专题 5.4 一元一次方程的解法（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年浙教版七年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 5.4 一元一次方程的解法 目录 一． 知识梳理与题型分类精析 1 【新知识引入1】 2 【知识点一】一元一次方程的解法——移项、合并同类项 2 【★题型1】解一元一次方程——合并同类项与移项辨析 2 【★题型2】解一元一次方程——合并同类项与移项 4 【小结归纳】 5 【新知识引入2】 6 【知识点二】一元一次方程的解法——去括号 6 【★题型3】一元一次方程的解法——去括号辨析 6 【★题型4】一元一次方程的解法——去括号 7 【★★题型5】一元一次方程的解法——去括号 9 【新知识引入3】 10 【知识点三】一元一次方程的解法——去分母 10 【★题型6】解一元一次方程——去分母辨析 11 【★题型7】解一元一次方程——去分母 12 【★★题型8】解含小数的一元一次方程辨析 15 【★★题型9】解含小数的一元一次方程 16 二．同步练习​ 18 【★基础巩固（16题）】 18 【★★能力提升（16题）】 27 1． 知识梳理与题型分类精析 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【新知识引入1】 （2024七年级上·浙江·专题练习）利用等式的性质解方程． 【分析】本题考查利用等式的性质解方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．在等式的两边同时加上，再减去6，然后再除以5． 解：原方程两边同时加上得： 原方程两边同时减去6可得： 合并同类项得：， 原方程两边同时除以5可得：， 像这样：一元一次方程通过等式的基本性质进行变形得到：我们得到了： 【知识点一】一元一次方程的解法——移项、合并同类项 一般地,把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项 【要点提示】移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边,把常数项移到等号的右边。 【★题型1】解一元一次方程——合并同类项与移项辨析 【例题1】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）下列方程的变形中，不正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的变形，熟练掌握等式的性质和移项法则是解题的关键． 根据等式的性质和移项法则，对每个选项的方程变形进行判断． 解：∵ ，移项得， ∴ 选项A中不正确，故A选项符合题意． ∵ ，两边同乘得， ∴ 选项B正确，不符合题意． ∵ ，两边同除以得 ∴ 选项C正确，不符合题意． ∵ ，移项得 ∴ 选项D正确，不符合题意． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）下列方程变形正确的是（    ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式的性质． 根据解一元一次方程或等式的性质，即可作出判断． 解：A、由得，原式正确，符合题意； B、由得，原式错误，不符合题意； C、由得到，原式错误，不符合题意； D、由得，原式错误，不符合题意， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列移项正确的是（    ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】C 【分析】根据移项的定义：把等式的某项变号后移到另一边，叫做移项．根据定义对选项进行分析，即可得到答案． 解：、由得，故选项不正确，不符合题意； 、由得，故选项不正确，不符合题意； 、由得，故选项正确，符合题意； 、由得，故选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【点拨】本题考查解一元一次方程——移项，解题的关键是熟练掌握移项一定要变号． 【★题型2】解一元一次方程——合并同类项与移项 【例题2】（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）直接合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）直接合并同类项，系数化为1，即可求解． 解：（1）解：合并同类项得，， x的系数化为1得，； （2）解：合并同类项得，， x的系数化为1得，． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）移项，合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 解：（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式2】（25-26七年级上·全国·随堂练习）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】此题考查解一元一次方程，熟练掌握解法是解题的关键： （1）先移项，再合并同类项，系数化为1求出方程的解； （2）先移项，再合并同类项，系数化为1求出方程的解； （3）先移项，再合并同类项，系数化为1求出方程的解； （4）先移项，再合并同类项，系数化为1求出方程的解． 解：（1）解：； 移项得 合并同类项得 系数化为1得； （2） 移项得 合并同类项得 系数化为1得； （3） 移项得 合并同类项得 系数化为1得； （4） 移项得 合并同类项得 系数化为1得． 【小结归纳】 一般来说，有同类项先合并同类项，再把含未知数的项移到方程左边，把常数项移到方程右边，易错点:（1）移项没有变号.（2）系数化为1时，的解写成了 【新知识引入2】 （24-25七年级上·吉林白城·期末）解方程： 解：去括号得：（理论依据：去括号法则）， 移项得：（理论依据：等式基本性质1）， 合并同类项得：（理论依据：合并同类项法则）． 系数化为1得：（理论依据：等式基本性质2） 【知识点二】一元一次方程的解法——去括号 当方程中的一边或两边有括号时，我们往往先去掉括号，再进行移项、合并同类项等变形求解。 【★题型3】一元一次方程的解法——去括号辨析 【例题3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并回答问题． 解：                 第①步                 第②步                           第③步 ．                         第④步 （1）小明解方程时，从第___________步开始出现错误； （2）写出正确的解方程过程． 【答案】（1）①；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程： （1）根据乘法分配律判断即可； （2）根据去括号，移项，合并同类项，系数化成1的步骤求解即可． 解：（1）解∶ 小明解方程时，从第①步开始出现错误，错误原因在去括号时，没有将括号内所有项都乘以2，常数项1漏乘了2， 故答案为∶①； （2）解∶ ． 【变式1】（24-25七年级上·广东佛山·期末）解方程 时，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．去括号时，一是注意不要漏乘括号内的项，二是明确括号前的符号．根据乘法分配律先将2乘进去即可． 解： 去括号，得， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·假期作业）解方程，步骤如下： （1）去括号，得． （2）移项，得． （3）合并同类项，得， （4）系数化为，得． 经检验知不是原方程的解，解题的四个步骤中有错，其中开始出现错误的一步是（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，本题中在第（）步移项时，没有改变符号，导致出现错误． 解：步骤（）中把从等号右边移项到等号左边，需要改变符号， 故开始出现错误的一步是第（） 故选：B． 【★题型4】一元一次方程的解法——去括号 【例题4】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）解方程∶ 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，先去括号，再移项合并同类项，最后将系数化为1即可． 解：， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键. （1）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可. 解：（1）解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 将x的系数化为1，得． （2）解：去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 将x的系数化为1，得． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知是方程的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得，解出再代入进行计算，即可作答． 解：∵是方程的解， ∴， ∴， 则， 解得 则． 【★★题型5】一元一次方程的解法——去括号 【例题5】（2025七年级上·全国·专题练习）整体法解方程：． 【答案】． 【分析】本题考查一元一次方程求解，运用整体换元思想，将设为整体简化方程，关键是通过换元转化为简单方程，易错点为换元后回代计算时的符号或运算错误； 解题思路是设为整体，将原方程转化为关于该整体的方程，求解后回代得的值． 解：设，原方程可转化为， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得， 即， 解得． 【变式1】（24-25七年级下·江西上饶·期中）解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解． 先将方程中的括号依次去掉，移项合并同类项，将x系数化为1，即可得解． 解：， ， 解得：． 【变式2】（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先去括号，移项，然后合并同类项，将系数化为1，即可作答． 解： 整理得 去括号，得， 移项，得 合并同类项得， 将系数化为1，得． 【新知识引入3】 （24-25七年级上·甘肃张掖·期末）解方程：； （1）解：去分母得：（理论依据：等式基本性质2）， 去括号得：（理论依据：去括号法则）， 移项得：（理论依据：等式基本性质1）， 合并同类项得：（理论依据：合并同类项法则）， 系数化为得：（理论依据：等式基本性质2）. 【知识点三】一元一次方程的解法——去分母 解一元一次方程的一般步骤 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 （1）不要漏乘不含分母的项 （2）分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 （1）不要漏乘括号里的项 （2）不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号） （1）移项要变号 （2）不要丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b（a≠0）的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 【★题型6】解一元一次方程——去分母辨析 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，将错就错，求出的值，再解方程，求出方程的解即可. 解：根据小明的错误解法得：， 把代入得：， 解得：， ， 去分母得：. 去括号得：. 移项并合并同类项得：. 系数化为得：. 故选：． 【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）某同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘以2，因而求得方程的解为，则a的值和方程的正确的解分别是多少？（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解法及错解还原问题，解题的关键是根据“去分母时右边未乘2”的错误操作，先列出错误方程，再将错解代入求出a的值，最后代入原方程计算正确解． 先根据错误操作（去分母时右边不乘2）写出错误方程；将错解代入错误方程，求出a的值；再把a的值代入原方程，按正确步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解，最后匹配选项． 解：由原方程去分母时右边未乘2，得． ∵错解满足错误方程， ∴代入得， 即，解得． 将代入原方程， 去分母得， 移项合并得，解得． 综上，，正确的解，对应选项C． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求含参数一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的计算方法是解题的关键． 利用“将错就错”的方法求出的值，再将代入原方程即可得到答案． 解：由题意可得：的解为， 将代入中，得： ∴， 再将代入中，得： ∴， 故选：B． 【★题型7】解一元一次方程——去分母 【例题7】（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 解：（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． 【变式1】（23-24八年级下·重庆北碚·开学考试）解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式方程，熟练掌握解方程的方式是解题的关键． 利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 解：（1）方程两边都乘以得： ， 解得x＝， 检验：当x＝时，， ∴x＝是原方程的根； （2）原方程变形为， 方程两边都乘以得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根． 【变式2】（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）解方程： （1） （2）． 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1这些步骤是解题的关键． （1）先给方程两边同乘分母的最小公倍数去分母，然后去括号、移项、合并同类项来求解方程． （2）先给方程两边同乘分母的最小公倍数去分母，再去括号，接着移项、合并同类项，最后将系数化为1来求解方程． 解：（1）解： ； （2）解： ； 【新知识引入4】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）解方程：． 解：整理得：（理论依据：分数的基本性质）， 去分母得：（理论依据：等式基本性质2）， 去括号得：（理论依据：去括号法则）， 移项得：（理论依据：等式基本性质1）， 合并同类项得：（理论依据：合并同类项法则）， 系数化为得：（理论依据：去括号法则）． 【★★题型8】解含小数的一元一次方程辨析 【例题8】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）把方程的分母化为整数可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程． 通过将分母中的小数化为整数，利用分数的基本性质，将分子和分母同时乘以10，得到新的方程即可． 解：将原方程两边的分子和分母同时乘以10得：， 故选：B． 【变式1】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）将方程中分母化为整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的转化．将方程中的分母由小数化为整数，需对每个分数分别处理，分子分母同乘适当倍数，保持等式成立． 解：原方程为：， 分母化为整数需乘以10，分子分母同乘10得， 分母化为整数需乘以10，分子分母同乘10得， 则原方程变形为， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）将方程变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的变形，对每一个式子先进行化简、整理为整数形式是解题的关键． 本题方程两边都含有分数系数，在变形的过程中，利用分式的性质将分式的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，将小数方程变为整数方程，把含分母的项的分子与分母都扩大原来的倍． 解：含分母的项的分子与分母同乘以得： 化简得： 故选：C 【★★题型9】解含小数的一元一次方程 【例题9】（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：1． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，将原方程变形为1，再根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出未知数的值即可． 解：， 方程整理得：1， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 移项合并得：， 系数化为１，得：． 【变式1】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解下列方程 （1） （2 【答案】（1）； （2） 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，涉及移项合并、去括号、分母化为整数等步骤；解题的关键是根据方程特点选择对应步骤（如含括号先去括号、含小数分母先化整数），再通过移项合并、系数化为1求解． （1）先将分母化为整数，再去分母、去括号、移项合并、系数化为1． （2）先将分母化为整数，再去分母、去括号、移项合并、系数化为1． 解：（1）， 分母化整数：， 化简：， 合并：， 移项：， 系数化为1：． （2）， 分母化整数：， 去分母：， 去括号：， 合并：， 移项：， 系数化为1：． 【变式2】（24-25六年级下·山东淄博·月考）解方程． （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解决问题的关键． （1）分子、分母都化为整系数后，根据解一元一次方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项以及系数化为1即可解得答案； （2）分子、分母都化为整系数后，根据解一元一次方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项以及系数化为1即可解得答案； 解：（1）解：， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ； 二．同步练习​ 【★基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）代数式与的值互为相反数，则m的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数，解一元一次方程等知识，根据相反数的定义列出关于m的一元一次方程，解方程即可得出答案． 解：根据题意可知：， 去分母得： 去括号得： 移项，合并同类项得：， 化系数为1：， 故选B． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，方程两边乘以6去分母得到结果，即可作出判断． 解： 方程左右两边同时乘以6，得：， 故选D. 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列变形属于移项的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】根据移项的定义：“把等式一边的某项变号后移到另一边”进行解答即可得． 解：A、由，得,等式左边两项只交换位置，没有移项，故不符合题意； B、由，得，系数化为，没有移项，故不符合题意； C、由，得，左边移到右边变为，属于移项，故符合题意； D、由，得，左边进行了合并同类项，没有移项，故不符合题意； 故选： ． 4．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）关于x的方程的解与的解相同，则m的值是（    ） A．5 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查的是同解方程，求出第二个方程的解，把x的值代入第一个方程，求出m的值即可． 解：， 移项，得， 合并同类项，得， 解得， ∵关于x的方程的解与的解相同， ∴关于x的方程的解为， 把代入，得， 解得． 故选：B． 5．（17-18七年级上·河北保定·期末）小马虎在做作业，不小心将方程中的一个常数污染了，怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是．请问这个被污染的常数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解的定义以及一元一次方程的解法，掌握方程的解的定义是解题的关键．设被污染的数字为n，将代入，得到关于n的方程，从而可求得n的值． 解：设被污染的数字为n． 将代入得：． 解得：． 故选：B． 6．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）把方程的分母化为整数的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程，方程利用分数的基本性质化简，整理即可得到结果． 解：把方程的分母化为整数的方程是． 故选：C． 二、填空题 7．（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）是的相反数，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相反数、一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．根据相反数的定义可得，解方程即可得． 解：∵是的相反数，的相反数是5， ∴， ∴， 故答案为：3． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】 【分析】先将方程变形，求出的值，再根据平方根的定义求出的值．本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 解： 的值为， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）方程的解是 ． 【答案】 【分析】需通过去括号、移项、合并同类项等步骤求解. 解： 故答案为： ． 【点拨】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤，确保每一步运算准确. 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知方程与关于x的方程的解相同，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，先求出同解方程的解，再求出的值． 先解第一个方程得到的值，再把的值代入第二个方程，解关于的方程； 解：解方程 移项可得 通分得到 即 系数化为1得 因为两个方程的解相同，把代入 得到 去分母得 移项可得 合并同类项得 系数化为1得 故答案为：． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）若代数式比的值大，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤和方法． 根据题意，列出一元一次方程，然后解一元一次方程，即可得到答案． 解：根据题意得： 去分母得： 去括号得： 合并同类项，移项得： 系数化为得： 故答案为：． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）若关于x的方程与的解相同，求k的值．完成下面的解题过程． 解：解方程，得 ． 由题意，得 （ ）， 解得 ． 【答案】 8 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、方程的解等知识点，掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键． 先求得方程的解，然后代入求解即可． 解：， ， ， ； 把代入得， 解得． 故答案为：，，，8． 三、解答题 13．（25-26七年级上·重庆·月考）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）移项，合并同类项，的系数化为，即可得到答案； （2）去括号，移项，合并同类项，的系数化为，即可得到答案． 解：（1）解： ； （2）解： ． 14．（25-26七年级上·吉林长春·月考）（1）的值比的值小1，求的值． （2）取何值时，代数式与的差为1． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的应用． （1）根据题意，可建立方程，解方程即可求得的值； （2）根据题意，可建立方程，解方程即可求得的值． 解：（1）由题意得：， 方程两边同乘6，得 ， 去括号得： ， 移项，合并同类项得：， 解得：； （2）根据题意得， 去括号得： ， 移项合并同类项得：， 解得：． 15．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，根据方程依次去分母，去括号，合并同类项求解即可． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤解方程即可； （3）利用乘法分配律去掉中括号，然后按照去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤解方程即可； （4）先利用分数的基本性质，将分母中含有的小数化整，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤解方程即可． 解：（1） 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化1，得 （2） 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化1，得 （3） 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化1，得 （4） 解：化简，得 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化1，得 16．（23-24七年级上·北京延庆·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为……第一步， 方程两边同时乘15，得……第二步， 去括号，得……第三步， 移项，得……第四步， 合并同类项，得……第五步， 系数化为1，得……第六步 上述小明的解题过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________． 请你写出正确的解题过程． 【答案】三，去括号时没有改变符号；正确的解题过程见解答 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握其求解步骤是本题的关键．按照一元一次方程的求解步骤逐步检查并纠正即可． 解：小明的解题过程从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号时没有改变符号． 故答案为：三，去括号时，与相乘的积的符号错误； 正确的解题过程如下： 原方程可化为：， 方程两边同时乘15，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【★★能力提升（16题）】 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义和一元一次方程的解法等知识，根据一元一次方程的定义求出m是解题关键． 解：因为方程是关于x的一元一次方程， 所以， 所以， 所以原方程为， 所以， 故选：A． 2．（安徽省淮北市五校联考2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题）在解关于x的方程时，小佳错把“”看成了“”，解得，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 小佳将原方程中的“”看成了“”，得到错误方程并求解，代入错误解可求出m的值． 解：∵ 小佳看错后的方程为，且解得， ∴ 代入得， 即， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 3．（20-21七年级上·陕西渭南·期末）已知关于的方程与的解互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，相反数的定义，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键；先求出两个方程的解，再根据相反数的定义得出关于的一元一次方程，解方程即可求解． 解：解方程，得， 解方程，得， ∵两个方程的解互为相反数， ∴， 解得， 故选：． 4．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）对于方程，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的去括号法则，根据方程的去括号法则即可求解，掌握方程去括号法则是解题的关键． 解：， ∴去括号得：， 故选：D． 5．（24-25七年级上·重庆丰都·阶段练习）若关于x的方程的解是正整数，则所有满足条件的正整数m的和为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程方程的解，首先解方程，将原方程转化为关于x的表达式，再根据解为正整数确定m的可能值，最后求和． 解： ， 两边同乘3，得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ∴， ∵关于x的方程的解是正整数，m是正整数， ∴或， 解得 或 ， ∴满足条件的 为2和4，和为 ， 故选：C． 6．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知与是同一个数的平方根，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是平方根，解题关键是掌握平方根的性质． 一个正数有两个平方根且互为相反数，的平方根是，所以同一个数的平方根可能相等，也可能互为相反数．则或，求解即可得到答案． 解：和是同一个数的平方根， 有或， 解得或． 故选：． 二、填空题 7．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知正数m的两个不同的平方根分别为和，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义和求一个数的立方根，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，据此列方程求出的值，再求出，然后计算，最后求其立方根． 解：∵正数的两个不同的平方根分别为和， ∴ ， 即， 解得， ∴， ∴， ∴ ， ∴ 的立方根为， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）若是关于x的方程的解，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握方程的解是满足方程未知数的值成为解题的关键． 将代入方程得到，即．然后将代入方程求解即可． 解：∵是方程的解， ∴，即， 将代入方程，得， ∴， ∴． ∵， ∴，解得． 故答案为． 9．（2023九年级下·浙江·竞赛）若关于x的一元一次方程的解为，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解、解一元一次方程等知识点，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 将代入原方程，解之可得出，将方程转化为，再将代入求解即可得到x的值． 解：将代入原方程得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）关于x的一元一次方程的解与方程的解互为相反数，则满足条件的a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，方程的解的含义，解方程，先求出方程的解，然后把求出的解的相反数代入方程，从而求出a即可． 解：， 去分母得：， 去括号得：， ∴， 解得：， ∵关于x的一元一次方程的解与方程的解互为相反数， ∴关于x的一元一次方程的解是， 把代入方程得： ， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·全国·期中）在数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，且A、B两点的距离为6，则x的值为 ． 【答案】1或7 【分析】本题考查数轴上两点距离的表示方法及绝对值方程的求解．根据数轴上两点距离公式，列出方程并求解即可． 解：由题意，A、B两点的距离为， ∴或， 解得或． 故答案为：7或1． 12．（23-24七年级上·全国·期末）如图所示的是一组用“”组成的图案，每个图案的的总数用来表示，当时，；当时，；当时，，当时， ． 【答案】674 【分析】本题考查了规律型－图形的变化类．根据已知的图形中点数的变化得出规律是解题关键． 根据已知的图形中点的个数得出变化规律进而求出即可． 解：∵第一个图形中有个点， 第二个图形中有个点， 第三个图形中有个点， 第四个图形中有个点， …， ∴第n个图形中有个点， 即：， 当时，，解得：． 故答案为：674． 三、解答题 13．（安徽省淮北市五校联考2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）先合并括号，再两边都除以，最后移项合并同类项，即得； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 解：（1）解：原方程可化为， 合并括号，得， 两边都除以，得， 移项合并同类项，得． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 系数化成1，得． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程． （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次方程的解法等知识﹒ （1）先将原方程整理为分子分母都是整数的方程，再解方程即可； （2）先将原方程整理为分子分母都是整数的方程，再解方程即可﹒ 解：（1）解： 原方程整理得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得； （2）解： 原方程整理得， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得﹒ 15．（25-26七年级上·吉林长春·期中）“无限循环小数能化成分数吗？”受到教材中这个数学活动的启发，某同学对无限循环小数转化成分数的过程进行了探究．以下是他以和为例进行的纯无限循环小数和混无限循环小数转化成分数的探究： 设， 则． 因为， 所以， 解得， 所以． 由左侧推导可知， 所以 ． （1）请仿照上述推导过程，将纯无限循环小数化为分数；（写出推导过程） （2）将混无限循环小数化为分数为___________； （3）计算：___________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了无限循环小数化为分数，一元一次方程的应用； （1）仿照例题推导过程，设未知数，列出方程，解方程，即可求解； （2）仿照例题推导过程，设未知数，列出方程，解方程，即可求解； （3）根据（1）的方法，分别将无限循环小数化为分数，再进行计算即可求解． 解：（1）解：设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ （2）解：设 ， 则 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 故答案为：． （3）解：同（1）可得，， ∴ 。 故答案为：． 16．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【问题背景】解方程： （1）； （2）． 小张同学通过观察这两个方程的结构，发现这两个方程的解存在关联．请你观察并解这两个方程． 【实践应用】小李同学发现当时，关于的方程①和关于的方程②的结构也有一定的关联．已知方程①的解是，求方程②的解． 【拓展延伸】若关于的方程的解是，求关于的方程的解． 【答案】【问题背景】（1） ；（2）【实践应用】【拓展延伸】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解决本题额关键是将两个方程的结构写成一致的，求出解． [问题背景]（1）（2）根据题意，两个方程的结构是一致的，解出两个未知数； [实践应用]关于的方程①和关于的方程②的结构也有一定的关联的结构，因为的解是，所以，解出y即可； [拓展延伸]将方程化简，可得，将化简得，两个方程的结构存在关联，两个方程的解存在关联，方程的解是，所以，得，求出y即可． 解：[问题背景] （1）， ， （2）令，则原方程变成， 由（1）可得出 ∴ [实践应用] ∵方程的解是， 关于的方程①和关于的方程②的结构也有一定的关联，且 ∴， 即， 解得∶； 所以方程②的解是∶ [拓展延伸] ∵， 即， ∴， 即方程的解是， 由 得： 即， ∵两个方程的结构存在关联，两个方程的解存在关联，且方程的解是， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.4 一元一次方程的解法 目录 一． 知识梳理与题型分类精析 1 【新知识引入1】 1 【知识点一】一元一次方程的解法——移项，合并同类项 2 【★题型1】解一元一次方程——合并同类项与移项辨析 2 【★题型2】解一元一次方程——合并同类项与移项 2 【小结归纳】 3 【新知识引入2】 3 【知识点二】一元一次方程的解法——去括号 3 【★题型3】一元一次方程的解法——去括号辨析 3 【★题型4】一元一次方程的解法——去括号 4 【★★题型5】一元一次方程的解法——去括号 4 【新知识引入3】 4 【知识点三】一元一次方程的解法——去分母 4 【★题型6】解一元一次方程——去分母辨析 5 【★题型7】解一元一次方程——去分母 5 【★★题型8】解含小数的一元一次方程辨析 6 【★★题型9】解含小数的一元一次方程 6 二．同步练习​ 7 【★基础巩固（16题）】 7 【★★能力提升（16题）】 8 1． 知识梳理与题型分类精析 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【新知识引入1】 （2024七年级上·浙江·专题练习）利用等式的性质解方程． 【分析】本题考查利用等式的性质解方程，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．在等式的两边同时加上，再减去6，然后再除以5． 解：原方程两边同时加上得： 原方程两边同时减去6可得： 合并同类项得：， 原方程两边同时除以5可得：， 像这样：一元一次方程通过等式的基本性质进行变形得到：我们得到了： 【知识点一】一元一次方程的解法——移项，合并同类项 一般地,把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项 【要点提示】移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边,把常数项移到等号的右边。 【★题型1】解一元一次方程——合并同类项与移项辨析 【例题1】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）下列方程的变形中，不正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式1】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）下列方程变形正确的是（    ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列移项正确的是（    ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【★题型2】解一元一次方程——合并同类项与移项 【例题2】（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程： （1） （2）． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程： （1）； （2）． 【变式2】（25-26七年级上·全国·随堂练习）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【小结归纳】 一般来说，有同类项先合并同类项，再把含未知数的项移到方程左边，把常数项移到方程右边，易错点:（1）移项没有变号.（2）系数化为1时，的解写成了 【新知识引入2】 （24-25七年级上·吉林白城·期末）解方程： 解：去括号得：（理论依据：去括号法则）， 移项得：（理论依据：等式基本性质1）， 合并同类项得：（理论依据：合并同类项法则）． 系数化为1得：（理论依据：等式基本性质2） 【知识点二】一元一次方程的解法——去括号 当方程中的一边或两边有括号时，我们往往先去掉括号，再进行移项、合并同类项等变形求解。 【★题型3】一元一次方程的解法——去括号辨析 【例题3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并回答问题． 解：                 第①步                 第②步                           第③步 ．                         第④步 （1）小明解方程时，从第___________步开始出现错误； （2）写出正确的解方程过程． 【变式1】（24-25七年级上·广东佛山·期末）解方程 时，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·假期作业）解方程，步骤如下： （1）去括号，得． （2）移项，得． （3）合并同类项，得， （4）系数化为，得． 经检验知不是原方程的解，解题的四个步骤中有错，其中开始出现错误的一步是（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【★题型4】一元一次方程的解法——去括号 【例题4】（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）解方程∶ 【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）解下列方程： （1）； （2） 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知是方程的解，求的值． 【★★题型5】一元一次方程的解法——去括号 【例题5】（2025七年级上·全国·专题练习）整体法解方程：． 【变式1】（24-25七年级下·江西上饶·期中）解方程：． 【变式2】（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：． 【新知识引入3】 （24-25七年级上·甘肃张掖·期末）解方程：； （1）解：去分母得：（理论依据：等式基本性质2）， 去括号得：（理论依据：去括号法则）， 移项得：（理论依据：等式基本性质1）， 合并同类项得：（理论依据：合并同类项法则）， 系数化为得：（理论依据：等式基本性质2）. 【知识点三】一元一次方程的解法——去分母 解一元一次方程的一般步骤： 变形名称 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 （1）不要漏乘不含分母的项 （2）分子是一个整体的，去分母后应加上括号 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 （1）不要漏乘括号里的项 （2）不要弄错符号 移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号） （1）移项要变号 （2）不要丢项 合并同类项 把方程化成ax＝b（a≠0）的形式 字母及其指数不变 系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解． 不要把分子、分母写颠倒 【★题型6】解一元一次方程——去分母辨析 【例题6】（25-26七年级上·全国·课后作业）小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）某同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘以2，因而求得方程的解为，则a的值和方程的正确的解分别是多少？（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（   ） A． B． C． D． 【★题型7】解一元一次方程——去分母 【例题7】（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： （1） （2） 【变式1】（23-24八年级下·重庆北碚·开学考试）解分式方程： （1）； （2）． 【变式2】（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）解方程： （1） （2）． 【新知识引入4】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）解方程：． 【★★题型8】解含小数的一元一次方程辨析 【例题8】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）把方程的分母化为整数可得方程（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）将方程中分母化为整数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）将方程变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【★★题型9】解含小数的一元一次方程 【例题9】（2025六年级上·全国·专题练习）解方程：1． 【变式1】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解下列方程 （1） （2 【变式2】（24-25六年级下·山东淄博·月考）解方程． （1） （2） 二．同步练习​ 【★基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）代数式与的值互为相反数，则m的值为（   ） A． B． C． D．1 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列变形属于移项的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）关于x的方程的解与的解相同，则m的值是（    ） A．5 B． C． D．6 5．（17-18七年级上·河北保定·期末）小马虎在做作业，不小心将方程中的一个常数污染了，怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是．请问这个被污染的常数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）把方程的分母化为整数的方程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）是的相反数，则 ． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则 ． 9．（25-26七年级上·全国·课后作业）方程的解是 ． 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知方程与关于x的方程的解相同，则a的值为 ． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）若代数式比的值大，那么的值为 ． 12．（24-25七年级上·全国·课后作业）若关于x的方程与的解相同，求k的值．完成下面的解题过程． 解：解方程，得 ． 由题意，得 （ ）， 解得 ． 三、解答题 13．（25-26七年级上·重庆·月考）解方程： （1）； （2）． 14．（25-26七年级上·吉林长春·月考）（1）的值比的值小1，求的值． （2）取何值时，代数式与的差为1． 15．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）解方程 （1） （2） （3） （4） 16．（23-24七年级上·北京延庆·期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为……第一步， 方程两边同时乘15，得……第二步， 去括号，得……第三步， 移项，得……第四步， 合并同类项，得……第五步， 系数化为1，得……第六步 上述小明的解题过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________． 请你写出正确的解题过程． 【★★能力提升（16题）】 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是（　　） A． B． C． D． 2．（安徽省淮北市五校联考2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题）在解关于x的方程时，小佳错把“”看成了“”，解得，则m的值为（     ） A． B． C． D． 3．（20-21七年级上·陕西渭南·期末）已知关于的方程与的解互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）对于方程，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·重庆丰都·阶段练习）若关于x的方程的解是正整数，则所有满足条件的正整数m的和为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（23-24八年级上·河北保定·期末）已知与是同一个数的平方根，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 7．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知正数m的两个不同的平方根分别为和，则的立方根为 ． 8．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）若是关于x的方程的解，则关于x的方程的解是 ． 9．（2023九年级下·浙江·竞赛）若关于x的一元一次方程的解为，则关于x的方程的解为 ． 10．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）关于x的一元一次方程的解与方程的解互为相反数，则满足条件的a的值为 ． 11．（25-26七年级上·全国·期中）在数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，且A、B两点的距离为6，则x的值为 ． 12．（23-24七年级上·全国·期末）如图所示的是一组用“”组成的图案，每个图案的的总数用来表示，当时，；当时，；当时，，当时， ． 三、解答题 13．（安徽省淮北市五校联考2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题）计算： （1） （2） 14．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程． （1） （2） 15．（25-26七年级上·吉林长春·期中）“无限循环小数能化成分数吗？”受到教材中这个数学活动的启发，某同学对无限循环小数转化成分数的过程进行了探究．以下是他以和为例进行的纯无限循环小数和混无限循环小数转化成分数的探究： 设， 则． 因为， 所以， 解得， 所以． 由左侧推导可知， 所以 ． （1）请仿照上述推导过程，将纯无限循环小数化为分数；（写出推导过程） （2）将混无限循环小数化为分数为___________； （3）计算：___________． 16．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【问题背景】解方程： （1）； （2）． 小张同学通过观察这两个方程的结构，发现这两个方程的解存在关联．请你观察并解这两个方程． 【实践应用】小李同学发现当时，关于的方程①和关于的方程②的结构也有一定的关联．已知方程①的解是，求方程②的解． 【拓展延伸】若关于的方程的解是，求关于的方程的解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $