精品解析：江苏省扬州中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

高一数学 命题、审题：高二数学备课组 试卷满分：150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1.作答试卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码. 2.将答案填写在答题卡的指定位置，在试卷上答题无效. 3.考试结束后，请将答题卡交监考人员. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数则（ ） A. 8 B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步3%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的“日能力值”的50倍（参考数据：，，） A. 99 B. 100 C. 101 D. 102 6. 若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若正实数x，y，z满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 已知，则 B. 与不是同一个函数 C. 函数，的值域为 D. 若，不等式恒成立，则k的取值范围是 10. 已知，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 11. 若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则定义.据此，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，且，则 B. 若，且，则对任意，都有 C. 若，，则存在实数，使得 D. 若，，则对任意的实数，总存在实数，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 当时，的最小值是___________． 13. 集合，则符合条件的集合的个数为______． 14. 已知函数为上的奇函数，函数，若在上的值域为，则在上的值域为__________. 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 16. 求下列各式的值： （1）已知，，试用a，b表示； （2）. 17. 某企业为实现产业转型升级，决定研发一款新型电子设备，生产这种电子设备的年固定成本为500万元，每生产台，需另投入成本（万元）．当年产量不足60台时，（万元）；当年产量不小于60台时，（万元），若每台电子设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完． （1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；（利润销售额成本）. （2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出最大利润． 18. 已知是定义在上的奇函数，且. （1）求m，n的值； （2）用定义证明在上为增函数，并求函数在上的值域； （3）设，记的最小值为，求的最小值. 19. 我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为D，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为（0，1），且中心对称函数具有如下性质：若为函数的对称中心，则函数为奇函数. （1）已知定义在上的函数的图象关于点（1，2）中心对称，且当时，，求，的值； （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； （3）已知为中心对称函数，且满足，，求数组的个数，并简单阐述理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 命题、审题：高二数学备课组 试卷满分：150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1.作答试卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码. 2.将答案填写在答题卡的指定位置，在试卷上答题无效. 3.考试结束后，请将答题卡交监考人员. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 直接按集合并集的概念进行计算. 【详解】. 故选：D 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式，然后根据集合的包含关系判断可得. 【详解】解不等式得，记， 解不等式得，记， 因为集合是集合的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知函数则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式结合函数概念求解函数值即可. 【详解】因为函数，所以， 即． 故选：B. 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域以及分母不为零得到关于的不等式组，解出即可． 【详解】由函数的定义域为，函数有意义，得，解得， 有意义，需满足且，即且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 5. 假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步3%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的“日能力值”的50倍（参考数据：，，） A. 99 B. 100 C. 101 D. 102 【答案】A 【解析】 【分析】先设初始“日能力值”为1，根据甲、乙能力值的变化规律列出天后的表达式，再根据倍数关系建立方程，通过对数运算求解的值. 【详解】令甲和乙刚开始的“日能力值”均为1，天后， 甲和乙的“日能力值”分别为和. 由题知，即. 两边分别取对数得. 因此. 所以大约需要经过99天，甲的“日能力值”是乙的50倍. 故选：A. 6. 若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据不等式的解集是，由是方程的两个根， 利用韦达定理求得，得到不等式，利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为不等式的解集是， 所以是方程的两个根， 由韦达定理得： ，且， 解得， 所以不等式，即为， 即， 解得， 所以不等式的解集是. 故选：A 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7. 已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分段函数的单调性列式求解. 【详解】解：二次函数的对称轴为， 因为函数是R上的减函数， 所以有解得． 故选：B 8. 若正实数x，y，z满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，可以得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由条件可得， 所以，所以，所以， 所以，所以， 当且仅当，且，即，，等号成立. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 已知，则 B. 与不是同一个函数 C. 函数，的值域为 D. 若，不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据配凑法求对应关系可判断A；根据同一函数的定义可判断B；分离常数，利用单调性求值域判断C；根据不等式恒成立，讨论k的取值，结合一元二次不等式恒成立，判断D. 【详解】对于A，，且， 则，故A错误； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以函数与不是同一函数，故B正确； 对于C，， 故函数在上单调递减， 所以， 所以值域为，故C正确； 对于D，当时，不等式为恒成立， 当时，则需满足，解得， 综上，的取值范围是，故D错误. 故选：BC. 10. 已知，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A、B；妙用“1”可判断C；取特值可判断D. 【详解】对于A，，，，则， 当且仅当时等号成立，即的最大值为，故错误； 对于B，，，因， 则，可得， 当且仅当时等号成立，即的最大值为2，故B正确； 对于C，，，， 当且仅当时等号成立，即的最小值为，故C正确； 对于D，令，显然满足，而， 所以的最小值不是4，D错误. 故选：BC. 11. 若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则定义.据此，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，且，则 B. 若，且，则对任意，都有 C. 若，，则存在实数，使得 D. 若，，则对任意的实数，总存在实数，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项A，首先根据题意求出，然后求出，即可得到的值；对于选项B，可找出反例证明选项B错误；对于选项C，讨论的不同范围下，的不同范围；令，即可验证选项D的正确性. 【详解】A选项，由，，可得，，因为，所以，，故A错误； B选项，例如：，，满足，但是并不都大于等于，故B错误； C选项，由，， 当，即时，； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得，所以不存在实数a，使得，故C错误； D选项，由，，取，可得，对任意实数a，总存在b使之成立，故D正确. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 当时，的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 13. 集合，则符合条件的集合的个数为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据子集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，集合， 所以，是与的子集的并集， 所以集合的个数为. 故答案为：8 14. 已知函数为上的奇函数，函数，若在上的值域为，则在上的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数的对称性可设的值域为，结合题意及二次函数的性质可得且或，解出即可得. 【详解】，若，则， 由函数为上的奇函数，则可设的值域为， 则有且或，解得， 经检验，满足题意，故的值域为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知非空集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合的运算可求解； （2）利用充分不必要条件的定义，转化为P是Q的真子集，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【小问1详解】 已知集合，. 当时，，或， 又， . 【小问2详解】 因为“”是“”充分不必要条件，所以P是Q的真子集， 又，， 所以，解得， 当时，是Q的真子集； 当时，也满足是Q的真子集， 综上所述：实数的取值范围为. 16. 求下列各式的值： （1）已知，，试用a，b表示； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用换底公式求解即可； （2）利用指数对数运算性质计算. 【小问1详解】 , . 【小问2详解】 . 17. 某企业为实现产业转型升级，决定研发一款新型电子设备，生产这种电子设备的年固定成本为500万元，每生产台，需另投入成本（万元）．当年产量不足60台时，（万元）；当年产量不小于60台时，（万元），若每台电子设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完． （1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；（利润销售额成本）. （2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）年产量为台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大，最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利润等于设备的售价减去投入成本再减去年固定成本即可求解； （2）对（1）中的函数关系式分别利用二次函数和基本不等式求两段的最大值，再取最大 【小问1详解】 解：由题意可得：时，， 当时， 所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为： ， 【小问2详解】 解：由（1）得时，，开口向下的抛物线，对称轴为， 此时时，万元， 当时，， 当且仅当即时等号成立，（万元）， 综上所述：年产量为台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大，最大利润为万元. 18. 已知是定义在上的奇函数，且. （1）求m，n的值； （2）用定义证明在上为增函数，并求函数在上的值域； （3）设，记的最小值为，求的最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析；值域 （3） 【解析】 【分析】（1）由和可得 ； （2）根据定义可证明在上为增函数，并根据单调性求值域； （3）根据题意，分类求最小值，再求的最小值. 【小问1详解】 因为奇函数的定义域为，所. 故有，解得. 所以. 由即， 解得. 此时，满足，为奇函数， 故. 【小问2详解】 由（1）知， 任取，则 ＝ ＝， 因为，所以， 故，又因为， 所以，而，故， 即，所以函数在上为增函数， 则， 所以函数在上的值域为； 【小问3详解】 因为 ， 当时，在单调递减，， 在先减后增，， 由于， 所以的最小值为， 当时，在单调递减，， 在单调递增，， 所以的最小值为， 当时，在先减后增，， 在单调递增，， 由于， 所以的最小值为， 所以最小值， 作出图象， 由于在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为. 19. 我们知道，奇函数的图象关于原点对称.类比奇函数的定义，我们可以定义中心对称函数：设函数的定义域为D，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心.比如，函数就是中心对称函数，其对称中心为（0，1），且中心对称函数具有如下性质：若为函数的对称中心，则函数为奇函数. （1）已知定义在上的函数的图象关于点（1，2）中心对称，且当时，，求，的值； （2）已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心，请写出对称中心并证明； （3）已知为中心对称函数，且满足，，求数组的个数，并简单阐述理由. 【答案】（1）， （2） 对称中心为，证明如下： 由，则有，解得且， ， 故函数的对称中心为； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，借助赋值法，分别令、，结合所给函数计算即可得； （2）结合中心对称函数定义，得到定义域后，证明即可得； （3）结合中心对称函数定义，设其对称中心为，则得到其定义域关于中心对称，就对称中心分类讨论后可得数组的个数. 【小问1详解】 由函数的图象关于点中心对称，故有， 令，则有，故， 令，则有， 又当时，，故， 故， 即，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 先证明对实数，若函数为中心对称函数， 则，且对称中心为. 事实上，一方面，由为中心对称函数知，其定义域也必然对称，故对称中心必为，且， 另一方面， ，故命题得证； 由为中心对称函数，以及， 若对称中心为，则必有，且，即， 故，，则,，共有2023个数组符合题意； 若对称中心为，则必有，且，即， 故，则，，共有个数组符合题意； 若对称中心为，则必有，且， 故，解得：，，共有个数组符合题意； 若对称中心为，则必有，或，经检验不合题意； 若对称中心为，则必有，且， 故，解得：，,共有个数组符合题意； 综上所述，数组的个数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $