立体几何中的动点轨迹问题讲义-2026届高三数学一轮复习

立体几何中的动点轨迹问题 目录 类型一：平行类轨迹问题… 2 方法一：线面平行转化为面面平行求轨迹.2 方法二：平行时可利用法向量垂直关系求轨迹…3 巩固训练(（一）… 4 类型二：垂直类轨迹问题.… 11 方法一：可利用线线、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹…11 方法二：利用空间坐标运算求轨迹… 12 巩個练习（二）… 13 类型三：等角类轨迹问题 23 方法一：直线与平面成定角，直线与定直线成等角，可能是圆锥截面. 23 方法二：利用空间坐标运算求轨迹. 24 巩個固练习（三). 26 类型四：等距类轨迹问题… 30 方法一：转化为在平面内的距离关系，借助球和圆的定义等知识求解轨迹…30 方法二：利用空间坐标运算求轨迹 31 巩固练习（四） 32 综合练习（多选题专练） 47 立体几何中的动点轨迹问题是一类综合性较强、对空间想象能力和逻辑思维能 力要求较高的题型。以下是一些常见的类型及解题方法： 常见类型： 1.平行类轨迹问题：已知直线与直线平行、直线与平面平行或平面与平面平行，求 动点的轨迹。例如，在正方体中，求满足某直线与已知平面平行的动点轨迹。 2.垂直类轨迹问题：已知直线与直线垂直、直线与平面垂直或平面与平面垂直，求 动点的轨迹。比如，在三棱锥中，求动点到某直线或平面垂直的轨迹。 3.等角类轨迹问题：已知直线与直线成等角、直线与平面成等角或平面与平面成等 角，求动点的轨迹。如在正方体中，求动点与某直线或平面成固定角度的轨迹。 4.等距类轨迹问题：动点到某点、某直线或某平面的距离为定值，求动点的轨迹。 例如，在正四棱锥中，求到顶点和底面距离相等的动点轨迹。 5.翻着过程中的轨迹问题：折叠过程，指定点的轨迹，实际是一个等距问题（轨迹是圆 弧)，方法的核心是从这个指定点出发，向折线作垂线，垂足即为轨迹圆心。 解题方法： 1.定义法：根据圆、圆锥曲线等的定义来确定动点的轨迹。如动点到两个定点的距 离之比为常数，可能轨迹是椭圆或双曲线。 2.交轨法：若动点满足的几何条件是两动曲线的交点，设出参数，求出两动曲线的 方程，消去参数得到动点的轨迹方程。 3.几何法：从几何视角入手，结合立体几何中的线面平行、线面垂直等判定定理和 性质定理，找到动点的轨迹。 4.坐标法：建立空间直角坐标系，将立体几何问题转化为坐标运算问题，通过设动 点坐标，根据条件列出方程，求出动点的轨迹方程。 5.向量法：利用空间向量的运算、空间向量基本定理等来研究动点的轨迹问题，不 通过建系，直接用向量关系求解。 类型一：平行类轨迹问题 方法一：线面平行转化为面面平行求轨迹 【典例分析】1.如图，长方体ABCD-A,B,CD,中，AA=8,AB=3,AD=8,点M, N分别是AD和AA的中点，P是侧面AADD内一动点（含边界），若C,P/1平面CMN,则 动点P的轨迹的长度为() D B A.8√2 B.102 C.4W2 D.9 【答案】C 【详解】如图所示： D A H B 取AD的中点G,取DD的中点H,连接AD,C,G,GH,CH,GM,GH, 所以AD//GH,又因为点M,N分别是AD和AA,的中点， 所以AD/IMN,所以GH/1MN, 又因为GHt平面CMN,MNc平面CMN,所以GH/平面CMN, 又点M是棱AD的中点，点G是棱AD的中点，所以D,GIIDM且D,G=DM, 所以四边形GMDD,是平行四边形，所以GMI/DD,GM=DD, 又因为CC,IIDD,CC,=DD,所以CC11GM,CC=GM, 所以四边形C,GMC是平行四边形，所以C,G/1MC, 因为CG丈平面CMN,CM文平面CMN,所以CG//平面CMN, 又C,G∩GH=G,C,G,GHc平面CGH,所以平面CGHI/平面CMN. 又P是侧面A,ADD,内一动点（含边界），且C,P/平面CMN, 所以点P的运动轨迹为GH,又在长方体ABCD-A,B,CD,中，AA=8,AD=8, 所以GH=VGD2+D,H2=V16+16=4W2 故选：C 方法二：平行时可利用法向量垂直关系求轨迹 【经典例题】2.在棱长为√2的正方体ABCD-A,B,CD,中，E,F分别是棱AA,CC,的中点， 点P在上底面A,B,C,D,内运动，若PE/平面BDF,则点P的轨迹的长度为() A. B.2 C.5 D.3 【答案】B 【详解】 Z D C A B D… B 以D为原点，以DA,DC,DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则Da04 .i.V9}r0i9》 设P(x,y,V2),0≤x≤V2,0≤y≤V2, 2 DB=(V2,V2,0,DF= 设平面BDF的法向量为m=(x,y,z), DB·m=√2x+V2y=0 则 Drm-y+2 2 =0 取x=1,则y=-1,2=2,则m=(1,-1,2), 因为PEII平面BDF, 所以PE·m=y-x=0,所以y=x, 所以点P的轨迹长度为B,D=√2+2=2 故选：B 巩固训练（一） 1.在正四棱柱ABCD-A,B,CD,中，AA,=2AB=2,E为棱CC,的中点，点M为侧面 BCC,B,内一动点，且A,M1I平面AED,则线段AM的长度的最小值为() 6 A.1 B. c.33 D. V30 5 5 【答案】D 【详解】在正四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，取BC中点F,连接BC,EF, 由四边形ABCD,是矩形，E为棱CC的中点，得AD,∥BC,∥EF,平面AED,即平面 AD EF, 取BB,BC,中点E1,F,连接AE,A,E,E,E,FE,则E,FIIBC,IIEF,EFc平面AED, EE丈平面AED,则EEII平面AED,而FFI/BB,IIAA,FF=BB,=AA, 于是四边形AFFA,是平行四边形，A,E/IAF,又AFc平面AED, AE4平面AED,则A,EII平面AED,而AE∩E,F=E,AE,EEC平面AE,E, 因此平面A,E,E/1平面AED,而A,M/I平面AED,则AMc平面AE,F,即M∈平面 AE F, 又点M为侧面BCCB,内一动点，则点M的轨迹为线段E,E, 由14=2B=2,得A5=EF=5 ,46,=5,cos∠AER= AE_反 EF5 sin= 3 因此等腰△A,E,F的腰E,F上的高等于 V630 AE sin∠AE,E= 5 √5 故线段4M的长度的最小值为V30 5 D A D 故选：D 2.如图，在长方体ABCD-A,B,CD,中，AB=BC=6,AA=3,点P,Q分别为BC,CD 的中点，点M为长方形ADDA,内一动点（含边界），若直线QMII平面APC,则点M的 轨迹长度为() D C D C A A.√6 B.2W2 C.25 D.32 【答案】D 【详解】 D E G M B B 在长方体ABCD-A,B,CD中，取AD,B,C的中点G,H,连接AG,GH,BH, 由点P为BC的中点，得C,HIIBP,C,H=BP,则四边形BPC,H是平行四边形， 所以BHI/CP, 又GH IIA,B,11AB,GH=A,B,=AB,则四边形ABHG是平行四边形， 于是AG11BH1IC,P, 取GD中点E,在AD上取点F,使得AF=GE,连接EF,QE,QF, 而AF /IGE,则四边形AGEF为平行四边形，EF//AG, 而AGc平面APC,EFE平面APC, 于是EFI1平面APC, 由Q为CD的中点，E为GD,中点，得QEI1C,G, 而CGc平面APC,QE丈平面APC,则QE/I平面APC, 又EF∩QE=E,EF,QEc平面QEF, 因此平面QEF/1平面APC, 又由直线QM/平面APC,点M∈平面ADD,A, 则点M在平面QEF与平面ADD,A,的交线EF上， 从而点M的轨迹就是线段EF, EF=AG=AG2+A42=32, 所以点M的轨迹长度为3√2 故选：D 3.在棱长为1的正方体ABCD-A,B,CD,中，E,F,G分别是棱AB,BC,CC的中点，P是 底面ABCD内一动点，若直线D,P与平面EFG没有公共点，则线段PB长度的最小值为() A.1 1 B.2 C. D. 2 【答案】c 【详解】连接AC,DA,DC,因为E,F,G分别是棱AB,BC,CC的中点， 所以EF∥AC,FGIBC,∥AD, 又EF,FGc平面EFG,AD,a平面EFG,AC平面EFG, ADI∥平面EFG,AC∥平面EFG,AD,ACC平面ACD,AD,∩AC=A, 所以平面EFG∥平面ACD,又D∈平面ACD, 从而有D,Pc平面ACD,即点Pe平面ACD, 又点P在平面ABCD内，平面ACD1∩平面ABCD=AC, 所以点P在直线AC上运动， 由正方形性质可得当点P位于AC中点时，BP最小，此时BP=BD=P+下-互 故选：C D C A B E 4.己知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，点P在该正方体的内切球表面上运动，且满足 DP/I平面A,BC,则AP的最大值为() A.6 B.√6 C. 6 D.26 3 2 【答案】B 【详解】由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点O,内切球半径r=1 易证，平面DACI/平面ABC,D,P/I平面A,BC, ∴DPc平面D,AC,故点P的轨迹是平面D,AC与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆 心为O 如图，以D为原点建立空间直角坐标系，D(0,0,0),B2,2,2), D B D 则A2,0,0,C(0,2,0),D0,0,2,0(1,1,1, 可得AC=（-2,2,0),AD=（-2,0,2）,A0=(-1,1,1, AC·i=-2x+2y=0 设平面D,AC的法向量为i=(x,y,z，则 AD·n=-2x+2z=0 令x=1,则y=z=1,故i=1,1,1, P:点O到平面D,AC的距离为 0 d 40元5 d= 3 :圆Q的半径为5=P-d-6, 3 由0=(-，l,1得，40=5,40=VA0--26 .AP的最大值为A0,+5=V6 故选：B 5.己知正方体ABCD-A,B,CD的棱长为1，点M在正方体内（包含表面）运动，若 3 C·AC=一，则动点M的轨迹所形成区域的面积为 【答案】 8 【详解】CAC-Ci+)4C-Ci,4C+W4C=月 :CA,AC=π-∠CAC,CA=V2,AC=V5, .cos CA,AC=-cos CAC= 8,4AC书0sAM,ACx有A 6 即M在4G上的投影数量为 6 ·点M在与4C,垂直的平面上，且点A到该平面的距离为5 CC,⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,BD⊥CC :BD⊥AC,AC∩CC,=C,AC,CC,C平面ACC,BD⊥平面ACC,, 又ACC平面ACC,BD⊥AC; 同理可证得：AD⊥AC, A,D∩BD=D,A,D,BDC平面A,BD,AC1⊥平面A,BD; A D=BD A B=2S.D=x2x V3V3 1 22 方11分m=形 又SAABD=2 1 :点A到平面4BD的距离d=S0M4-2=5 S.ABD V33 2 取AD,AB,AA中点E,F,G, 立体几何中的动点轨迹问题 目录 类型一：平行类轨迹问题 2 方法一：线面平行转化为面面平行求轨迹 2 方法二：平行时可利用法向量垂直关系求轨迹 3 巩固训练（一） 4 类型二：垂直类轨迹问题 11 方法一：可利用线线、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹 11 方法二：利用空间坐标运算求轨迹 12 巩固练习（二） 13 类型三：等角类轨迹问题 23 方法一：直线与平面成定角，直线与定直线成等角，可能是圆锥截面 23 方法二：利用空间坐标运算求轨迹 24 巩固练习（三） 26 类型四：等距类轨迹问题 30 方法一：转化为在平面内的距离关系，借助球和圆的定义等知识求解轨迹 30 方法二：利用空间坐标运算求轨迹 31 巩固练习（四） 32 综合练习（多选题专练） 47 立体几何中的动点轨迹问题是一类综合性较强、对空间想象能力和逻辑思维能力要求较高的题型。以下是一些常见的类型及解题方法： 常见类型： 1. 平行类轨迹问题：已知直线与直线平行、直线与平面平行或平面与平面平行，求动点的轨迹。例如，在正方体中，求满足某直线与已知平面平行的动点轨迹。 2. 垂直类轨迹问题：已知直线与直线垂直、直线与平面垂直或平面与平面垂直，求动点的轨迹。比如，在三棱锥中，求动点到某直线或平面垂直的轨迹。 3. 等角类轨迹问题：已知直线与直线成等角、直线与平面成等角或平面与平面成等角，求动点的轨迹。如在正方体中，求动点与某直线或平面成固定角度的轨迹。 4. 等距类轨迹问题：动点到某点、某直线或某平面的距离为定值，求动点的轨迹。例如，在正四棱锥中，求到顶点和底面距离相等的动点轨迹。 5. 翻着过程中的轨迹问题：折叠过程，指定点的轨迹，实际是一个等距问题(轨迹是圆弧)，方法的核心是从这个指定点出发，向折线作垂线，垂足即为轨迹圆心。 解题方法： 1. 定义法：根据圆、圆锥曲线等的定义来确定动点的轨迹。如动点到两个定点的距离之比为常数，可能轨迹是椭圆或双曲线。 2. 交轨法：若动点满足的几何条件是两动曲线的交点，设出参数，求出两动曲线的方程，消去参数得到动点的轨迹方程。 3. 几何法：从几何视角入手，结合立体几何中的线面平行、线面垂直等判定定理和性质定理，找到动点的轨迹。 4. 坐标法：建立空间直角坐标系，将立体几何问题转化为坐标运算问题，通过设动点坐标，根据条件列出方程，求出动点的轨迹方程。 5. 向量法：利用空间向量的运算、空间向量基本定理等来研究动点的轨迹问题，不通过建系，直接用向量关系求解。 类型一：平行类轨迹问题 方法一：线面平行转化为面面平行求轨迹 【典例分析】1．如图，长方体中，，，，点，分别是和的中点，是侧面内一动点（含边界），若平面，则动点的轨迹的长度为（    ）    A． B． C． D．9 方法二：平行时可利用法向量垂直关系求轨迹 【经典例题】2.在棱长为的正方体中，E，F分别是棱的中点，点在上底面内运动，若，则点P的轨迹的长度为（ ） A． B．2 C． D．3 巩固训练（一） 1．在正四棱柱中，，为棱的中点，点为侧面内一动点，且平面，则线段的长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 2．如图，在长方体中，，，点分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 3．在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是棱的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线与平面EFG没有公共点，则线段PB长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 4．已知正方体的棱长为2，点在该正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．已知正方体的棱长为，点在正方体内（包含表面）运动，若，则动点的轨迹所形成区域的面积为 . 类型二：垂直类轨迹问题 方法一：可利用线线、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹 【经典例题】1.在长方体中，，点是平面内的动点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 方法二：利用空间坐标运算求轨迹 【经典例题】2．在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（   ） A． B． C． D． 巩固练习（二） 1．圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，为底面中心，为的中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）．若，则点形成的轨迹的长度为（    ） A． B． C．3 D． 2．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为，的中点，O为底面ABCD的中心，点S在正方体的表面上运动，且满足，则下列结论正确的是（）    A．点S可以是棱的中点 B．点S的轨迹是矩形 C．点S轨迹所围成的图形面积为 D．点S轨迹的长度为 3．如图，在边长为2正方体中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足，则点和满足条件的所有点P构成的图形的周长是（   ） A． B． C． D． 4．在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为 . 5．已知球是棱长为的正方体的内切球，是棱的中点，是球的球面上任意一点，若，则动点的轨迹长度为 . 6．正四棱锥的底面边长为2，高为2，是边的中点，动点在表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为 ． 7．已知四棱柱的底面为菱形，底面，，，，点是线段上靠近的三等分点，点在四棱柱的表面上移动，且，则动点的轨迹长度为 . 类型三：等角类轨迹问题 方法一：直线与平面成定角，直线与定直线成等角，可能是圆锥截面 【经典例题】1.如图，点是距离为3，夹角为的异面直线上的两个动点，且．    （1）若，则中点的轨迹是 ； （2）若，则中点的轨迹是 ． 方法二：利用空间坐标运算求轨迹 【经典例题】2．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是四边形内部的一点，且平面与平面的夹角为，则点的轨迹的长度为（   ）    A． B． C． D． 巩固练习（三） 1．若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱上靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，则点形成的轨迹长度为 ．    2．已知是正四面体对棱的中点，为平面上的动点，且与成，则点的轨迹是 ． 3．如图，圆锥的顶点为V，将半径为R的球置于该圆锥内，使得球与圆锥侧面相切于圆O，平面β与球O切于点F，A为圆O上一点，V，A，O，F四点共面，且平面β，平面β截该圆锥所得截口曲线为Γ，M为曲线Γ上一动点，记圆O所在平面为平面α，，，垂足为N，交圆O于点P，．某同学根据自己的研究给出下列四个结果：    ①；②；③Γ是双曲线的一部分；④若越大，则曲线Γ的开口越大． 则上述四个结果中正确的个数为 类型四：等距类轨迹问题 方法一：转化为在平面内的距离关系，借助球和圆的定义等知识求解轨迹 【经典例题】1．在棱长为的正方体，且为底面内一动点，且，则线段的长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 方法二：利用空间坐标运算求轨迹 【经典例题】2．已知在正方体中，，是正方形及其内部的动点，，则满足条件的点构成的图形的面积等于（   ） A． B． C． D． 巩固练习（四） 1．在三棱锥中，，若点在的内部及边界上运动，且，则点的轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥，满足，且，，两两垂直．在底面内有一动点到三个侧面的距离依次成等差数列，则点的轨迹是（　　） A．一个点 B．一条线段 C．一段圆弧 D．一段抛物线 3．如图，八面体的每一个面都是正三角形，各顶点都在以O为球心，半径为的球面上，并且A，B，C，D在同一平面内，点Q为此八面体表面上的动点，且，则点Q的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 4．已知正方体的棱长为1，点为平面内一点，若点到棱和的距离相等，则点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线 5．已知正方体的棱长为，空间中的点满足：，其中，且，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 6．如图，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，点是平面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在棱长为1的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，给出下列结论：①；②；③；④其中正确的结论是： ．（填上你认为所有正确的结论序号） 8．在棱长为3的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则三棱锥体积的最大值为 . 9．已知正方体的棱长为2，为的中点，若动点在正方形内，且点到直线的距离是到平面的距离的倍，则点到直线与的距离之和的最小值为 ． 10．在长方体中，是矩形内一动点．若点到直线的距离的平方比点到直线距离平方的两倍还大1．则动点的轨迹 的一部分． 综合练习（多选题专练） 1．（多选）已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，为上底面上的动点，给出下列四个结论中正确的结论为（    ） A．若，则满足条件的点有且只有一个 B．若，则点的轨迹是一段圆弧 C．若平面，则长的最小值为 D．若平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为 2．如图，在正三棱柱中，，点为的中点，点为四边形内（包含边界）的动点，则以下结论正确的是（    ） A． B．若平面，则动点的轨迹的长度等于 C．异面直线与，所成角的余弦值为 D．若点到平面的距离等于，则动点的轨迹为抛物线的一部分 3．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，点在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（    ）    A．若，则动点的轨迹是一条直线 B．若，则动点的轨迹长度为 C．若，则动点的轨迹长度为 D．若点在正方形所在平面上运动，的面积为，则动点的轨迹为椭圆 4．已知正方体的棱长为2，P为平面ABCD内一点，点M，N，Q分别是棱的中点，下列说法正确的是（    ） A．平面MNQ与正方体各面的交线围成的是正六边形 B．直线PM与直线QN是异面直线 C．当P在四边形ABCD内部（含边界）时，三棱锥P-MNQ体积的最大值为1 D．若P到棱CD，距离相等的点，则点P的轨迹是双曲线 5．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ） A． B．三棱锥的体积为 C．若在底面内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹的长度为 D．由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 6．如图，在棱长为1的正方体中，底面内（含边界）有一动点，下列说法正确的有（   ） A．若平面平面，则 B．若异面直线与所成角为，则的取值范围是 C．当时，点的轨迹长度为 D．四棱锥外接球的表面积最小值为 7．在棱长为2的正方体中，点在正方形内运动（含边界）且平面，则（    ） A．点的轨迹长度大小为 B．三棱锥的体积始终不变 C．异面直线与所成角的大小可能为 D．当异面直线与所成角最大时，四面体的外接球的表面积为 8．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（   ）      A． B．三棱锥的体积为 C．若在底面内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹的长度为 D．由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 9．已知正方体的棱长为为底面内一动点，且，则（    ） A．点的轨迹的长度为 B．平面 C．恰有一个点，满足 D．与平面所成的角的正弦值的最大值为 10．已知正方体的棱长为1，动点在底面内，且，则（    ） A．平面 B．的轨迹长度为 C．恰有一个点，满足 D．与平面所成角的正弦值的最大值为 11．若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，下列结论正确的是（ ） A．点形成的轨迹长度为 B．有且仅有一个点使得 C．四面体的体积取值范围为 D．线段长度最小值为 12．如图，在三棱锥中，侧棱OA，OB，OC两两垂直，且，P为底面ABC内一动点（含边界），点P到三个侧面的距离分别为，，，直线OP和三条侧棱所成的角分别为，，，直线OP和三个侧面所成的角分别为α，β，γ，则（    ） A．该三棱锥的外接球半径为 B． C． D．当时，P点的轨迹长度为 13．如图，在棱长为2的正方体中，是侧面内的一点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（　　） A．过的平面截此正方体所得的截面为四边形 B．当为棱的中点时，过点的平面截该正方体所得的截面的面积为 C．点到直线的距离的最小值为 D．当为棱的中点且时，则点的轨迹长度为 14．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（    ）    A．存在点使得平面 B．直线与平面所成角正弦值为 C．的最小值为 D．若点在正方体，表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 15．如图，已知正方体的棱长为，点在上，为正方形内一动点含边界，则下列结论正确的是（   ） A．若为棱中点，则过点的截面周长为 B．在点的运动过程中，与平面所成角的取值范围 C．若为棱中点，且，则点的轨迹长度为 D．当，为的中点，则点的轨迹面积为 16．已知正方体的棱长为，动点在正方体底面上（包含边界），则下列说法正确的是（    ） A．不存在点，使得面 B．存在点，使得面 C．若，则点的轨迹长度为 D．若为面的中心，则的最小值为 17．在棱长为的正方体中，点P在正方体内（包含边界）运动.则下列说法正确的是（   ） A．若动点P在面上的运动，且，则点P轨迹的长度为 B．直线与所成角为，则动点P所围成的图形的面积是 C．若P为线段上的动点，则三棱锥的体积为定值 D．若动点P在面内运动，且，则线段长的最小值为 18．在棱长为的正方体中，，点是正方体表面上的动点，为的中点，则下列正确的是（    ） A．直线与平面所成最小角的余弦值为 B．若点分别为的中点，平面与交于点，则 C．若，则从点出发沿正方体的表面到达点的最短距离为 D．若，则点的轨迹长度为 19．已知正方体的棱长为4，点为正方形（包括边界）内的一个动点，为的中点，为四边形的中心，下列结论证确的是（　　） A．若，则点的轨迹是椭圆的一部分 B．的最小值为 C．的最小值为 D．若，则周长的最小值为 21．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（    ） A．若点与点重合，则异面直线与所成的角的大小为 B．若点满足，则动点的轨迹长度为 C．三棱锥体积的最大值为 D．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 22．如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，且，则三棱锥体积为定值 B．若，则动点所围成的图形的面积为 C．若，则的最小值为3 D．若动点满足，则的轨迹的长度为 23．在正方体中，，为的中点，是正方形内部及边界上一动点，则下列说法正确的是（   ） A．平面平面 B．当时，点的轨迹长度为 C．存在直线与平面内的直线成角 D．若，分别为的三等分点，则的最小值为 24．在棱长为1的正方体中，有，则下列说法中正确的是（    ） A．直线与平面所成角的正弦值为 B．点到直线的距离为1 C．四棱锥外接球表面积为 D．动点在正方体的表面上，满足，则的轨迹长为 25．两千多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）.已知圆锥轴截面的顶角为，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为.当，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为抛物线；当时，截口曲线为双曲线.在长方体中，，点在平面内，下列选项正确的是（   ） A．若点到直线的距离与点到平面的距离相等，则点的轨迹为直线 B．若点到直线的距离与点到的距离之和等于，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为抛物线 D．若，则点的轨迹为双曲线 学科网（北京）股份有限公司 $