上有三个点，，，则，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ） A. B. C. D. 4 9. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 12. 已知抛物线 的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(16分 ) 13. 点A（1，-5）关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为______． 14. 已知方程的一个根是1，则m的值为________． 15. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点． 16. 如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝5，则CD的长为______． 三、解答题（98分） 17. 解一元二次方程 （1） （2）． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，是这个方程的两个根，且，求的值． 19. 如图，在直角坐标系中，，，，请解答下列问题 （1）若关于原点对称的图形为，在图中作出． （2）绕原点顺时针旋转得到，作出． （3）求面积． 20. 如图，抛物线 经过点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． （3）直接写出时x的取值范围． 21. 在中，是线段上的动点．连接，将绕点逆时针旋转至的位置．连接，试按要求解答下列问题： （1）求证：； （2）求的度数； 22. 如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一面靠墙，墙长，另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为，矩形花圃的面积为S．     （1）用含有的代数式表示为____； （2）当矩形花圃的面积S最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 23. 电影《哪吒之魔童闹海》成为首部进入全球票房榜前5登顶动画票房榜榜首的亚洲电影！与之相关的周边衍生品也在市场上热销起来．已知某种哪吒手办玩偶的成本价为10元/件，若售价不低于成本价，且相关部门规定售价不能高于16元．市场调查发现，该玩偶每天的销量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件玩偶售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润销量每件的利润） 24. 投掷实心球是2025年辉县市中考体育终结性考试项目，一名男生在投掷实心球时，得到一条抛物线，实心球的行进高度（米）与水平距离x（米）之间的函数关系如图所示，已知掷出时起点处高度为米，当水平距离达到米时，实心球行进至最高点，此时的行进高度为米． （1）求关于的函数表达式； （2）根据2025辉县市中考体育考试评分标准男生，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于米时，此项考试得分为满分分；请你按此评分标准，判断该生在此项考试中是否得满分，并说明理由． （3）实心球运动的抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在两点之间的部分图象中，函数最大值与最小值的差为，求的值． 25. 【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题． 【初步探究】如图 1 ，在正方形中，点 E，F 分别在边上，连接．若，将绕点A 顺时针旋转 ．点 D 与点B 重合，得到 易证：． （1）根据以上信息，线段之间满足的数量关系为 ； 【迁移探究】（2）如图 2 ，在正方形 中，若点 E 在射线上，点 F 在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论；(提示：可将逆时针旋转） 【拓展探索】（3）如图 3 ，已知正方形的边长为，连接分别交于点 M 、N ，若点 M 恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $