精品解析：福建省泉州市晋江市第一中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题

2025年秋季九年级期中质量检测 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列各式中，属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线和被所截，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 如图所示，在中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程x2﹣（k＋3）x＋2（k＋1）＝0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 没有实数根 7. 如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 已知的三个内角分别为，，，在下列条件：①；②；③，；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 9. 如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ） A. 当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形 B. 当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形 C. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形 D. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分．） 11. 计算：______． 12. 若，则________． 13. 如图，点G是的重心，交于点F，若的面积为4，则的面积为_____． 14. 如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB________． 15. 中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用表示“士”的位置，表示“炮”的位置，那么“将”的位置应表示为________． 16. 如图，中，，，，分别以，为直角边，以B为直角顶点向外部作和，且，M，N分别是，的中点，连接．若，则的长度为________． 三、解答题（本大题共9小题，共86.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 计算：． 19. 如图，在△ABC中，AB=AC,AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.求证：∽. 20. 如图，是的中线，点E是线段上的一点，延长，交于点F．若，，求出的长度． 21. 如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的格点上． （1）画出位似中心点O； （2）以点P为位似中心，在点P右侧的网格中再画一个，使它与的位似比为． 22. 2025年11月1日起，新修订的《福建省非机动车管理办法》（以下简称《办法》）将正式施行．《办法》指出驾乘电动自行车必须全程佩戴安全头盔，未佩戴者将面临警告或者20元罚款．某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔8月份销售192个，10月份销售300个，且从8月份到10月份销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低1元，则月销售量将增加10个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 23. 八仙阁（图1）是八仙山公园里的一个主景区，八仙阁也是晋江的一个标志性建筑．在阁楼上可以看到整个八仙山公园全景，甚至周围景观都能尽收眼底．《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”（图2）在古代指两条边呈直角的曲尺（即图3中的，其中）．小明受到启发，利用“矩”测量八仙阁的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A，B，D在同一直线上，，测得，，，，请你求出八仙阁的高度． 24. 对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值等于，则称m为这个代数式的“逆值”．把该代数式的最大逆值与最小逆值的差称为“逆域值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于，我们就称0和1都是这个代数式的逆值，逆域值为． （1）代数式的逆值是________． （2）判断代数式是否存在逆值，若有，请求出代数式的逆值；若没有，则说明理由． （3）①若关于x的代数式的逆域值为0，求a的值； ②若关于x的代数式的逆域值为正整数，求整数b的值． 25. 【新知学习】如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”． 【简单运用】下列三个三角形，是智慧三角形的是_______（填序号）； 【深入探究】如图，在正方形中，，点E是的中点，F是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由； 【灵活应用】如图，等边三角形边长．若动点P以的速度从点A出发，沿的边运动.若另一动点Q以的速度从点B出发，沿边运动，两点同时出发，当点Q首次回到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为，那么t为_______时，为“智慧三角形”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季九年级期中质量检测 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列各式中，属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，理解定义是解题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析判断即可， 【详解】A． 是分式，不是二次根式，故该选项不符合题意； B． ，是整式，不是二次根式，故该选项不符合题意； C． 是二次根式，故该选项符合题意； D． 是三次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算是解题的关键． 根据合并同类二次根式进行计算，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、和，不是同类二次根式，故计算错误； 选项B、由于，故计算错误； 选项C、同类二次根式的计算，，故计算错误； 选项D、，故计算正确； 故选：D． 3. 如图，直线，直线和被所截，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，结合图形得到相应比例求解，是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例可知，代值求解即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，解得， 故选：B． 4. 如图所示，在中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，由勾股定理求出斜边的长，再根据正弦的定义计算即可，掌握正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴． 故选：A． 5. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用根与系数关系解决问题即可． 【详解】解：设另一个根为． ∵是关于的一元二次方程的一个根， ， ， 故选：A． 6. 关于x的一元二次方程x2﹣（k＋3）x＋2（k＋1）＝0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先计算根的判别式得到△=[-（k+3）]2-4×2（k+1）=（k-1）2，再利用非负数的性质得到△≥0，然后可判断方程根的情况． 【详解】解：△=[-（k+3）]2-4×2（k+1）=（k-1）2， ∵（k-1）2≥0， 即△≥0， ∴方程有两个实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 7. 如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由剪去小正方形的边长可得出该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm，根据该无盖纸盒的底面积为625cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵剪去小正方形的边长为x cm， ∴该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm． 依题意得：（45-2x）（25-2x）=625． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 已知的三个内角分别为，，，在下列条件：①；②；③，；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的定义，熟练掌握直角三角形的定义是解题的关键． 通过每个条件计算三角形的内角，判断是否有一个角为即可． 【详解】解：根据三角形内角和为，得， 条件①：，代入得，则，能确定直角三角形； 条件②：设、、，则，则，，能确定直角三角形； 条件③：，则，，则，则，不能确定直角三角形； 条件④：设、、，则，则，，能确定直角三角形； 条件⑤：设，则，则，则，，能确定直角三角形； 因此，能确定直角三角形的条件有①、②、④、⑤，共4个， 故选：B． 9. 如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似形综合应用，分别证明和，运用相似三角形的性质可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴，即， ∴； 又，， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ） A. 当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形 B. 当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形 C. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形 D. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断，即可求解 【详解】解：A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确； B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确； C．当E，F，G，H不是各边中点时，EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH为平行四边形，故C正确； D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可能为菱形，故D错误； 故选D． 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分．） 11. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，平方差公式，识别表达式符合平方差公式形式，直接应用公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 若，则________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质变形即可求解． 【详解】解：， 设，， ， 故答案为：． 13. 如图，点G是的重心，交于点F，若的面积为4，则的面积为_____． 【答案】18 【解析】 【分析】根据点G是的重心可得，是的中线，根据，可得，进而即可求解． 【详解】解；∵点G是的重心， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∵点G是的重心， ∴是的中线， ∴， ∴的面积为18， 故答案为：18． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形中线的定义，看到中线就要想到中线的交点是重心，分成的两个三角形的面积相等． 14. 如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB________． 【答案】∠D=∠C或∠E=∠B或 【解析】 【详解】解：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠CAB． 当∠D=∠C或∠E=∠B或时，△ADE∽△ACB 故答案为：∠D=∠C或∠E=∠B或 15. 中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用表示“士”的位置，表示“炮”的位置，那么“将”的位置应表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案． 【详解】解：如图所示：“将”的位置应表示为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 16. 如图，中，，，，分别以，为直角边，以B为直角顶点向外部作和，且，M，N分别是，的中点，连接．若，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理先计算，易得，继而得到，再根据和得到，，接着解直角三角形，最后利用勾股定理求即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作交的延长线于点H， 根据题意，， ，， ， ，即， 解得， 和，M，N分别是，的中点， ，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线定理及勾股定理的应用，得到是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共86.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】 ，． 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得出． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， 解得， 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 根据、，非零数的零次幂为1，据此进行计算求解即可． 【详解】解：原式 ． 19. 如图，在△ABC中，AB=AC,AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.求证：∽. 【答案】见解析 【解析】 【分析】由已知条件可得，，，即可证明结论． 【详解】证明：在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴∽． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，根据已知条件得出是解此题的关键． 20. 如图，是的中线，点E是线段上的一点，延长，交于点F．若，，求出的长度． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 过A作，交的延长线于点G，根据平行线的性质证得和，再根据相似三角形的性质证得和，进而求出的长度即可． 【详解】解：如图所示，过A作，交的延长线于点G， ， 、 又是的中线 、 ． 21. 如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的格点上． （1）画出位似中心点O； （2）以点P为位似中心，在点P右侧的网格中再画一个，使它与的位似比为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查位似图形的作图，根据位似的性质确定位似中心位置，并按照位似比作出位似图形是解题的关键． （1）根据在位似图形中，对应点连线的交点就是位似中心，据此求解即可； （2）以点为位似中心，延长到，使，延长到，使，延长到，使，然后顺次连接、、得到． 【小问1详解】 解：分别延长和，延长线的交点即为位似中心点，如图： 【小问2详解】 解：以点为位似中心，延长到，使，延长到，使，延长到，使，然后顺次连接、、得到，此时，使它与的位似比为，如图： ． 22. 2025年11月1日起，新修订的《福建省非机动车管理办法》（以下简称《办法》）将正式施行．《办法》指出驾乘电动自行车必须全程佩戴安全头盔，未佩戴者将面临警告或者20元罚款．某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔8月份销售192个，10月份销售300个，且从8月份到10月份销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低1元，则月销售量将增加10个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 【答案】（1） （2）75元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，根据题意列出方程，解方程即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应增长a元，则此时售价为元，根据题意列出方程，解出的值，由于需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，进行定价即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去） 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元， 由题意得：， 解得：，， 因为需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，即不合题意，舍去，符合题意 则， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为75元． 23. 八仙阁（图1）是八仙山公园里的一个主景区，八仙阁也是晋江的一个标志性建筑．在阁楼上可以看到整个八仙山公园全景，甚至周围景观都能尽收眼底．《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”（图2）在古代指两条边呈直角的曲尺（即图3中的，其中）．小明受到启发，利用“矩”测量八仙阁的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A，B，D在同一直线上，，测得，，，，请你求出八仙阁的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 延长交于H，则，根据和证得，根据相似三角形的性质证得，求出的长度，进而求出即可． 【详解】解：如图，延长交于H，则， 由题意可知，，，， 又， ， ， ， ， ． 答：八仙阁的高度为． 24. 对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值等于，则称m为这个代数式的“逆值”．把该代数式的最大逆值与最小逆值的差称为“逆域值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于，我们就称0和1都是这个代数式的逆值，逆域值为． （1）代数式的逆值是________． （2）判断代数式是否存在逆值，若有，请求出代数式的逆值；若没有，则说明理由． （3）①若关于x的代数式的逆域值为0，求a的值； ②若关于x的代数式的逆域值为正整数，求整数b的值． 【答案】（1）和2 （2）不存在逆值；理由见解析 （3）①；②1，，2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用、新定义问题，熟练掌握一元二次方程的解法，正确理解新的定义是解题的关键． （1）令，通过因式分解的方法解一元二次方程即可； （2）令，通过判别式，得到方程无实数根，因此代数式不存在逆值； （3）①令，由于逆域值为0，则说明有两个相等解，通过判别式，解出的值即可； ②令，设方程的两根为，， 由韦达定理得出逆域值为：，化简得到，由于逆域值为正整数，且b为整数，求出或，验证的值是否满足题意即可． 【小问1详解】 解：令 移项得 因式分解得 令或 解得或 故答案为：和2； 【小问2详解】 解：令， 移项得， 判别式， 则方程无实数根， 因此代数式不存在逆值； 【小问3详解】 解：①令， 移项得， 由于关于x的代数式的逆域值为0， 则此方程有两个相等的实数根， 所以， 整理得：，即， 解得：； ②令， 移项得， 设方程的两根为， 由韦达定理得， ，， 逆域值为：， 先将化简： ， 所以， 由于逆域值为正整数，且b为整数，所以或， 当时，；当时，； 当时，；当时，，舍去， 因此整数b的值为1，，2． 25. 【新知学习】如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智慧三角形”． 【简单运用】下列三个三角形，是智慧三角形的是_______（填序号）； 【深入探究】如图，在正方形中，，点E是的中点，F是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由； 【灵活应用】如图，等边三角形边长．若动点P以的速度从点A出发，沿的边运动.若另一动点Q以的速度从点B出发，沿边运动，两点同时出发，当点Q首次回到点B时，两点同时停止运动.设运动时间为，那么t为_______时，为“智慧三角形”． 【答案】【简单运用】①； 【深入探究】结论：是“智慧三角形“． 理由如下：如图，设正方形的边长为， 是的中点 ， ， ，， 在中，， 在中，， 在中，， ， 是直角三角形，， 直角三角形斜边上的中线等于的一半， 为“智慧三角形”． 【灵活应用】1或或或7 【解析】 【分析】[新知学习]根据直角三角形斜边中线的性质即可判断； [深入探究]结论：是“智慧三角形”．利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可； [灵活应用]分四种情形分别构建方程求解即可； 【详解】解：简单运用：因为直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，所以①是“智慧三角形”． 故答案为①； 深入探究：略 灵活应用：如图3中， ①当点在线段上，点在线段上时，若，则， ， 解得． 若，则， ． ②当点在线段上，点在线段上时，不存在； ③当点在线段上，点在线段上时，若，则， ， ， 若，则， ， ， 综上所述，满足条件的的值为1或或或7． 故答案为1或或或7． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的性质，勾股定理，“智慧三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $