精品解析：贵州省安顺市关岭布依族苗族自治县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

关岭县2025—2026学年度第一学期期中教学质量监测 九年级数学 （试卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 中国的货币不仅历史悠久而且种类繁多，形成了独具一格的货币文化。以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分货币图形，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，若点和点关于原点对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5. 已知一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，为的弦，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 某校去年对实验器材的投资为2万元，预计明年的投资总额为2.88万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点O顺时针旋转变为，则下列说法不正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，是的弦，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）． A. -7 B. 7 C. -10 D. 10 11. 如图，的直径垂直于弦，垂足为．若，，则圆半径长是（ ） A. 2 B. C. D. 12. 如图，在菱形中，，，点E从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点C，同时点F从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点D．在此过程中，的面积y与运动时间t之间的关系大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 已知二次函数，请写出一个二次函数，要求它的图象与函数的图象开口大小相同、方向相反，则________． 14. 已知，是方程的两个根，则代数式的值是________． 15. 如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是_______． 16. 图形的旋转不仅是初中数学“图形与几何”领域的重要内容，也是解决平面几何问题的一种解题策略和方法．如图，，为正方形对角线上两点，连接，，，，，则的长为________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出． 19. 已知：如图，、、、是上的点，，． （1）求证：； （2）求的长． 20. 已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； （2）若该二次函数图像的对称轴为，求它与轴的交点坐标． 21. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接． （1）求证：； （2）当点，，在同一条直线上时，求的度数． 22. 某商场将进价为每个30元的台灯以每个40元的价格售出，平均每月能售出600个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款台灯每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其月销售量就减少10个，设该商场决定把售价上涨（，且是整数）元． （1）这款台灯每个的售价上涨元时，月销售量为________个． （2）为了获得平均每月10000元的利润，这款台灯每个的售价应定为多少元？ （3）这款台灯每个的售价定为多少元时，该商场每月销售这款台灯获得的利润最大？ 23. 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的． 例如：已知，求，的值． 由题意，得， 即， ，， ，． 根据以上材料，解答下列各题． （1）若，求的值； （2）若，，分别表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，交轴于点和点，是抛物线上一点． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）求顶点和点的坐标； （3）若是轴上方抛物线上的点（不与点，，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，求的取值范围． 25. 如图，在矩形中，，，，垂足为，将沿翻折得到． （1）的长为________，的长为________； （2）如图，若将沿着射线方向平移得到，设平移的距离为（即线段的长度），当点平移到线段上时，求的值； （3）如图，将绕点顺时针旋转，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与线段相交于点，与的延长线相交于点，使得，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 关岭县2025—2026学年度第一学期期中教学质量监测 九年级数学 （试卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 中国的货币不仅历史悠久而且种类繁多，形成了独具一格的货币文化。以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分货币图形，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，根据二次函数的顶点式即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 3. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 4. 在平面直角坐标系中，若点和点关于原点对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称时，它们的横坐标和纵坐标分别互为相反数．根据此特征，可列出方程求解m的值． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴， 即， 解得． ∴m的值为1． 故选：A． 5. 已知一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法求解方程是解题的关键． 根据因式分解法可直接进行求解． 【详解】解：A、由方程解得，，故不符合题意； B、由方程解得，，故符合题意； C、由方程解得，，故不符合题意； D、由方程解得，，故不符合题意； 故选：B． 6. 如图，，为的弦，连接，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 7. 某校去年对实验器材的投资为2万元，预计明年的投资总额为2.88万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程解决平均增长率问题，根据题中等量关系列出方程即可． 【详解】解：某校去年对实验器材的投资为2万元，该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x， 则今年对实验器材的投资为，明年对实验器材的投资为， 故， 故选：A． 8. 如图，将绕点O顺时针旋转变为，则下列说法不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 结合旋转的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵绕点O顺时针旋转变为， ∴， 故A，B，D选项正确，不符合题意， C选项不正确，符合题意． 故选：C． 9. 如图，是的直径，是的弦，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 由，可求得，继而可求得的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 10. 二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）． A. -7 B. 7 C. -10 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程与二次函数，数形结合是解题的关键． 一元二次方程有两个相等的实数根，即，则函数与函数只有一个交点，结合图象求解即可． 【详解】一元二次方程有两个相等的实数根， 即，则函数与函数只有一个交点， ，解得． 故选：B． 11. 如图，的直径垂直于弦，垂足为．若，，则圆半径长是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，垂径定理等知识点，连接，设半径为，根据垂径定理得出，根据含度角的直角三角形的性质得出，勾股定理求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设半径为 ∵的直径垂直于弦， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 12. 如图，在菱形中，，，点E从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点C，同时点F从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动到点D．在此过程中，的面积y与运动时间t之间的关系大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点F作于点H，连接，证明，得到，分别计算和，即可得，结合t的范围即可确定函数的图象． 【详解】解：过点F作于点H，连结， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 同理是等边三角形， ， ， 由题意知， ， ， 四边形是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ， 的面积y与运动时间t之间的关系大致是抛物线的一部分， ， 当或2时，， 当时，， 只有选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形性质，勾股定理，二次函数的图象，熟练掌握这些知识，表示出的面积是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 已知二次函数，请写出一个二次函数，要求它的图象与函数的图象开口大小相同、方向相反，则________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，开口方向由二次项系数a的符号决定，开口大小由决定，要求开口大小相同、方向相反，故a取相反数． 【详解】解：对于二次函数，其二次项系数为2，因此图象开口向上，且开口大小由决定， 要使的图象与的图象开口大小相同，则；方向相反，则， 故， 因此． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 已知，是方程的两个根，则代数式的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．先根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的根与系数的关系可得，，再代入计算即可得． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，是直径，点C，D在半圆上，若，则的度数是_______． 【答案】##130度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，根据直径所对的圆周角是直角和三角形内角和定理可求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补可求出的度数． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是以为直径的圆的内接四边形， ∴， 故答案为：． 16. 图形的旋转不仅是初中数学“图形与几何”领域的重要内容，也是解决平面几何问题的一种解题策略和方法．如图，，为正方形对角线上两点，连接，，，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点B顺时针旋转，得到，连接，利用正方形的性质和旋转的性质证明相等的角和边，证明，得出，然后再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示，在正方形中，将绕点B顺时针旋转，得到，连接， ∴，，，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法是解题的关键． （1）先将常数项移至等号右边，然后在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，再由直接开平方法求解； （2）先计算的值，再由公式求解即可． 【小问1详解】 解： ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： ， ∴， ∴，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出． 【答案】（1） 解：如图，△即为所求． （2） 解：如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，正确作出图形是解题的关键． （1）利用中心对称的性质，分别作出 的对应点，然后顺次连接即可； （2）利用旋转变换的性质，画图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知：如图，、、、是上的点，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 即． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理； （1）先证明即可得到结论； （2）由证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ． 20. 已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； （2）若该二次函数图像的对称轴为，求它与轴的交点坐标． 【答案】（1） 证明：∵ 二次函数为 ， ∴ , , ， 判别式 ， 化简得 ， ∵ 无论  为何值，， ∴ ， 即无论  为何值时，该二次函数的图像与  轴都有交点； （2） 和 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的判别式和对称轴性质，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的判别式与图像与x轴交点的关系． （1）通过计算判别式并化简，证明其非负，从而说明函数图像与x轴总有交点； （2）利用对称轴公式求出k值，再代入函数求与x轴的交点坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 二次函数  的对称轴为 ， 又∵ 对称轴为 ， ∴ ， 代入函数得 ， 令 ，则 ， 解得 ， ∴  或 ， ∴ 它与  轴的交点坐标为  和 ． 21. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接． （1）求证：； （2）当点，，在同一条直线上时，求的度数． 【答案】（1） 证明：由旋转可得，， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）由旋转的性质得，再根据三角形三边关系即可求证； （）由旋转可得，，即得，又可得，利用三角形内角和定理求出即可求解； 本题考查了旋转的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质等，掌握旋转的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由旋转可得，，， ∵点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 22. 某商场将进价为每个30元的台灯以每个40元的价格售出，平均每月能售出600个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款台灯每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其月销售量就减少10个，设该商场决定把售价上涨（，且是整数）元． （1）这款台灯每个的售价上涨元时，月销售量为________个． （2）为了获得平均每月10000元的利润，这款台灯每个的售价应定为多少元？ （3）这款台灯每个的售价定为多少元时，该商场每月销售这款台灯获得的利润最大？ 【答案】（1） （2）50元 （3）60元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的应用，根据销售量的变化与价格的变化的关系列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）根据销售量就将减少的数量是台灯的售价上涨数量的10倍列代数式； （2）基本关系：月销售利润=（售价-成本）×销售量，据此建立一元二次方程求解； （3）根据“月销售利润=（售价-成本）×销售量”建立函数关系式，结合自变量的取值范围，利用函数的性质求解． 【小问1详解】 解：∵台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个， ∴售价上涨x元，其销售量就将减少个， ∴售价上涨x元后，该商场平均每月可售出个个台灯， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意，得， 整理，得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， 答：这款台灯的售价应定为50元． 【小问3详解】 解：设每月销售利润为元，根据题意，得 ， ∵， 随着的增大而增大， ∴当时，最大，最大值为， 此时售价为：（元）， 答：台灯售价定为60元时，每月销售利润最大． 23. 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的． 例如：已知，求，的值． 由题意，得， 即， ，， ，． 根据以上材料，解答下列各题． （1）若，求的值； （2）若，，分别表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查配方法的应用及三角形的分类，等边三角形的判定，熟练掌握配方法的应用及三角形的分类是解题的关键； （1）用完全平方公式对方程左边进行配方，再根据非负数和为0的性质求得x、y，再代值计算便可； （2）先将方程两边都乘以2，再把方程左边分解成几个完全平方式之和，进而根据非负数和为0的性质得出，再由此判断三角形的形状． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，交轴于点和点，是抛物线上一点． （1）求抛物线对应的函数解析式； （2）求顶点和点的坐标； （3）若是轴上方抛物线上的点（不与点，，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3）或 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了求二次函数解析式，二次函数增减性等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）运用待定系数法求得函数解析式； （2）运用配方法求出顶点M的坐标；令，则，解方程可得点的坐标； （3）先求出直线的表达式为，设点（且），则点，然后分点P在点Q的下方和上方两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点为，交轴于点和点，是抛物线上一点，将点A，点D的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：， ∴抛物线顶点M的坐标为； 令，则， 解得或， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：设直线的表达式为，将点A，点D的坐标分别代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 设点（且），则点， 当点P在点Q的下方，即时，， ∴时，线段的长随n的增大而增大； 当点P在点Q的上方时，， ∴当时，线段的长随n的增大而增大． 综上所述，当线段的长随n的增大而增大时，n的取值范围为或． 25. 如图，在矩形中，，，，垂足为，将沿翻折得到． （1）的长为________，的长为________； （2）如图，若将沿着射线方向平移得到，设平移的距离为（即线段的长度），当点平移到线段上时，求的值； （3）如图，将绕点顺时针旋转，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与线段相交于点，与的延长线相交于点，使得，求的长． 【答案】（1），； （2）的值为或； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（）根据矩形的性质，由勾股定理得，然后利用直角三角形的面积公式求得，再由勾股定理即可求解； （）根据平移的性质得，，根据折叠性质，得，则，所以，故点与点重合，此时；当点在上的点时，设与交于点，根据平移和折叠性质即可求解； （）分当点在上，点在的延长线上，且时，当点在的延长线上，点在上，且时两种情况，在根据矩形的性质，折叠的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，分类解答即可． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， 解得：， ∵点是点关于的对称点， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设平移后对应，如图，当点在上的点时， 根据平移性质，得，， ∴， 根据折叠性质，得， ∴， ∴， 故点与点重合， 此时； 如图，当点在上的点时，设与交于点， 根据平移性质，得，，，，， ∴，， ∴， 根据折叠性质, 得， ∴， ∴， ∴， 此时， 综上所述，的值为或； 【小问3详解】 解：∵时， 当点在上，点在的延长线上，且时，如图， ∵， ∴， 根据折叠的性质，得，，， ∵在矩形中，，， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据旋转的性质，得，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴； 当点在的延长线上，点在上，且时，如图， ∵， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵， ∴，表示的是同一条直线，， ∴点在BC上，， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，旋转性质，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握折叠与旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $