精品解析：云南省昆明市润城学校2025-2026学年上学期八年级数学期中试卷

八年级数学试题卷 全卷三大题，共27小题，共8页 满分100分，考试用时120分钟 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果三角形的三边长分别为a，4，5，那么整数a的值不可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若分式有意义，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，添加哪个条件可以证明的是（ ） A. B. C. D. 以上都不可以 6. 一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 9. 如图，在中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 10. 观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，△ABC的周长为18，AE = 3，则△ABD的周长（　　　） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 12. 已知是完全平方式，则的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 6或 13. 信息技术的存储设备常用等作为存储的单位．例如，我们常说某移动硬盘的容量是，某个文件大小是等，其中，，对于一个存储量为的硬盘，其容量是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，射线是的平分线，D为射线上一点，于点P，，若Q是射线上一点，，则阴影部分的面积为（ ） A. 15 B. 5 C. 3 D. 15. 观察下列各式： ； ； ． 利用你发现的规律计算：的值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 分解因式： _____________． 17. 已知，则代数式的值为___________． 18. 如图，在中，和的角平分线与相交于点O，过点O作，与分别相交于点M，N，若的周长为，则_______． 19. 如图，牧民从生活区边上某点A出发，先到草地边上某点B牧马，再到小河边上某点C饮马，最后回到点A处，已知，点P到的距离为4千米，，若的周长为千米，则的最小值是_______千米． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. （1）先化简，再求值：，其中，． （2）化简：． 21. 如图，点在一条直线上，，，．求证：． 22. 如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点均在格点上，点，的坐标分别是，，关于轴对称的图形为． （1）画出，并写出点的坐标_______； （2）在轴上找出一点，使的值最小．（不写画法，但需保留作图痕迹） 23. 如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数． 24. 仔细阅读下面的例题，解答问题： 例：已知二次三项式可以写成两个一次因式的积，其中有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为， 则， ∴， ∴， ∴另一个因式为，． 仿照以上方法解答问题： （1）若二次三项式可分解为，求的值； （2）已知二次三项式可以写成两个一次因式的积，其中有一个因式是，求另一个因式以及的值． 25. 如图，在中，D为边上一点，于F，延长交于E．若． （1）求证：为等边三角形； （2）若D是的中点，求的值． 26. 在代数的“分式变形与求值”领域，有一种常用的解题策略——“降次变形”与“整体代换”．如，已知，求的值时，我们可以对两边平方，得到，即，从而推出．这种通过对已知式子变形，结合公式（如完全平方公式）进行整体代换的方法，能有效解决复杂分式的求值问题．请运用该思路解决以下问题： （1）已知，求的值； （2）已知，且，求的值． 27. 在中，，，点D、E在直线上，且．过点B作交直线于点F，直线交直线于点G，连接． （1）如图1，射线都在的内部，设，则_______（用含有α的式子表示）； （2）在（1）的条件下，作点B关于直线的对称点，证明； （3）如图2，当射线在的外部，射线在的内部时，其他条件不变，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题卷 全卷三大题，共27小题，共8页 满分100分，考试用时120分钟 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 如果三角形的三边长分别为a，4，5，那么整数a的值不可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得出的取值范围，从而得出答案，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】解：由三角形的三边关系可得：，则， a的值不可能是1， 故选：A． 3. 若分式有意义，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．根据分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴． 故选B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方、同底数幂的乘法和除法以及幂的乘方是解题的关键．根据积的乘方、同底数幂的乘法和除法以及幂的乘方进行计算即可判断． 【详解】解：A．，选项计算错误，故不符合题意； B．，选项计算错误，故不符合题意； C．，选项计算错误，故不符合题意； D．，选项计算正确，故符合题意； 故选：D． 5. 如图，已知，添加哪个条件可以证明的是（ ） A. B. C. D. 以上都不可以 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理进行逐项分析即可． 【详解】A. ，，，不符合全等三角形的判定，故该选项错误； B. ，，，不符合全等三角形的判定，故该选项错误； C. ，，，符合全等三角形的判定，故该选项正确； 故选：C． 6. 一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了与三角板有关的运算以及三角形内角和性质，先得出，再运用三角形内角和进行列式，计算即可作答． 【详解】解：如图所示： 由题意得出， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A. ，此选项错误，不符合题意； B. ，此选项正确，符合题意； C. ，此选项错误，不符合题意； D. ，此选项错误，不符合题意； 故选：B． 8. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 9. 如图，在中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高等知识点，掌握三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式是解题的关键． 分别根据三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式判断即可． 【详解】解：是上的高线， ， 正确，不符合题意； 是的平分线， ， 错误，符合题意； 是上的中线， ， ， 正确，不符合题意． 故选：B． 10. 观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式的几何运用．运用长方形的面积及正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得： 第一个图的面积为：， 第二个图的面积为：， ， 故选：B． 11. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，△ABC的周长为18，AE = 3，则△ABD的周长（　　　） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝6，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3， ∴DA＝DC，AC＝2AE＝6， ∵△ABC的周长为18， ∴AB+BC+AC＝18， ∴AB+BC＝12， ∴△ABD的周长=AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝12， 故选：A． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 12. 已知是完全平方式，则的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 6或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故选D． 13. 信息技术的存储设备常用等作为存储的单位．例如，我们常说某移动硬盘的容量是，某个文件大小是等，其中，，对于一个存储量为的硬盘，其容量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法运算，根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 14. 如图，射线是的平分线，D为射线上一点，于点P，，若Q是射线上一点，，则阴影部分的面积为（ ） A. 15 B. 5 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上一点到角的两边的距离相等；根据此性质过D作于H，则得，由三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过D作于H， ∵射线是的平分线，且，， ∴， ∴； 故选：D． 15. 观察下列各式： ； ； ． 利用你发现的规律计算：的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的规律探究问题，从题意中找出规律是解题的关键． 通过观察题干中等式的规律，可得一般形式：，将所求和式视为该形式中、的情况，直接代入计算即可． 【详解】设 ， ∵ ， 令，， ∴ ， 即 ． 故选：D． 二、选择题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 分解因式： _____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先提公因式，再利用平方差进行二次分解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 17. 已知，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的运算，逆用幂的乘方，同底数幂的除法，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 18. 如图，在中，和的角平分线与相交于点O，过点O作，与分别相交于点M，N，若的周长为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的定义，正确进行线段的等量代换是解答本题的关键．由已知条件根据平行线的性质、角平分线的性质可推出，．从而△的周长等于AB+AC，答案可得． 【详解】解：平分， ． 又， ． ． ． 同理可得：． 的周长为： ， 故答案为：． 19. 如图，牧民从生活区边上某点A出发，先到草地边上某点B牧马，再到小河边上某点C饮马，最后回到点A处，已知，点P到的距离为4千米，，若的周长为千米，则的最小值是_______千米． 【答案】4 【解析】 【分析】在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、，由轴对称的性质可得的周长为，即当最小时，的周长最小，证明为等边三角形，得出，由垂线段最短可得，当时，最小，即最小，结合题意可得的最小值为，即可得解． 【详解】解：如图，在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、， ，，，，，， 的周长为， 当最小时，的周长最小， ， ， ， ， 当时，最小，即最小， 点到的距离为， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查轴对称，等边三角形，最短路径问题，垂直平分线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. （1）先化简，再求值：，其中，． （2）化简：． 【答案】 （1），50； （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简计算，包括完全平方公式和平方差公式的运用，以及分式的化简，解决本题的关键是熟练掌握公式并认真计算． （1）先使用完全平方公式和平方差公式展开表达式，然后合并同类项进行化简，最后代入数值计算； （2）将分式除法转换为乘法，对分子和分母因式分解后约分化简． 【详解】解：（1） ， 当 ， 时， 原式 ． （2）∵  ， ． 21. 如图，点在一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据证和全等，根据全等三角形的对应边相等即可得出，进而得到． 【详解】略 22. 如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点均在格点上，点，的坐标分别是，，关于轴对称的图形为． （1）画出，并写出点的坐标_______； （2）在轴上找出一点，使的值最小．（不写画法，但需保留作图痕迹） 【答案】（1） 即为所作． （2）如图，连接，交轴于点，连接，，∵点和点关于轴对称，∴轴垂直平分，∴，∴，即线段的长为的最小值，则点即为所作． 【解析】 【分析】本题考查轴对称变换，轴对称—最短路线问题． （1）根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；分别作出、关于轴的对称点、，然后顺次连接即可； （2）由（1）知：点和点关于轴对称，连接即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴关于轴对称点的坐标分别为，， 连接，，， 【小问2详解】 略 23. 如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数． 【答案】∠DAE=15°． 【解析】 【分析】由三角形的内角和定理，可求∠BAC=90°，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=45°，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=30°，所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=15°． 【详解】在△ABC中，∠B=60°，∠C=30° ∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣30°﹣60°=90° ∵AE是的角平分线 ∴∠BAE=∠BAC=45°， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB=90° ∴在△ADB中，∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30° ∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=45°﹣30°=15° 【点睛】本题重点考查了同学们对三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质等知识点的理解和掌握，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和等于180°． 24. 仔细阅读下面的例题，解答问题： 例：已知二次三项式可以写成两个一次因式的积，其中有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为， 则， ∴， ∴， ∴另一个因式为，． 仿照以上方法解答问题： （1）若二次三项式可分解为，求的值； （2）已知二次三项式可以写成两个一次因式的积，其中有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】（1） （2）另一个因式是，的值为 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． （1）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出的值； （2）设另一个因式为，得，可知，，继而求出和的值及另一个因式． 【小问1详解】 解：， 又， ， ； 【小问2详解】 解：设另一个因式为， 则， ， ， 解得：， 另一个因式是，的值为． 25. 如图，在中，D为边上一点，于F，延长交于E．若． （1）求证：为等边三角形； （2）若D是的中点，求的值． 【答案】（1） 证明：∵于F， ∴， ∵， ∴在中，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余求得，再根据三角形的外交性质求得，由等角对等边得，即可证明结论成立； （2）连接，由（1）得，，先由等腰三角形的三线合一得，进而根据等角对等边得，在中，根据直角三角形的性质即可得，即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如下图， 由（1）得，，， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及判定，等边三角形的判定，直角三角形的两锐角互余以及直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半以及三角形的外角，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 26. 在代数的“分式变形与求值”领域，有一种常用的解题策略——“降次变形”与“整体代换”．如，已知，求的值时，我们可以对两边平方，得到，即，从而推出．这种通过对已知式子变形，结合公式（如完全平方公式）进行整体代换的方法，能有效解决复杂分式的求值问题．请运用该思路解决以下问题： （1）已知，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式变形为已知条件的形式，进而得出结果是解题的关键． （1）把两边平方即可得出； （2）先由得，代数式中分子和分母同时除以，得，即，把，代入得，即， 由得，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， 代数式中分子和分母同时除以，得，即， 把，代入得，即， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 27. 在中，，，点D、E在直线上，且．过点B作交直线于点F，直线交直线于点G，连接． （1）如图1，射线都在的内部，设，则_______（用含有α的式子表示）； （2）在（1）的条件下，作点B关于直线的对称点，证明； （3）如图2，当射线在的外部，射线在的内部时，其他条件不变，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， 依题意得，与成轴对称图形， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． ； （3） 证明：如图，作点关于直线的对称点，连接， 则与成轴对称， ，，， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）根据，可求； （2）连接，证明，即可得． （3）作点关于直线的对称点，连接，设，证明，即可得． 【小问1详解】 解：，， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $