30.5 二次函数与一元二次方程的关系 随堂练习 2024--2025学年冀教版数学九年级下册

30.5二次函数与一元二次方程的关系 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若方程的两个根是和，则对于二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 2．如表是二次函数的若干组自变量与函数值的对应值： … … … … 你认为方程的一个根最接近（　　） A． B． C． D． 3．二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（    ） A．3 B．5 C．和5 D．3和 4．如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（    ） A．5 B．3 C． D． 6．二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，其中结论正确的为（   ） A． B． C． D． 7．已知拋物线的顶点坐标为，下列说法正确的是（  ） A． B．当时，二次函数有最小值为3 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 8．抛物线与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知抛物线开口向上，与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 10．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，则k的值为（    ） A．1 B． C．2或 D．3或 11．抛物线与x轴的交点坐标是（　　） A．， B．， C．， D．， 12．如图所示，抛物线的顶点为，若方程有两个相等实数根，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 13．如图，二次函数的图象交轴于A、两点，交轴于点，的面积为 ．    14．把函数的图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，x轴上方部分的图象不变，得到函数的图象． （1）函数的顶点为 ． （2）若函数与函数有3个交点，则b的值为 ． 15．已知二次函数的图像如图所示，则下列结论：①；②；③；④．正确的是 ．（填序号） 16．已知关于x的一元二次方程的两个根为、（）则实数，，，的大小关系为： ． 17．如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为 ． 三、解答题 18．二次函数的图象与轴只有一个交点；另一个二次函数的图象与轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且是小于的整数． 求： (1)的值； (2)二次函数的图象与轴交点的坐标． 19．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点C，使得最小，并求出C点的坐标； 20．如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点B． (1)求二次函数与一次函数的表达式． (2)根据图象，写出满足的x的取值范围 21．如图，直线和抛物线经过点，．      (1)求的值和抛物线的解析式． (2)求抛物线的对称轴和顶点坐标． (3)若．直接写出的取值范围． 22．已知抛物线W：的对称轴在y轴左侧． (1)求抛物线W经过的定点坐标； (2)将抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线． ①抛物线的解析式为______（用含a的式子表示）； ②若抛物线恰好经过抛物线W的顶点，求a的值． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C的坐标为． (1)求经过A，B，C三点的抛物线的表达式； (2)如果M为抛物线的顶点，连接，求的面积． 24．如图，已知抛物线与一直线相交于两点，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交于点M，当t为何值时，线段的长最大，并求其最大值，和此时点P的坐标； (3)若抛物线的对称轴与直线相交于点B，E为直线上的任意一点，过点E作交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由． 《30.5二次函数与一元二次方程的关系》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D A A D D D D D 题号 11 12 答案 A B 1．B 【分析】，则抛物线开口向上，由题意知，抛物线与轴的两个交点坐标为、，据此求解即可． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上， 由题意知，抛物线与轴的两个交点坐标为、， 当时，的取值范围是或， 故选：B． 【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 2．C 【分析】此题考查了图表法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．观察表格可得当时更接近于，所以得到方程的一个近似根是． 【详解】解：观察表格得：当时，，当时，， 方程的一个根最接近， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 由题意得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 解得，或， 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 5．A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与轴交点的对称性等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数（）的对称轴为，且图象与轴的一个交点的横坐标为， 由抛物线上点的对称性可知，图象与轴的另一个交点的横坐标为， 故选：A． 6．D 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；能够从函数图象获取信息，结合函数解析式、判别式、对称轴的性质解题是关键．根据以上相关性质，逐项判定即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， 即， ∴，故选项A不符合题意； 由图象可知，抛物线与x轴有两个交点， 则当 时，方程有两个不相等实数根， ∴，故选项B不符合题意； 由图象，抛物线与x轴交于， 代入，可得， 故选项C不符合题意； 由抛物线对称性可知，原点关于直线的对称点在抛物线上方， ∴当时，，故选项D符合题意； 故选：D 7．D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据顶点坐标可把解析式化为顶点式，再由当时，，可判断A；根据函数开口向上结合顶点坐标可判断B、C；求出抛物线与x轴的两个交点坐标即可判断D． 【详解】解：在中，当时，， 根据题意可知，抛物线的函数表达式为，将代入，可得，故A错误； 由顶点坐标和知，抛物线开口向上， 当时，二次函数有最小值为，故B错误； 由抛物线的顶点坐标知对称轴为直线，由知抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大，故C错误； 令，则，则或 或 抛物线与轴的交点坐标为和 结合拋物线的图象知当时，，故D正确． 故选：D． 8．D 【分析】依据题意，将代入解析式即可得解． 【详解】解：由题意，将代入函数解析式，得， 抛物线与y轴的交点坐标是， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与轴的交点，解题时要熟练掌握并理解坐标特点是关键． 9．D 【分析】根据二次函数的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴；由图象知， ∴，故A不符合题意； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故B不符合题意； ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴，故C不符合题意； ∵抛物线对称轴为直线 ∴，即，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】该题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线的增减性、对称性及其应用问题；灵活运用有关知识来分析是解题关键． 10．D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与x轴交点问题，根的判别式等知识点，根据二次函数图象与x轴有且只有一个交点，得出，即可求出k的值，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵二次函数的图象与x轴有且只有一个交点， ∴， ∴或， 故选：D． 11．A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点的交点问题，根据题意知，方程的两根就是抛物线与x轴的交点横坐标，解出两根即可得到抛物线与x轴的交点坐标． 【详解】解：根据题意知，方程的两根就是抛物线与x轴的交点横坐标， 解方程得，． ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， 故选：A． 12．B 【分析】方程有两个相等实数根，即与只有一个交点，即经过顶点，代入即可求解． 【详解】解：∵方程有两个相等实数根， ∴与只有一个交点， ∴ 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，数形结合是解题的关键． 13． 【分析】由二次函数求出A、两点坐标，再求出点C的坐标，即可求出、得值，然后根据面积公式即可得出答案． 【详解】 ， 令 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数和三角形的基本性质，求出三点坐标是解题的关键． 14． 5或 【分析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，翻折的性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点． （1）把解析式化成顶点式即可求解； （2）先根据原抛物线的解析式得出翻折后得出新图象的解析式，进而画出图象，结合图形确定出直线的位置即可求出b的值． 【详解】解：（1）函数， 函数的顶点为； 故答案为：； （2）当时，，解得，， 则抛物线与x轴的交点为，， 把抛物线图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标， 如图， 当直线过点B时，直线与该新图象恰好有三个公共点， ，解得， 当直线与抛物线相切时，直线与该新图象恰好有三个公共点， 即有相等的实数解，整理得， 则， 解得， 所以b的值为5或； 故答案为：5或． 15．②③ 【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：根据图象可知： 当时，， 故①错误； 当时，， 故②正确； ∵抛物线开口朝下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴， 故③正确； ∵对称轴，， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴， 故④错误． 综上所述，正确的有②③． 故答案为：②③． 16．/ 【分析】根据二次函数的图象和性质即可求出答案 【详解】解：设函数， 当时， ，或， 当时， 由题意可知：的两个根为、（），由于抛物线开口向上，由抛物线的图象可知：， 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程与二次函数之间的关系 17．或 【分析】本题考查了图象法解一元二次不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 根据图象即可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的图象经过点，， 由图象可知：当时，或， 故答案为：或． 18．(1)； (2)， 【分析】（）利用抛物线图象与轴交点个数得出求出即可； （）根据（）中所求以及，得出的取值范围，进而利用图象与轴交点的横坐标都是整数得出的值，进而得出答案； 此题主要考查了抛物线与轴交点问题与判别式的关系和一元二次方程的解法等知识，熟练掌握时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点是解题的关键． 【详解】（1）∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 解得：； （2）将代入二次函数解析式得：， ∵二次函数的图象与轴交于两点， ∴， 解得：， ∵是小于的整数， ∴， ∴或， ∵二次函数的图象与x轴交点的横坐标都是整数， ∴当时，即与轴交点坐标为：，， 当时，，与轴交点坐标为，不合题意舍去， ∴二次函数与轴交点坐标为：，． 19．(1) (2) 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的综合应用，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键： （1）分别令，进行求解即可； （2）作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴的交点即为点． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，； ∴； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 作点关于对称轴的对称点，连接，则：与对称轴的交点即为点， ∵， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：； ∴， ∴当时，； ∴． 20．(1)二次函数的解析式为；一次函数的解析式为； (2)或． 【分析】本题考查二次函数与不等式、待定系数法求函数解析式等知识： （1）把点代入，可得求出抛物线的解析式为，对称轴为直线，从而得到点B的坐标为，即可求解； （2）观察图象得：当或时，二次函数的图象位于一次函数的图象的上方，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为，对称轴为直线， 当时，， ∴点C的坐标为， ∵点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称． ∴点B的坐标为， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：观察图象得：当时，二次函数的图象位于一次函数的图象的上方， ∴当或时，， 即的x的取值范围为或． 21．(1)，； (2)抛物线的对称轴为，顶点坐标为： (3)或 【分析】（1）把点，分别代入直线和抛物线求解即可； （2）将二次函数转化为顶点式即可； （3）根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：把点，分别代入直线和抛物线得： ， ∴，，， 所以抛物线的解析式为：； （2）， ∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为： （3）由图可知，当时， 或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式及图象法解不等式，熟练掌握知识点是解题的关键． 22．(1)抛物线W经过的定点坐标为和 (2)①a；② 【分析】（1）将变形为，即可解答； （2）①抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线，则两抛物线关于原点对称，据此得到，化简即可解答；②求出的顶点坐标为，代入抛物线的解析式，得解得，再根据抛物线W：的对称轴在y轴左侧，建立不等式组得到或，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，， ∴抛物线W经过的定点坐标为和． （2）解：①抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线，则两抛物线关于原点对称， ∴， 即抛物线的解析式为． ②由得抛物线W的顶点坐标为， 整理得，代入抛物线的解析式，得， 整理得， 解得． ∵抛物线W：的对称轴在y轴左侧， ∴，即， ∴或 ∴，则不合题意，舍去， 故a的值为． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图象上点的坐标特征，其中用待定系数法确定二次函数解析式，二次函数的图象与几何变换，利用数形结合思想解题是关键． 23．(1) (2)15 【分析】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等知识． （1）先求出点A、B的坐标分别为，再利用待定系数法即可求解； （2）先求出顶点M的坐标为，过点M作轴于点D，交AB于点E，再求出，利用割补法即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，得， ∴点A、B的坐标分别为． 设经过A，B，C三点的抛物线解析式为， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴过A，B，C三点的抛物线解析式为； （2）解：， ∴顶点M的坐标为． 如图，过点M作轴于点D，交AB于点E， 则， 把代入直线得， ∴点E坐标为， ∴， ∴． 24．(1) (2)当， 有最大值，且最大值为，点； (3)以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形，点E的坐标为或或，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求解二次函数与一次函数的解析式、二次函数与线段及特殊四边形问题，掌握函数的性质是解题关键． （1）将代入即可求解； （2）求出直线的解析式，设点，则，根据即可求解； （3）由题意得，；若以B，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，则；设，则，根据即可求解； 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得：， ∴； （2）解：设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则， ∴ ； ∵， ∴当，有最大值，且最大值为； 此时，即点； （3）解：∵， ∴，抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴与直线相交于点B， ∴， ∵， 若以B，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，则， 设，则， ∴， 解得：（舍）， ∴或或， ∴点E的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $