湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

襄阳四中2024级高二年级上学期期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数满足，则(    ) A. B. C. D. 2.过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为       (    ) A. B. C. D. 3.一组正数的平均数为，则的最小值为               (    ) A. B. C. D. 4.若满足，则的最小值为                         (    ) A. B. C. D. 5.若既在直线上，又在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率的最大值为(    ) A. B. C. D. 6.我们知道，空间中，过点且一个法向量为的平面，其方程可以写成，则点到平面的距离是   (    ) A. B. C. D. 7.已知正四棱柱中，在棱上，且，，则该四棱柱被过点，，的平面截得的截面面积为(    ) A. B. C. D. 8.若，向量满足，则的最大值为      (    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列命题为真命题的是(    ) A. 若，则与相互独立 B. 若与互斥，则 C. 方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度 D. 数据的第百分位数为 10.设椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是(    ) A. 离心率 B. 的最小值为 C. 的大小可以是 D. 满足为等腰三角形的点有个 11.如图，在长方体中，，分别是棱的中点，点在侧面内，且，则(    ) A. 的最小值是 B. C. 三棱锥的体积是定值 D. 三棱锥的外接球表面积的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.从集合中任取两个不相等正数，则成立的概率是          。 13.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点、及动点，若且，则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆简称“阿氏圆”在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为          。 14.已知椭圆：的两条弦相交于点点在第一象限，且轴，轴，若，则椭圆的离心率为          。 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． 求边所在直线方程； 求点和点的坐标． 16.本小题分 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑考核，满分分参加考核的学生有人，考核得分的频率分布直方图如图所示． 由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第百分位数： 为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练现采用分层抽样的方法样本量按比例分配，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率： 现已知直方图中考核得分在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为，求得分在内的平均数和方差． 17.本小题分 如图，四边形中，，，，，分别在上，，现将四边形沿折起，使． 若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； 求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点到平面的距离． 18.本小题分 在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则在点的切线的方程为椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点处，被切线反射，反射光线一定经过点． 证明椭圆的光学性质； 如图，过的直线交椭圆于，两点非左右顶点求面积的最大值； 19.本小题分 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到的“切比雪夫距离”，记作． 已知点和点，直线：，求和． 已知圆：和圆：． 若两圆心的切比雪夫距离，判断圆和圆的位置关系； 若，圆与轴交于，两点，其中点在圆外，且，过点任作一条斜率不为的直线与圆交于，两点，记直线为，直线为，证明：． 参考答案 1.【答案】  解：由复数模的乘法性质，对等式两边取模，得： ， 又，， 代入得：， 解得， 根据共轭复数的模的性质，． 2.【答案】  求直线与的交点： 联立与，将的代入得： 展开并合并同类项： 提取公因式得： 因，故。将代入得，即交点为。 求垂直直线的斜率： 直线的斜率为直线一般式的斜率为。 由垂直关系斜率存在时乘积为得所求直线斜率。 求直线方程： 过点且斜率为的直线点斜式为： 整理得。 3.【答案】  计算变量关系： 数据有个：，平均数为，故总和为。 总和展开：，因此，得。 用基本不等式求最值： 目标函数为，乘以因构造定值： 展开分子： 合并常数项：。 应用基本不等式： 因，由基本不等式，当且仅当即时取等号。 计算最小值： 代入得： 等号条件：且，解得满足。 4.【答案】  解：由题意，方程需满足：，； 将方程平方整理得：，即圆心为、半径为的右半圆， 令，即， 所以为直线在轴上的截距， 当直线过右半圆上顶点时，直线在轴上的截距最大，此时最小， 所以的最小值为． 5.【答案】 解：因为椭圆焦点为、， 所以焦距，即，离心率，因此求的最大值等价于求的最小值， 因为是椭圆上任意点，所以， 因此的最小值对应的最小值点在直线上， 直线与两焦点、同侧，取关于直线的对称点， 所以线段的中点在直线上，故，即； 直线与直线垂直斜率乘积为，故，即， 联立得，，即， 当、、共线时，最小，最小值为， ， 因此的最小值为，即， 代入离心率公式得：． 故选D． 6.【答案】  解：在平面上任取一点，不妨取原点， 记点， 所以， 平面的法向量为， ， ， ， 所以点到平面的距离． 故选D． 7.【答案】  解：作 ，连接 ，，，如图所示； 易知 ，且 ，该四棱柱被过点 ，，的平面截得的图形为四边形 ， ， ， ，   ， ， 由余弦定理可得 ， 所以 ， 所以 ． 故选C． 8.【答案】解：因为， 即． 又， 则 设， 则， 故． 由为与的夹角， 则，解得． 因为，即，解得， 故的最大值为． 9.【答案】  选项A分析：根据相互独立事件的定义，若事件与满足，则与相互独立，故A为真命题； 选项B分析：若与互斥，则和不能同时发生，即，因此，故B为真命题； 选项C分析：方差、标准差反映数据与均值的偏离程度，极差最大值减最小值反映数据的波动范围，三者均能刻画数据的离散程度，故C为真命题； 选项D分析：数据共个，计算第百分位数：为整数，因此第百分位数为第个数与第个数的平均值，即，故D为假命题。 10.【答案】  解：椭圆 ，， ，  ．   ，最小值 ，可得A正确，不正确． 当点位于椭圆短轴的端点时，取得最大值，满足   ， 又为锐角，   ， ，因此可以为 ，可得C正确． 椭圆短轴的两个端点满足为等腰三角形， 若椭圆上存在点，使得， 则点也在以点为圆心，为半径的圆上， 联立 ，解得，，可得两个点， 同理联立  ，  ，解得 ， ，可得两个点， 综上可得满足  为等腰三角形的点共有个点，可得D正确． 故选ACD． 11.【答案】  解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设， 则， 因为， 所以，得，所以， 则，得， ， 当时，，则， 当时，则，则， 综上，， 所以三点共线， 即点的轨迹即为线段， 对于，， 即的最小值是，故A错误； 对于，， 则， 所以，故B正确； 对于，，则为定值， 由点的轨迹即为线段， 且， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值， 所以三棱锥的体积是定值，故C正确； 对于，设的中点为， 则在中，外接圆的圆心即为点， 则三棱锥的外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上， 设球心为，， 则， 即，所以， 则， 因为，所以， 即三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥的外接球表面积的取值范围是，故D正确． 故选BCD． 12.【答案】  解：从集合中任取两个不相等的正数，构成有序对，总情况数为排列数， 当时，，满足的有，共个； 当时，，满足的有，共个； 当时，集合中最大元素为，无满足条件的， 综上，符合条件的有序对共个， 成立的概率． 故答案为 ． 13.【答案】  解：由题意，，直线：，直线：，若为，的交点， 当时，：，：，此时交点为， 当时，由直线：，斜率为； 由直线：，斜率为，， 又：，所以直线恒过点， ：，所以直线恒过， 若为，的交点，则， 所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点，点， 综合以上两种情况，点的轨迹是以为直径的圆，除去点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为，即， 又，，易知，在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足， 取，则，满足， 下面证明任意一点都满足，即， 因为， 又，所以， 所以， 又，， 如图，当且仅当，，三点共线，且位于，之间时，等号成立，即的最小值为． 故答案为：． 14.【答案】  解：设，，则，，，， 由题知，关于轴对称，，关于轴对称， 所以，，即，， 所以，，所以，即， 所以，即， 所以椭圆离心率为． 15.【答案】解：由上的高所在直线方程，得该直线斜率为。 因为两直线垂直时斜率乘积为，故AB的斜率为。 又点在上，由直线点斜式方程得所在直线方程为： ，即， 因为点在上，故满足；同时点在上，故满足。 ，故点坐标为。 因为点在的高所在直线上，故满足，即。 又是的中点，故D点坐标为，  因为在上，将点坐标代入方程，得： 。 将代入上式，得 ，即。 解得， 所以，故点坐标为。  16.【答案】解：由题意得：，解得， 设第百分位数为，则， 解得，第百分位数为； 由题意知，抽出的位同学中， 得分在的有人，设为、， 在的有人，设为、、， 则样本空间为， ， 设事件“两人分别来自和 则，， 因此， 所以两人得分分别来自和的概率为； 由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个， 记在区间的数据分别为，平均分为，方差为； 在区间的数据分别为为，平均分为，方差为； 这个数据的平均数为，方差为． 由题意，，且， 则． 根据方差的定义， 由， 可得 ， 故得分在内的平均数为，方差为． 本题考查频率分布直方图，用样本估计百分位数，古典概型的计算，以及平均数和方差的求解，属于较难题． 首先根据频率和为求出，再根据百分数公式即可得到答案； 求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可； 根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可． 17.【答案】解：上存在一点，使得平面，此时． 证明：当时，， 过点作交于点，连接，则有， ，可得，故，又，， 故有，故四边形为平行四边形， 故，且平面，平面， 平面成立； 设，，， 由题意，，，且，、平面， 则平面， 故． 当时，有最大值，且最大值为， 此时，，，由勾股定理得，，， ， 在中，由余弦定理得： ， ， ， ， 设点到平面的距离为， 由于，即， ，即点到平面的距离为．  本题考查了线面平行的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、二次函数的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 上存在一点，使得平面，此时． 证明：当时，，过点作交于点，连接，则有，结合已知条件可证四边形为平行四边形，因此平面； 设，得，，则，因此当时，有最大值，在中，由余弦定理得的值，进一步求出的值，求出，设点到平面的距离为，由于，求出即点到平面的距离． 18.【答案】解：证明：当时，，，性质成立 当时，，，， 因为点在椭圆上， 所以，， 设与直线，的夹角分别为，， 则 ． 同理，，，． 该性质成立 解：设，，， 将代入得， 则，， ． 令，则，． 当时，，当且仅当，即时取等号， 得，的最大值为 当时，在上单调递增， 时，取最大值，的最大值为． 当时，面积的最大值为 当时，面积的最大值为．  19.【答案】解：，，，， 所以，直线方程为， 是上一点，， 当，即时，， 当，即或时，， 所以的最小值是，所以 解：圆标准方程是，圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， ，若，则或， 时，，不合题意， 时，，满足题意， 此时，，因此两圆内切 若，则或， 时，，不合题意， 时，，满足题意， 此时，，两圆内切． 所以圆和圆内切 证明：圆与轴交于，两点，则方程， 即有两个不等的实数解， 所以，解得， 又，所以， ，方程的两解为，，则， 由韦达定理有，， 所以，解得或舍去， 时方程为，解得，，交点为和， 点在圆外，则，因此，， 设直线的方程为，设，， 由得， ，， ，， ， 所以，因此直线，关于轴对称，直线上任意一点与直线上点关于轴对称， 它们是一一对应的关系，， ，， 即， 所以的最小值与的最小值相等，即   第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $