第5章 二次函数 单元检测卷 2025-2026学年苏科版九年级数学下册

第5章 二次函数 单元检测卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1.二次函数图象的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 2.若函数是关于的二次函数，则(    ) A. B. C. D. 或 3.二次函数的图象先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得的二次函数表达式为(    ) A. B. C. D. 4.已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 5.汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”刹车距离是分析事故的一个重要因素，某车的刹车距离与车速之间的关系为，在一个限速的弯道上的刹车距离不能超过(    ) A. B. C. D. 6.二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：；；；；若，则其中正确的个数是  (    ) A. B. C. D. 7.某茶杯的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面呈抛物线形状杯体厚度忽略不计，点、点位于杯口处，且，点是抛物线最低点，当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度点到的距离为，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为点到的距离，则的长度为(    ) A. B. C. D. 8.已知二次函数的图像经过点，则代数式有(    ) A. 最小值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最大值 9.一个水杯竖直放置时的纵向截面如图所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为，水杯高度为，当水面高度为时，水面宽度为如图先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图，当倾斜角时，杯中水面平行水平桌面则此时水面的值是(    ) A. B. C. D. 10.如图，点是正方形的边上一动点，连结，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连结，，若，则面积的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知二次函数的图像经过点，，且与轴只有一个交点，则的值为          ． 12.二次函数的最小值为，则      ． 13.已知二次函数中的部分，的值如表格所示，根据表格信息可知的值为      ． 14.如图，二次函数与一次函数的图象交于点和，则满足的的取值范围为      ． 15.如图是某城市广场音乐喷泉，出水口处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示，点为该水流的最高点，点为该水流的落地点，且，垂足为点，若，，则的长为          ． 16.跳丸是一种传统游戏，已知竖直上抛的丸铃，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：，其中是物体上升的高度，是抛出时的速度，是重力加速度，是抛出后的时间如果杂技师以的初速度竖直向上抛出丸铃，经过      秒钟后它在离抛出点高的地方． 17.二次函数中，当时，随的增大而减小，则的取值范围是      ． 18.二次函数的图象过点，，，其中，为常数，则的值为          ；的最大值为          ． 三、解答题：本题共9小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，已知抛物线经过，两点． 求抛物线的解析式和顶点坐标； 根据图象写出当时，求的取值范围． 20.本小题分 已知二次函数． 将化成的形式； 在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； 当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． 21.本小题分 围墙建模问题 素材 校园中有两面直角围墙，墙角内的处有一棵古树与墙，的距离分别是和． 素材 在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙两边足够长，用长的篱笆围成一个矩形花园篱笆只围，两边，古树在篱笆和围墙构成的区域内． 解决问题 任务 设请用含有的代数式表示 ______用含的式子表示；的取值范围是______． 任务 请通过计算说明，花园的面积能否为？ 任务 求花园面积与的函数解析式； 求当为何值时，花园面积最大？ 22.本小题分 二次函数的图象经过点． 求这个二次函数的解析式； 若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”． 求这个函数“倍值点”的坐标； 若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点包括端点，求的最大值与最小值的差． 23.本小题分 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动． 已知花圃一边靠墙墙的长度不限，其余部分用总长为的栅栏围成兴趣小组设计了以下两种方案，设与墙垂直的边的长度为，花圃的面积为． 方案一 方案二 如图，围成一个矩形花圃． 如图，围成矩形花圃时，用栅栏栅栏宽度忽略不计将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口此处不用栅栏． 在方案一中， 求与的函数表达式； 若围成的花圃面积为，求与墙垂直的边的长度； 要使方案二中花圃的面积最大，求与墙平行的边的长度为多少米？ 24.本小题分 某公园内人工湖上有一座拱桥横截面如图所示，跨度为米在距点水平距离为米的地点，拱桥距离水面的高度为米小路同学根据学习函数的经验，对和之间的关系进行了探究． 米 米 经过测量，得出了和的几组对应值，如表将表中数据对应的点描在坐标系中，发现拱桥距离水面的高度单位：米与水平距离单位：米近似满足二次函数关系． 根据表中数据写出桥墩露出水面的高度 ______米； 求与之间的函数关系式； 公园欲开设游船项目，现有长为米，宽为米，露出水面高度为米的游船为安全起见，公园要在水面上的，两处设置警戒线，并且，要求游船能从，两点之间安全通过，则处距桥墩距离至少为______米 25.本小题分 在平面直角坐标系中，已知抛物线． 求抛物线的顶点坐标用含的代数式表示； 点在抛物线上，其中． 若的最小值是，求的值； 若对于，都有，求的取值范围． 26.本小题分 无人机技术正在蓬勃发展，其应用越来越广泛，年中国工业级无人机市场规模将达亿元有一个无人机物流配送站，无人机从仓库起飞，飞行轨迹近似为抛物线现以仓库为原点，地面水平方向为轴，垂直于地面的方向竖直方向为轴建立平面直角坐标系已知无人机飞行轨迹是抛物线的一部分． 【任务一：调整仓库位置】 因周边施工，仓库需向右平移米，并向上平移米无人机轨迹形状不变开口方向与大小均不变，调整后的轨迹需经过某配送目标对象坐标求满足这些条件的的值． 【任务二：优化重型包裹投递路径】 将无人机在水平范围内的飞行高度最大值与最小值之差称为垂直波动量记作当无人机投递重型包裹时，因周边施工，起飞点再次移至新位置，但保持轨迹顶点与任务一调整后的轨迹顶点相同，同时需要改变抛物线开口以降低晃动若垂直波动量米，记新抛物线的二次项系数为，求的值． 【任务三：评估调整后的投递高度波动性】 任务一中调整后的轨迹在水平范围内的垂直波动量米，且直接写出这时的值是______． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：：二次函数y=2(x+3)+1, :该函数的顶点坐标为(-3,1)， 故选：B· 2.【答案】A 3.【答案】A 【解析】解：根据“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律可知： 向左平移2个单位得解析式为y=(x+2)2+1: :再向下平移1个单位， y=(x+2+1-1=(x+2)2. 故选：A 4.【答案】D 【解析】解：方法一：：二次函数的解析式为y=-(x-2)+1, :对称轴为直线x=2,抛物线开口向下， ·离对称轴越远的点，其y值越小， :点(-1y3,y),(6,y都在二次函数y=-(x-2)2+1的图象上， ÷2-（-1)=3,3-2=1,6-2=4, 即4>3>1， y2>y1>y3 方法二：分别讲A、B、C三点代入得， y1=-8,y2=0,y3=-15, y2>y1>y3 第1页，共1页 故选：D 根据题意可得该抛物线开口向下，对称轴为直线x=2,得到离对称轴越远的点，其y值越小，即可求解. 本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的性质. 5.【答案】B 6.【答案】D 7.【答案】A 【解析】解：以点B为坐标原点，以EF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 根据题意可知，点C的坐标为5,4)：BF两点的纵坐标都是2， 设截面ABC对应的抛物线的解析式为y=ax2(a≠0)， 将c5,4代入y=ax2中，得4=25a,解得a=寺 “y=务x2 将y=2代入y=声x2中，行2=旁x2,解得x=士号： (-要，22 ·EF=5V2, :EF的长度为52cm 故选A. 8.【答案】A 【详解】将(-1，-5)代入y=x2+mx+n得：（-1)2+m·(-1)+n=-5, 第1页，共1页 即1-m+n=-5, .n=m-6, mn+4=m(m-6)+4=m2-6m+4=(m-3)2-5, :(m-3)2≥0， :mn+4≥-5，且当m=3时取最小值-5. 故有最小值-5. 故选：A: 9.【答案】B 【详解】解：设AB与CD的中点分别为O、F,以AB所在的直线为x轴，以OF所在的直线为y轴，建立如 图所示的直角坐标系， :在图3中，∠BAF=30, ·∠DCE=30。· 过点C作∠DCE=30。,CE交y轴于点G,则CE即为图3中倾倒后的CE. 12cm A 0 B 4.3cm 图2 :点O是AB的中点， ÷0B=AB=2W3cm. :B(23,0), 同理可知：图1液面的右端点是(30,6) 根据对称性可知：左右轮廓线AC,BD所在的抛物线的对称轴为y轴， 设这个抛物线的解析式为：y=x2+C, 则由图1可知，抛物线经过点B(2V5,0)和点（√30,6）， 第1页，共1页 a×(23)2+c=0 a×(30)2+c=6 a= 解得： ,C=-4 ·抛物线的解析式是：y=青x2-4. 令y=青x2-4=12, 解得x=±4V3 :c(-4y3,12),cF=4V3cm, 又：∠DCE=30 ·CG=2FG, :在Rt CFG中，CG2=(2FG)2=4FG2=CF2+FG2=(45)+FG2, 解得：FG=4cm, :.0G=0F-FG=8cm, G(0,8), 设直线CE的解析式是：y=mx+n, :直线CE经过点C(-4y3,12),G(0,8), :{-45m+n=12 (n=8 =一 解得： 3， (n=8 直线CE的解析式是：y=一号x+8, 将抛物线与直线CE的解析式联立得： y=青x2-4 y=-号x+8 |x=-45∫x=3V3 解得：y=12 或y=5 E(33,5) 第1页，共1页 又：c(-43,12), ÷cB=/(-45-33)+(12-5)2=14(cm) 故选：B· 10.【答案】D 【解析】解：过F作FG⊥AB于G,并反向延长交DC于H, D ---------4H B G :正方形ABCD中，AB=2, ÷AB//CD'∠ABC=90,BC=AB=2, ·CB⊥BG, 又FG⊥AB, :BC//GH ·四边形BGHC是平行四边形， 又FG⊥AB, :四边形BGHC是矩形， ·∠H=90o，GH=BC=2, :旋转， ·∠EBF=90°，BE=BF, 又∠CBG=90°， ·∠EBC+∠CBF=∠FBG+∠CBF, ·∠EBC=∠FBG, 又∠BCF=∠G=90°， ·△BCE≌△BGFAAS: ·CE=GF, 设CE=GF=x,则FH=2-X, 第1页，共1页 S△c那=2-)=-(x-1)+号 :当x=1时，SAECE有最大值为号， 故选：D· 11.【答案】1 【解析】提示：由点A1,,B(3,得，抛物线的对称轴为直线x=一当=2，所以b=4,所以抛物 线的函数表达式为y=x2-4x+c=(x-2)+c一4因为抛物线与x轴只有一个交点，所以c一4=0， 解得c=4,所以抛物线的函数表达式为y=x2-4x+4,将点A1,n)代入，得n=1一4+4=1. 12.【答案】10 【解析】解：二次函数y=x2+6x十m的顶点横坐标为X=-会=-哥=-3， 当x=一3时，函数取得最小值， 代入得y=（-3)+6×(-3)+m=9-18+m=-9+m, :二次函数y=x2+6x+m的最小值为1， ·-9+m=1, 解得m=10. 故答案为：10， 13.【答案】1 【解析】解：由表格数据看，x=0和x=2时的函数值相同， :函数的对称性为X=学号=1，根据函数的对称性可知当x=一1时和x=3时函数值相等， m=1, 故答案为：1· 14.【答案】-3<x<0 【解析】解：由图象可知，ax2+bx十c>mx十c的解集为-3<x<0, :满足ax2+bx>mx的x的取值范围为-3<x<0. 故答案为：-3<x<0. 第1页，共1页 由图象可知，ax2+bx+c>x十c的解集为-3<x<0,即可得出答案 本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 15.【答案】(V6+2)m 【详解】解：：0A=2m,BD⊥0C,BD=6m,0D=2m, ÷点A(0,2),B(2,6), 设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+6, 把点A(0,2)代入得：a(0-2)2+6=2, 解得：a=一1， :抛物线的解析式为y=-(x-2)2+6, 当y=0时，-(x-2)2+6=0, 解得：X1=V6+2,X2=-V6+2(不符合题意，舍去)， :点C的坐标为(V6+2,0), 0c=(V6+2)m, 即0c的长为(V6+2)m 故答案为：（V6+2)m 16.【答案】0.2或1.8 【解析】解：“h=vt-gt2, :当h=1.8时，1.8=10t-克×10t2, 解得t1=0.2,t2=1.8, 即经过0.2秒或1.8秒后它在离抛出点1.8m高的地方， 故答案为：0,2或1.8. 将h=1.8代入h=vt-gt2,计算出t的值即可. 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的的值. 17.【答案】b≥2 第1页，共1页 【解析】解：：y=x2-bx+c=（-)+如，且1>0， ·二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=号 ·当X<号时，y随x的增大而减小. :当x<1时，y随x的增大而减小， 41≤号， .b≥2. 根据二次函数的对称性和增减性，可得答案 本题考查了二次函数的性质.熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键。 18.【答案】-4 【详解】解：：二次函数y=ax2+bx+m(a≥1)的图象过点A(1,-m),C(3,-m), ·二次函数的对称轴为直线x==2, 4-名=2 9=-4, b=-4a, 将A(1,-m),B(2,n)代入二次函数的解析式可得：-m=a+b+m=a+(-4a)+m, n=4a+2b+m=4a+2×(-4a)+m, m=2a,n=-a, mm+a=2a×(-a)+a=-a2+a, :-5<0,对称轴为直线a= 29, :当a≥1时，mn十a的值随着a的增大而减小， ·当a=1时，mn+a的值最大为-安+1=一号， 故答案为：-4，-号 第1页，共1页 19.【答案】抛物线的解析式为y=x2-2x一3，顶点坐标为(1，-4)： (2)x<-1或x>3 (1-b+c=0 【解析】(1)代入A(-1,0,B武3,0)得，{9+3b+c=0· ,∫b=-2 解得c=-3' :抛物线的解析式为y=x2-2x-3, y=2-2x-3=(x-1)2-4, ·顶点坐标为(1，一4)： (2)由图象得，当x<-1或x>3时，y>0, ·当y>0时，x的取值范围为x<一1或x>3. 20.【答案】y=(x-12-4 本y 5 3 4-32 2 5 -4<y<0 【解析】(1y=x2-2x-3=(x-1)2-1-3=(x-1)2-4: (2)列表如下： 第1页，共1页 -1 1 y 0 -3 -4-30 ·如图为所求， (3):-1<x<2' 由图象可知：当x=-1,y有最大值为：0，当x=1时，y有最小值为：一4， -4<y<0. 21.【答案】28-x,6≤x≤13： 花园的面积可等于192m2,此时x的值为12： ①s=-(x-14)2+196: ②即当x=13m时，花园面积S最大，最大值为195平方米 【解析】解：(1)：AB=x, .BC=28-X, :在点P与CD,AD的距离分别是15m和6m, .6≤x≤28-15， 6≤x≤13， 故答案为：28-x;6≤X≤13； (2):6≤x≤13，AB=x,BC=28-x ·x(28-x)=192, 28x-x2=192, 第1页，共1页