1.2数轴问题培优练 2025-2026学年冀教版数学七年级上册

数轴问题培优练 一、点的移动类 1.如图，直径为个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合． 把圆片沿数轴向左滚动周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是________； 把圆片沿数轴一个方向滚动周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是_____； 圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，滚动次的情况记录如下：， ，，，． 第________ 次滚动后，点距离原点最远 当圆片结束滚动时，求点对应的数是多少？ 2.如图，半径为个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合提示：计算结果保留 把圆片沿数轴向左滚动周，点到达数轴上点的位置，点表示的数是______ 圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下： ，，______，，，______ 第次滚动______周后，点回到原点第次滚动______周后，点距离原点； 当圆片结束运动时，点运动的路程共有多少？ 3.如图，数轴的单位长度为，点表示的数是． 在数轴上用标出原点 写出点表示的数 在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示什么数 4.如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，可以发现终点表示的数是，已知点，是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题． 如果点表示数，将点向右移动个单位长度，那么终点表示的数是______，、两点间的距离是______； 如果点表示数，将点向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，那么终点表示的数是______，、两点间的距离为______； 如果点表示数，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，那么终点表示的数是______，、两点间的距离为______． 一般地，如果点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，那么，请你猜想终点表示的数是______，、两点间的距离是______． 5.根据以下素材，探索完成任务． 实验探究：钢球在“磁悬浮”轨道上如何运动？ 素材 我国上海的“磁悬浮”列车，依靠“磁悬浮”技术使列车悬浮在轨道上行驶，从而减小阻力，因此列车时速可超过公里．可利用钢球在“磁悬浮”轨道架上的运动模拟“磁悬浮”列车在轨道行驶，实验中钢球大小不计，假设钢球的运动都是匀速的． 素材 现有一个长为的“磁悬浮”轨道架，如图所示，轨道架上安置了三个大小、质量完全相同的钢球、、，左右各有一个钢制挡板和，其中到左挡板的距离为，到右挡板的距离为，、两球相距． 问题解决 任务 根据素材，若球在数轴上表示坐标原点，球表示的数为，则球表示的数为________，右挡板表示的数为________写出解答过程 任务 碰撞实验中，若球以每秒的速度向右匀速运动，从原点开始计时，请分别求出球第一次和第二次撞向右挡板的时间．写出解答过程 6.如图，将一根木棒放在数轴单位长度为上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合． 若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为，由此可得这根木棒的长为______； 图中点所表示的数是______，点所表示的数是______； 由的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，彤彤去问妈妈的年龄，妈妈说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我就岁啦”请问妈妈现在多少岁了？ 二、新定义类 7.给出如下定义：点、点是数轴上的两个点，其中点表示的数是，点表示的数是，若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和为即则称点为点、的“级幸运点”，例如图所示，若点表示的数为，有，则称点为点、的“级幸运点”． 若点为点、的“级幸运点”，且点在数轴上表示的数为，则 ______； 若点是数轴上点、的“级幸运点”，且点在点的右侧，设点表示的数为，求的值； 若点在数轴上不与、重合，满足、之间的距离是、之间距离的倍，且此时点为点、的“级幸运点”，直接写出的值． 8.对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再加上，所得数的对应点为将称为点的“倍移点”． 当，时， 若点表示的数为，则其“倍移点”表示的数为______； 若点的“倍移点”表示的数是，则点表示的数为______； 若点与其“倍移点”在数轴上重合，求点所表示的数． 已知点表示的有理数为，其“倍移点”为点，原点的“倍移点”为点若，线段与的重叠部分长度为，求的值． 9.如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“格距点”例如：在图中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． 若点表示的数是，则的值为______； 数轴上表示整数的点称为整点，若整点为、的“格距点”，则这样的整点有______个； 若点为数轴上一点，且点到点的距离为，求点表示的数及的值； 若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 10.如图，数轴上有一点，它表示的数为，只交换数字和的位置，符号不变，得到一个新数，用点表示． 判断点在点的左侧还是右侧说明理由，并计算，两点间的距离． 将点向右平移个单位长度，得到点，求点在数轴上所表示的数． 三、折叠数轴类 11.如图所示的数轴中，点表示，点表示，试回答下列问题． ，两点之间的距离是______． 观察数轴，与点的距离为的点表示的数是______． 若将数轴折叠，使点与表示的点重合，则点与表示数______的点重合． 若数轴上，两点之间的距离为点在点的左侧，且，两点经过中折叠后互相重合，则，两点表示的数分别是______和______． 12.操作与探究： 对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移个单位，得到点的对应点如图，点，在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点，的对应点分别为，． 若点表示的数是，求点表示的数； 若点表示的数是，求点表示的数； 点经过上述操作后得到对应点为，若点对应的数是，则点对应的数是______用含的代数式表示； 保持前两问的条件不变，点是线段上的一个动点，以点为折点，将数轴向左对折，点的对应点落在数轴上的处，若点与点之间的距离等于，则点表示的数是______． 13.如图，已知数轴上两点、对应的数分别为、， 点为数轴上一动点，其对应的数为． 若点到点、点的距离相等，则 ______； 若点到点、点的距离之和为，则 ______； 若将数轴折叠，使与表示的点重合． 则表示的点与数______表示的点重合； 若数轴上、两点之间的距离为，且、两点经过折叠后互相重合，求，两点表示的数． 14.操作探究：已知在纸面上有一数轴如下图所示左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点”． 操作一：左右折叠纸面，使表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示________的点重合； 操作二： 左右折叠纸面，使表示的点与表示的点重合，回答以下问题： “对折中心点”所表示的数为_________，对折后表示的点与表示________的点重合； 若数轴上，两点之间的距离为在的左侧，且，两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是________． 三、运动点类 15.已知、在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点个单位长度，点、是数轴上两个动点： 直接写出点所对应的数； 当点到点、的距离之和是个单位时，求点所对应的数； 如果、分别从点、出发，均沿数轴向左运动，点每秒走个单位长度，先出发秒钟，点每秒走个单位长度，当、两点相距个单位长度时，点、对应的数各是多少？ 16.已知：是最大的负整数，是最小的正整数，且，请回答下列问题： 请直接写出，，的值：______；______；______； ，，在数轴上所对应的点分别为，，，请在如图的数轴上表示出，，三点； 在的情况下．点，，开始在数轴上运动，若点，点以每秒个单位的速度向左运动，同时，点以每秒个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 17.如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，为线段的中点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． 点表示的数是______ 当 ______秒时，点到达点处； 点表示的数是______用含字母的代数式表示； 求为多少秒时，线段的长为个单位长度． 18.如图，，两点在同一数轴上，为原点，点对应的有理数为，点对应的有理数为点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒． 当时，点表示的有理数为          ，此时，两点的距离为          ． 若点同时以每秒个单位长度的速度向左运动，经过几秒，点与点相遇？ 在的条件下，点从原点同时以每秒个单位长度的速度向右运动，几秒后直接写出答案？ 19.如图，已知数轴上，两点表示的数分别为，，点为数轴上一动点，其表示的数为． 若点为的中点，则的值为______； 若点在原点的右侧，且到点，的距离之和为，则的值为______； 某时刻点，分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度同时沿数轴向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从表示数的点向左运动求当点，之间的距离为个单位长度时，点表示的数． 20.已知如图，在数轴上有，两点，所表示的数分别为，，点以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为秒，解答下列问题： 运动前线段的长为__________；运动秒后线段的长为__________； 运动秒后，点，点运动的距离分别为__________和__________； 在上述运动的过程中，是否存在某一时刻，使得线段的长为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 21.已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为． 与、两点距离相等的点对应的数是 ______； 现在有一只电子蚂蚁从点出发时，以个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以个单位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，则点对应的数是 ______； 若当电子蚂蚁从点出发，以个单位秒的速度向左运动，当点到达点时，立即返回向右运动，到达点停止．同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以个单位秒的速度向右运动到达点停止，求出经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 22.如图所示，在数轴上点、、表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．      则，，； 点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动．请问：的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； 由第小题可以发现，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，、、之间是否存在类似于的数量关系？请说明理由． 23.如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、、满足 __，__，__； 若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数____的点重合； 点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为则_____，______，______用含的代数式表示 24.已知数轴上点、表示的数分别为、．为数轴上一动点，其表示的数为． 若到、的距离相等，则           ； 是否存在点，使？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由； 若点、分别从、同时出发，沿数轴正方向分别以个单位秒、个单位秒的速度运动，则经过多长时间，、两点相距个单位长度？ 25.如图在数轴上所对应的数为． 点在点右边距点个单位长度，求点所对应的数； 在的条件下，点以每秒个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间距离． 在的条件下，现点静止不动，点沿数轴向左运动时，经过多长时间，两点相距个单位长度． 五、绝对值、距离类 26.有理数，，在数轴上的位置如图所示． 用“”或“”填空： ______， ______， ______． 化简：． 27.有理数在数轴上的位置如图所示， 用“”、“”或者“”填空：           ，           ，           ； 化简． 28.【知识拓展】学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数的点到原点的距离．由于原点表示的数是，因此可以看作，那么的意义可以看作为数轴上表示数与的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段． 例如，的意义为数轴上表示数与的两点间的距离； 的意义为数轴上表示数与的两点间的距离； 若，则的值为或． 【拓展应用】 若，则的值为________；若，则的值为________； 如图，数轴上线段，，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，若线段以个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为秒． 点在数轴上表示的数是________，点在数轴上表示的数是________； 当为何值时，； 当为何值时，恰好满足． 29.【知识背景】 表示数在数轴上的对应点与原点的距离如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示、在数轴上对应的两点之间的距离类似的有：表示、在数轴上对应的两点之间的距离一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为完成下列题目： 【问题呈现】 、分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数的相反数为． 求、两点之间的距离，并在如图所示的数轴上表示出、两点的位置 若点在数轴上，且点到点的距离与点到点的距离相等，则点对应的数是          ． 【问题解决】 已知两只小甲虫、在数轴上对应的数分别是，，两只小甲虫，之间的距离为，为数轴上一点，且点到小甲虫的距离为，小甲虫到点的距离为，求的值． 30.在数轴上，点代表的数是，点代表的数是，代表点与点之间的距离． ______； 若点为数轴上点与之间的一个点，且，则______； 若点为数轴上一点，且，则______． 若点为数轴上一点，且点到点点的距离与点到点的距离的和是，求点表示的数． 若从点出发，从原点出发，从点出发，且、、同时向数轴负方向运动，点的运动速度是每秒个单位长度，点的运动速度是每秒个单位长度，点的运动速度是每秒个单位长度，当、、同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 31.我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离利用此结论，回答以下问题： 数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是______，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是______． 数轴上点用数表示，若，那么的值为______． 数轴上点用数表示： 若，那么的值是______． 当时，满足条件的整数有______． 有最小值，最小值是______． 32.【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题：若点为数轴上一动点，点对应的数记为，请你利用数轴解决以下问题： 若点与表示有理数的点的距离是个单位长度，则的值为_______； 利用数轴判断：的最小值为__________； 利用数轴判断：的最小值为__________； 利用数轴判断：的最大值为__________； 【解决问题】如图，一条笔直的公路边有三个居民区，，和市民广场，居民区，，分别位于市民广场左侧，右侧，右侧居民区有居民有人喜欢购物，居民区有居民人喜欢购物，居民区有居民人喜欢购物现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这个小区的快递，若快递的运输成本为元千份千米，那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少 33.如图所示，已知、、是数轴上从左往右的三个点，它们表示的数分别是、、，其中原点位于、两点之间，点到点的距离小于点到点的距离． 填空：            ，            ，           ；填“”、“”或“” 若，且点到点的距离等于点到点的距离． 当时，求的值； 当时，是数轴上之间的一个动点，设点表示的数为，当点在运动过程中，化简：． 34.阅读下面的材料： 如图，在数轴上点所示的数为，点表示的数为，则点到点的距离记为线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即请用上面的知识解答下面的问题： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点，用个单位长度表示． 请你在数轴上表示出三点的位置： 点到点的距离______；若数轴上有一点，且，则点表示的数为______； 若将点向右移动，则移动后的点表示的数为______；用代数式表示 若点以每秒的速度向左移动，同时点分别以每秒、的速度向右移动设移动时间为秒，试探索：的值是否会随着的变化而改变？请说明理由． 6、 游戏类 35.在数学探究课上，老师和同学们一起利用数轴研究了下面的问题： 数轴上点满足从第个点起，每个点到前个点的距离相等点到点的距离相等已知点表示，点表示． 【理解运用】填空：点表示          ，点表示          填数字． 【画图探究】 在如图所示的数轴上标出点的位置． 哪个点是原点？ 利用数轴比较点所表示的数的大小，将它们按从小到大的顺序用“”连接． 【创新发现】在点中，距离原点最近的点不包括原点是哪一个？直接写出答案 36.如图，甲、乙两人看成点分别在数轴和的位置上沿数轴做移动游戏．每次移动的规则为：裁判先捂住一枚硬币，让两人猜向上一面是正面还是反面，然后根据所猜结果进行移动． 若两人都猜对或都猜错，则甲向右移动个单位长度，同时乙向左移动个单位长度； 若甲猜对，乙猜错，则甲向右移动个单位长度，同时乙向右移动个单位长度； 若甲猜错，乙猜对，则甲向左移动个单位长度，同时乙向左移动个单位长度． 经过次移动游戏，结果分别为“两人都猜对”和“甲猜对，乙猜错”，则按规则移动完成后，甲在数轴上停留的位置对应的数是          ，乙在数轴上停留的位置对应的数是          ． 从如图位置开始，完成了次移动游戏，发现两人每次所猜的结果均为“一对一错”，则两人在数轴上的位置相距多少个单位长度？ 从如图位置开始进行游戏，当两人在数轴上的位置相距个单位长度时，共进行了多少次移动？ 37.如图，甲、乙两人看成点分别在数轴和的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动． 若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度； 若甲赢，则甲向东移动个单位长度，同时乙向东移动个单位长度； 若乙赢，则甲向西移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度． 从如图的位置开始，若完成了次移动游戏，甲、乙“石头、剪刀、布”的结果为平局，则移动后甲、乙两人相距______个单位长度； 从如图的位置开始，若完成了次移动游戏，发现甲、乙每次都有输有赢．设乙赢了次，且他最终停留的位置对应的数为，试用含的式子表示，并求该位置距离原点最近时的值； 从如图的位置开始，若进行了次移动游戏后，甲与乙的位置相距个单位长度，直接写出的值． 38.如图，甲、乙两人看成点分别在从数轴上表示和的点的位置开始，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：两人先进行“石头、剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动． 若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度； 若甲赢，则甲向东移动个单位长度，同时乙向东移动个单位长度； 若乙赢，则甲向西移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度． 前三局结果如下表提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀： 第一局 第二局 第三局 甲的手势 石头 剪刀 石头 乙的手势 石头 布 布 从如图的位置开始，第一局后甲乙两人相距 个单位长度； 从如图的位置开始，从前五局来看，甲一平两胜两负，这五局游戏结束后，乙离原点的距离为 ． 从如图的位置开始，若进行了局游戏后，甲与乙的位置相距个单位长度，直接写出 ． 39.如图，甲、乙两人看成点分别在数轴和的位置上，沿数轴做移动游戏移动游戏规则；两人先进行“石头，剪刀、布”，而后根据输赢结果进行移动． 若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度； 若甲赢，则甲向东移动个单位长度，同时乙向东移动个单位长度； 若乙赢，则甲向西移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度． 前三局如下表：提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀 第一局 第二局 第三局 甲的手势 石头 剪刀 石头 乙的手势 石头 布 布 (1) 从如图所示的位置开始，第一局后甲、乙两人分别在数轴上代表的数为______． 从如图所示的位置开始，从前五局来看，甲一平两胜，这五局结束后乙离原点距离为______． 从如图所示的位置开始，若进行了局后，甲与乙的位置相距个单位长度，请直接写出的值． 1. 解：；  圆片的周长为，  把圆片沿数轴向左滚动周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是，  故答案为；  ；  当圆片向右沿数轴滚动两周时，点到达数轴上点的位置，点对应的数是；  当圆片向左沿数轴滚动两周时，点到达数轴上点的位置，点对应的数是；  综上所述，把圆片沿数轴滚动周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是，  故答案为；  三；  第一次滚动后，周数为，  第二次滚动后，周数为，  第三次滚动后，周数为，  第四次滚动后，周数为，  第五次滚动后，周数为，  其中绝对值最大的是，  由此可知，第三次滚动后，点距离原点最远，  故答案为三；  当圆片结束滚动时，相当于滚动了周，  当圆片结束滚动时，相当于直接把圆片向左滚动了周，  点对应的数是．  2. 解：；    ，或；    根据题意列得：，，  或 ，．  当圆片结束运动时，点运动的路程共有或．  3. 解：原点在点的右侧距离点四个单位长度，如下图：    点在原点的右侧距离原点个单位，因此点所表示的数为，  答：点所表示的数为，  当点在点的左侧时，，  当点在点的右侧时，，  因此点表示的数为或．  答：点表示的数为或．  4. ，；  ，；  ，；，．  5. 解：任务 ，；  根据题意得 ， ， 若球在数轴上表示坐标原点，则球在数轴的负半轴，右挡板在数轴的正半轴， 所以球表示的数为 ，右挡板表示的数为 ． 故答案为 ，； 任务根据题意得 秒；  秒． 答球第一次撞向右挡板的时间为秒，球第二次撞向右挡板的时间为秒；   6. ；  ，；  借助数轴，把彤彤和妈妈的年龄差看作木棒，妈妈像彤彤这样大时，可看作点移动到点，此时点向左移后所对应的数为，可知妈妈比彤彤大，  妈妈现在的年龄为岁．  7. ；    ；    或．  8. ；；点表示的数为；    的值为或  9. ；    ；    点表示的数为或，的值为或；    点所表示的数为或，相应的的值为或．  10. 解：由题意可知，点表示的数为，  所以点在点的右侧，，两点间的距离为．  由题意可知，点表示的数为，  ．  所以点在数轴上所表示的数为．  11. 解：．  故点所对应的数是；  ，  ，  ．  故点所对应的数是或．        秒，  点对应的数是，点对应的数是；        秒；  点对应的数是，点对应的数是．  12. 解：；；  如图所示：；  因为，  ，  所以，  所以的值不会随着时间的变化而改变，的值为．  13.       14. ；    或；    ；    ；  15. ；    ；    ；    或  16. ；  或；    ；  和或和．  17. 【小题】 解：左右折叠纸面，使表示的点与表示的点重合， “对折中心点”表示的数为， 则表示的点与表示的点重合， 故答案为：； 【小题】 左右折叠纸面，使表示的点与表示的点重合， “对折中心点”表示的数为， 设对折后表示的点与表示的点重合， 则， 解得， 即对折后表示的点与表示的点重合， 故答案为：，； 设点表示的数是，则点表示的数是， 由已得：“对折中心点”表示的数为， 则， 解得， 则， 即点表示的数是，则点表示的数是， 故答案为：，．   18. 【小题】 【小题】 秒 【小题】 秒或秒   19. 解：；  ；  数轴上，两点表示的数分别为，，  ，  点在原点的右侧，且到点，的距离之和为，  ，  ，  故答案为：；  设运动时间为秒，则运动后点表示：，点表示，点表示：，  点，之间的距离为个单位长度，  ，  解得：或，  ，或；  答：点表示的数是或．  20. 解：运动前，，  运动秒后，表示，表示，  ．  故答案为；；  运动秒后，点，点运动的距离分别为，，  故答案为；；  由题意得，或，  解得，或，  则的值为秒或秒时，线段的长为．  21. 解：；  ，  点表示的数为．  ；  、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，  ，  设秒后、相遇，  ，解得；  此时点走过的路程，  此时点表示的数为．  即点对应的数是；  相遇前：秒 ，  相遇后：秒 ，  追上前：秒 ，  追上后：秒．  点回到点停止运动时相距个单位长度：秒 ，  故经过秒或秒或秒或秒或秒长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度．  22. ；      假设为，  当在左侧时，，，，解得；  当在右侧时，，，，解得．  设经过时间秒，则点坐标为，点坐标为，点坐标为．  当在和的正中间，即为的中点时，，解得  当在和的正中间，即为的中点时，，解得，不合题意，舍掉．  当重合时，即到、距离相等时，此时，  ，  ．  因此，当秒时，此时，，，．  当秒时，此时，，，．  23. ，，；  的值不会随着时间的变化而改变；  由题意得，  ，  时或  ，  时或  ， 当  时，  ， 当  时，  ， 当  时，    24. 解：，，；  由可知，所以，  由，，可知，所以，  由，，可知，所以，        ．  25. 【小题】   【小题】 解：从数轴可知：，， ，，， ．   26. 略  27. 解：因为点对应的数的相反数为，  所以点对应的数为，  所以、两点之间的距离为，  A、两点的位置在数轴上表示如下：    ；  设点对应的数是，  由题意得  ，  解得，  则点对应的数是；  两只小甲虫、之间的距离为，  由点到小甲虫的距离为可知：  当点在小甲虫的左侧时，点在数轴上对应的数是，  此时小甲虫到点的距离为，  所以；  当点在小甲虫的右侧时，点在数轴上对应的数是，  此时小甲虫到点的距离为，  所以，所以的值是或．  28. ，；    或；    或；，，，，，；  29. 解：    点与表示有理数的点的距离是个单位长度，  或；  的值为或；    表示点到数轴上表示和的两点的距离之和，  由数轴可知，当点位于和两点之间时，最小，最小值为；    ，表示点到数轴上表示的距离的倍和到的距离的倍之和，  由数轴可知，当点位于和之间且越靠近时，其和越小，  当时，最小，最小值为；    表示数轴上点到表示的距离与表示的点的距离之差，  由数轴可知，当点位于左侧时，最大，最大值为；  【解决问题】  设菜鸟驿站在处，  运输距离为：，  的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点的距离的倍与其到表示的点的距离的倍及其到的点的距离的倍之和，  由可知，当位于和之间时，可取到最小值，  当位于和之间时，，当时，最小，最小为，  当位于和之间时，，当时，最小，最小为，  综上，当时，最小，最小值为，  此时最低成本元，  菜鸟驿站建在点时才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元．  30. 【小题】 【小题】 解：由数轴可知，，，， ，， ，， 点到点的距离等于点到点的距离 ， ； 由可知，， ， ， 点到点的距离等于点到点的距离， ， ， 是数轴上之间的一个动点，设点表示的数为， ， ．   31. 解：如图：     ，或；  ；  的值不会随着的变化而变化，理由如下：  根据题意得：平移后，，  ，  所以，  所以的值恒为，不会随着的变化而变化．  32. 【小题】 【小题】 解：没有移动时，两人在数轴上的位置相距个单位长度， 当甲猜对，乙猜错时，甲向右移动个单位长度，同时乙向右移动个单位长度， 此时两人之间的距离减小个单位长度， 当甲猜错，乙猜对时，甲向左移动个单位长度，同时乙向左移动个单位长度． 此时两人之间的距离减小个单位长度， 两人每次所猜的结果均为“一对一错”时，两人之间的距离都会减少个单位长度， 经过次移动游戏后，两人在数轴上的位置相距个单位长度； 【小题】 解：没有移动时，两人在数轴上的位置相距个单位长度， 当两人都猜对或都猜错时，甲向右移动个单位长度，同时乙向左移动个单位长度， 此时两人之间的距离减小个单位长度， 两人相遇前，按照所猜结果无论是，，中的哪一种，完成一次移动后两人之间的距离都会减少个单位长度， 当两人相遇前，两人在数轴上的位置相距个单位长度时，则移动了次， 当两人相遇后，按照所猜结果无论是，，中的哪一种，完成一次移动后两人之间的距离都会增加个单位长度， 当两人相遇后，两人在数轴上的位置相距个单位长度时，则移动了次， 综上所述，当移动次或次时，两人在数轴上的位置相距个单位长度．   33. ；  乙赢了次，  乙输了次．  乙赢，则甲向西移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度，  乙赢了次后，乙停留的数字为：．  若甲赢，则甲向东移动个单位长度，同时乙向东移动个单位长度；  乙输了次后，乙停留的数字为：，  根据题意得：，  ，  为正整数，  当时，该位置距离原点最近；  或．  34. 【小题】 【小题】 由可知，表示的数为，表示的数为， 表示的数为：， 表示的数为：， 原点是； 由上可知，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，在数轴上表示为： 根据数轴特点可得：； 【小题】 表示的数为，表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 如图： 由题意和数轴可知，都在的左边， 是原点，到原点的距离为，到原点的距离为， 距离原点最近的点不包括原点是．   35. ， 解得：， 是最小的正整数 ， 故答案为：，， 点与点的中点对应的数为： 点到的距离为，所以与点重合的是： 故答案为： 点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动。 秒钟过后，点表示为，点表示为，点表示为， ， ， ， 故答案为：，，．   36. 【小题】 【小题】 存在， ，， 由题意得： 当时，方程化为，解得； 当时，方程化为，方程无解； 当时，方程化为，解得；  综上所述，存在点，使，或； 【小题】 设第秒时，两点相距个单位长度． 当在左侧时：，解得 当在左右侧时：，解得 综上所述，第秒或第秒时，两点相距个单位长度．   37. ； ，两点间距离是个单位长度． 经过秒或秒，，两点相距个单位长度．   38. 【小题】 解：完成了次移动游戏，结果为平局， 则甲向东移动个单位长度到， 乙向西移动个单位长度到； 第一局后甲乙两人相距个单位长度 故答案为：； 【小题】 因为从前五局来看，甲一平两胜两负， 整个过程看：甲一平两胜两负，而乙一平两负两胜，向东为正， 根据规则五局之后甲对应的数为：， 根据规则五局之后乙对应的数为：， 故乙离原点个单位， 故答案为：； 【小题】 的值为或，理由如下： 刚开始甲乙两人相距个单位长度， 若两人尚未相遇， 若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若平局，移动后甲乙的距离缩小个单位， 若甲赢，则甲向东移动个单位长度；同时乙向东移动个单位长度， 若甲赢，移动后甲乙的距离缩小个单位， 若乙赢，则甲向西移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若乙赢，移动后甲乙的距离缩小个单位， 甲乙每移动一次甲乙的距离缩小个单位， 最终甲与乙的位置相距个单位， 则共需缩小个单位 若两人已经相遇， 按照相遇前的距离缩小规律，第七局甲与乙的位置相距个单位， 同理分析可得：第八局甲与乙的相对位置交换，且相距个单位， 继续则甲乙的距离每局增加个单位，第九局甲与乙的位置相距个单位 综上所述：的值为或． 故答案为：或．   39. ；；  ；  的值为或．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $