2026届高考数学一轮复习解析几何专题检测卷

2026届高考数学一轮复习解析几何专题检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）（人教A（2019）版） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（2024北京）求圆的圆心到的距离（    ） A． B．2 C． D． 3．在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 4.（2025北京）双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5.（2025全国1）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6．（2025年全国Ⅱ）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7．已知椭圆的焦距为4，直线与椭圆相交于，两点，若点是线段的中点，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（2025天津）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为P，若，则双曲线的离心率（ ） A. 2 B. 5 C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列结论正确的是（   ） A．过点，的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 10．（2025全国1）设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ） A. B. C. D. 11（2025年全国Ⅱ）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（ ） A. B. C. C的离心率为 D. 当时，四边形的面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分） 12．过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为 ． 13．（2025北京）抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 14.直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于A，B两点，该双曲线上任意一点 ， 满足 ，则 的最小值为 . 四、解答题（本大题共5小题， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知直线． (1)若直线与直线垂直，且经过，求直线的斜截式方程； (2)若直线与直线平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求直线的一般式方程． 16.已知圆：，回答下列问题. (1)已知圆的圆心在直线上，且经过，两点，求圆与圆相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为的直线与圆交于，两点，其中为坐标原点，且，求 17.（2024上海卷）已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率时，求的值． (2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标． (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 18．已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程． (2)求证：为定值． (3)求证：直线过定点，并求出该定点． 19．（2025全国1）设椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求点的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 解析 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 答案：D 分析：首先求出直线的斜率，即可求出倾斜角. 解析：直线，即，所以直线的斜率. 设倾斜角为，则，且，故， 即直线的倾斜角为， 故选：D 2．（2024北京）求圆的圆心到的距离（    ） A． B．2 C． D． 答案：C 分析：求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 解析：由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为，故选：C. 3．在中，已知，则BC边上中线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 答案：A 分析：先求边上的中点坐标，再求边上的中线的斜率与方程. 解析：∵，∴边上的中点坐标为， ∴边上中线所在的直线的斜率为， ∴边上中线所在的直线方程为，即 故选：A 4.（2025北京）双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 答案：B 分析：先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率． 解析：由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 5.（2025全国1）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 答案：B 分析：先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 解析：由题意，在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知，当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.故选：B. 6．（2025年全国Ⅱ）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 答案：C 分析：先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 解析：对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以.故选：C 7．已知椭圆的焦距为4，直线与椭圆相交于，两点，若点是线段的中点，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 答案：B 分析：利用点差法，结合直线的斜率求得，再根据焦距列式求解即可. 解析：设，则且， 故，故，即， 故，又，所以，所以，所以，即， 因此椭圆的短轴长为. 故选：B 8．（2025天津）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为P，若，则双曲线的离心率（ ） A. 2 B. 5 C. D. 答案：A 分析：利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 解析：根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线，则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得: 即，∴，即离心率为2. 故选：A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的． 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列结论正确的是（   ） A．过点，的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 答案：BD 分析：求出直线倾斜角判断A；利用垂直关系求出判断B；求出两条平行线间距离判断C；利用对称求出最小值判断D. 解析：对于A，直线倾斜角为，斜率，，A不正确； 对于B，直线与直线垂直，则，解得，B正确； 对于C，平行线间的距离，C不正确； 对于D，令点关于轴的对称点为，连结交轴与，为轴上任一点，连接， 如图，则， 当且仅当点为线段与轴的交点时取等号，， 因此，的最小值为5，D正确. 故选：BD 10．（2025全国1）设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ） A. B. , C. D. 答案：ACD 分析：对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 解析：法一：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以，所以，同理， 又，所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为，设直线的方程为，， 联立，得，易知，则， 又，，所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即，同理， 又 ， ，所以， 则，故D正确.故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以，所以，同理， 又，所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ，综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即，同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确.故选：ACD. 11（2025年全国Ⅱ）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（ ） A. B. C. C的离心率为 D. 当时，四边形的面积为 答案:ACD 分析：由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 解析：不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即，故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分） 12．过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为 ． 答案： 分析：先求出直线的交点，再根据垂直关系求出斜率，利用点斜式求出直线方程． 解析：设直线与相交于点，则 ，解得， 交点为， 所求直线与直线垂直，设所求直线斜率为， ，解得， 直线方程为：，即． 故答案为：． 13．（2025北京）抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 答案： 分析：根据抛物线的几何性质可求的值. 解析：因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故，故答案：. 14.直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于A，B两点，该双曲线上任意一点 ， 满足 ，则 的最小值为 . 答案： 分析：先求出点坐标，设点，由得，进而得，最后利用基本不等式即可求解. 解析：双曲线的渐近线为，当时，得，所以， 设点，由得， 由点为双曲线上点，所以， 所以， 当且仅当即，或时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题， 共 77 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知直线． (1)若直线与直线垂直，且经过，求直线的斜截式方程； (2)若直线与直线平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求直线的一般式方程． 分析：（1）根据垂直设，代入得到直线方程，再化成斜截式即可； （2）设，得到面积表达式求出值即可. 解析：（1）由题意设直线的方程为:， 由直线经过得:，解得:， 直线的方程为:，即. （2）由题意设直线的方程为:，令，则;令，则， 所以直线两坐标轴围成的三角形的面积三角形的面积， 解得:， 所以直线的一般式方程为. 16.已知圆：，回答下列问题. (1)已知圆的圆心在直线上，且经过，两点，求圆与圆相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为的直线与圆交于，两点，其中为坐标原点，且，求 分析：（1）设圆心，结合圆的定义列方程求解的值，得圆心的坐标，确定圆的半径，得圆的标准方程，根据两圆的位置关系确定相交弦所在直线方程，求解相交所得公共弦长即可； （2）设直线的方程为，设，，联立直线与圆确定交点坐标关系，结合向量数量积的坐标运算确定直线方程，从而得的值. 解析：（1）因为圆心在直线上，所以设圆心， 因为圆经过，两点，所以， 所以，解得， 所以圆的半径为，所以圆的方程为； 又因为圆：，两圆方程作差可得，即直线， 又圆：的圆心为，半径为1， 则圆心到直线的距离， 则与相交所得公共弦长为. （2）由条件可设直线的方程为，设，， 联立方程，整理得， 所以，，因为=12， , , 解得，经检验，直线与圆有交点， 所以直线的方程为，故圆心在直线上，所以. 17.（2024上海卷）已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率时，求的值． (2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标． (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 分析：（1）根据离心率公式计算即可； （2）分三角形三边分别为底讨论即可； （3）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可. 解析：（1）由题意得，则，． （2）当时，双曲线，其中，， 因为为等腰三角形，则 ①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去； ②当以为底时，， 设，则 , 联立解得或或， 因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）； ③当以为底时，，设，其中， 则有，解得，即． 综上所述：. （3）由题知， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，则设直线， 设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知， 联立有，显然二次项系数， 其中， ①，②，   ， 则，因为在直线上，则，， 即，即， 将①②代入有， 即，化简得， 所以 , 代入到 , 得 , 所以 , 且，解得，又因为，则， 综上知，，． 点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0. 18．已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程． (2)求证：为定值． (3)求证：直线过定点，并求出该定点． 分析：（1）根据焦点坐标求解即可； （2）设切线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可； （3）直线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用得到且，代入计算即可得证． 解析：（1）由题意知抛物线的标准方程为（）且， ∴，抛物线的标准方程为，准线方程为； （2）设点P的坐标为，， 由题意，过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为0， 设切线的斜率为，则切线的方程为， 联立方程组，消去，得， ∴得（*）， 又、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值； （3）由题知，直线的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立，整理得，， ∴，，∵，∴， 整理得， 代入有，∴， ∴且，∴，故直线过定点． 19．（2025全国1）设椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求点的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 分析：（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 解析：（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即：，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以， 即 , 即 故点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $