精品解析：四川省德阳市旌阳区德阳天立学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

德阳天立学校2025年秋期九年级年级数学学科 期中考试试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 把抛物线经过平移得，平移方法是（ ） A. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵抛物线经过平移得，即， ∴平移方法是向左平移1个单位，再向下平移3个单位， 故选：A． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 长度相等的弧是等弧 D. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称轴的定义对A进行判断；根据垂径定理的推论对B进行判断；根据等弧定义对C进行判断；根据圆心角定理对D进行判断． 【详解】解：A、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以A选项错误； B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误； C、长度相等的弧不一定能重合,所以不一定是等弧，所以C选项错误； D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，掌握相关定理是解题关键． 4. 参加我市酒品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了28份合同，则公司共有（ ） A. 5家 B. 6家 C. 7家 D. 8家 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设共有x家公司参加酒品交易会，则每个公司要签份合同，签订合同共有份合同，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设共有x家公司参加酒品交易会，则每个公司要签份合同， 根据题意，得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 则公司共有8家， 故选：D． 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意得且，解之即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故选：． 6. 如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 12 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键． 根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E， ∵直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故选：B 7. 如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称轴，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据二次函数的对称轴求出抛物线与x轴的另一交点，如图，设为C，根据对称性得到，进而得到当点M在线段上时，的值最小，然后根据待定系数法求直线解析式，最后把代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点A关于直线的对称点为， 如图，设为点C，连接， ∴， ∴， ∴当点M在线段上时，的值最小， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，， ∴， 故选：B． 8. 若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、分式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 由根与系数的关系可得，，根据分式的运算法则得到，再整体代入数据即可求解． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 故选：D． 9. 在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质；根据二次函数的图象知：，，求得，，据此判断即可． 【详解】解：观察四个选项，由二次函数的图象知：，， ∴，， ∴一次函数的图象一、三、四象限， 故选：A． 10. 如图，直线，，分别与相切于点，，，且，，．则的直径为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：连接， 根据切线长定理得：，，，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴的直径为． 故选：D． 11. 若关于x的一元二次方程（t为实数），在的范围内有解，则t的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，进而确定t的最小值，然后再求出时t的值，然后比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即t在的范围内的最小值为， 当时，；当时，； 所以t的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的性质等知识点，根据题意确定t的最小值是解答本题的关键． 12. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法，其中正确的个数有（ ） ①②③（为全体实数）④若图象上存在点和点，当时，满足则的取值范围为． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据开口方向可得，根据对称轴可得，由抛物线与轴的交点可知当时，，即可判断①；由时，，即得，即可判断②；由二次函数的性质可判断③；由二次函数的对称性可得，即可判断④，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴的一个交点坐标在直线和直线之间， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标在直线和直线之间， ∴当时，， ∴，故①错误； ∵当时，， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴的最大值， 当时，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故③错误； 若图象上存在点和点，当时，可知点和点关于对称轴对称， ∵， ∴， 解得，故④正确； 综上，正确的个数只有个， 故选：． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上） 13. 已知直线上有一点，则点P关于原点对称的点M的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题是一道有关对称点坐标之间关系的题目，也涉及到直线方程，做题时首先要把点的坐标代入直线方程求出m的值，其次学生要掌握关于原点对称点的坐标是原来坐标的相反数. 【详解】解：∵点在直线 ∴，解得： ∴ ∵点P关于原点对称的点M的坐标 ∴ 故答案为：. 14. 如图，是的直径，是弦，，则_______． 【答案】44 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理．连接，根据直径所对的圆周角是直角知，由直角三角形两锐角互余得的度数，再根据圆周角定理即可得解． 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵圆周角、所对的弧是， ∴． 故答案为：44． 15. 在体育课上，小颖站在操场上的O点练习掷实心球，发现若不考虑空气阻力，实心球的飞行路线是一条抛物线．如上图，已知实心球出手时的高度为1.6米，当飞行到与点O的水平距离为3米时达到最大高度2.5米，则小颖这次实心球训练的成绩为_____米（即的长度）． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．根据题意可知点A的坐标为，顶点坐标为，设抛物线解析式为，求出抛物线解析式，令，求出x的值即可． 【详解】解：根据题意可知点A的坐标为，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为， 令得， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴的长度为8米， 即小颖这次实心球训练的成绩为8米， 故答案为：8． 16. 已知的面积是24，周长为12，则的内切圆的半径为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内切圆．如图所示，点O是内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r，利用三角形面积法可得由此即可求解． 【详解】解：如图所示，点O是△ABC内切圆圆心，D、E、F分别是切点，设圆O的半径为r， ∴， ∴ ， ∵的面积是24，周长为12， ∴， ∴， ∴的内切圆的半径为4， 故答案为：4． 17. 如图，在中，弦与弦相交于点E，，，，则的半径长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角所对的弦是直径，勾股定理；连接，过点作于点，连接，先证明得出是的直径，在中，根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，连接， ∵，，则， ∴，， ∴， 又∵，， ∴． ∴，． ∴是的直径， ∴． ∴． ∴，则， 在中，． ∴． ∴的半径长为． 故答案为：． 18. 已知函数的图象如图所示，若直线与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质，根据直线与有一个交点，与有两个交点即可求解． 【详解】解：直线与该图象恰有三个不同的交点， 则直线与有一个交点， ∴， ∵与有两个交点， ∴， ， ∴， ∴； 故答案为． 三、解答题（本大题共7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项，再用提公因式法因式分解求解可得； （2）直接利用十字相乘法因式分解求解可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得：，． 20. 阅读下面的例题： 解方程 解： （1）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去） （2）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去）， ∴原方程的根是 请参照例题解方程 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．分类讨论：当时，去绝对值得到，再求解；当时，原方程化为，利用因式分解法求解． 【详解】解：当时，原方程化为，即， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，原方程化为， 解得：（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是． 21. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）把绕点逆时针旋转得到对应的，画出，并写出的坐标； （2）以原点为对称中心，再画出与关于原点对称的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求； . 【解析】 【分析】此题考查中心对称与旋转变换作图． （1）根据旋转的性质求解即可； （2）根据中心对称的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，将矩形绕点B逆时针旋转得到矩形，使点C恰好落到线段上的点E处，连接，连接交于点H． （1）求证：平分； （2）取的中点M，连接．求证：． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质知，， ． 四边形是矩形， ， ， 平分． （2） 证明：如图，过点C作于点N． 由旋转的性质及矩形的性质，得． 平分，， ， ． 在和中： ， ，即是的中点． 是的中点， 是的中位线， ． 【解析】 【分析】（1）利用矩形旋转的性质，得到边相等和角相等的关系，进而证明角平分线； （2）通过旋转性质得到边相等，结合中点条件，证明三角形中位线，从而得出平行关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查矩形旋转的性质、角平分线的判定与三角形中位线定理，掌握矩形旋转的边与角的不变性，角平分线的判定方法，以及三角形中位线定理的应用是解题的关键． 23. 某网店同时采取线上和线下两种方式销售一款北京冬奥会特许商品，进价为每件20元调查发现，这款商品线下销售单价为30元时，每周线下卖出件，如果该商品线下每涨价1元，则线下每周少卖出10件．现网店决定将该商品涨价销售，设线下销售单价为x元，线下周销售量为y件． （1）直接写出y（件）与x（元）之间的函数关系式； （2）若线上售价始终比线下每件便宜5元，并且线上的周销售量始终为180件． ①求当线下销售单价是多少元时，该网店每周线上、线下销售总利润为4700元？ ②求当线下销售单价是多少元时，该网店每周线上、线下销售总利润最大？最大总利润为多少元？ 【答案】（1） （2）①当线下销售单价是40元或48元时，该网店每周销售总利润为4700元；②当线下销售单价是44元时，该网店每周线上、线下销售总利润最大，最大利润为4860元 【解析】 【分析】（1）根据数量关系，列出方程即可求解． （2）①根据题意得，解方程即可求解；②设每周线上、线下的销售总利润为元，根据等量关系得，利用二次函数的图象及性质即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得： ． 【小问2详解】 ①根据题意得，， 解得，， 答：当线下销售单价是40元或48元时，该网店每周销售总利润为4700元． ②设每周线上、线下的销售总利润为元，根据题意得： ， ∵， ∴时， ， 答：当线下销售单价是44元时，该网店每周线上、线下销售总利润最大，最大利润为4860元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程及二次函数的应用，理清题意，根据数量关系列出关系式是解题的关键． 24. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为直径， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴是的切线， ∵是的切线； ∴， ∵， ∴， 解得． 25. 已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点. （1）求抛物线解析式； （2）如图①，若点是第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，求线段长的最大值 （3）如图②，若点是抛物线上另一动点，点是平面内一点，是否存在以点、、、为顶点，且以为边的矩形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）抛物线解析式为 （2）的长的最大值为 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据题意，设抛物线解析式为，再把代入，计算即可得出答案； （2）过点作轴交于点，交于点，根据题意，得出，进而得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据对顶角相等，得出，进而得出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，得出，再根据待定系数法求出直线的解析式，然后设点，则，再根据两点之间的距离公式，得出，再根据，得出，再根据二次函数的性质，即可得出答案； （3）根据题意，设，然后分两种情况：当、在直线的上方时和当、在直线的下方时，根据相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点、， ∴设抛物线解析式为， 又∵抛物线与轴交于点， ∴把代入， 可得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴交于点，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的长的最大值为； 【小问3详解】 解：存在以点、、、为顶点，且以为边的矩形，理由如下： 设， 如图1，当、在直线的上方时，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2，当、在直线的下方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点， 同理可得：， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形两锐角互余、等腰直角三角形的性质、求一次函数解析式、两点之间的距离公式、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德阳天立学校2025年秋期九年级年级数学学科 期中考试试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把抛物线经过平移得，平移方法是（ ） A. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 3. 下列说法正确的是（ ） A. 圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 长度相等的弧是等弧 D. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 4. 参加我市酒品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了28份合同，则公司共有（ ） A. 5家 B. 6家 C. 7家 D. 8家 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 6. 如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. 12 D. 无法确定 7. 如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，直线，，分别与相切于点，，，且，，．则的直径为（ ）． A. B. C. D. 11. 若关于x的一元二次方程（t为实数），在的范围内有解，则t的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 12. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法，其中正确的个数有（ ） ①②③（为全体实数）④若图象上存在点和点，当时，满足则的取值范围为． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上） 13. 已知直线上有一点，则点P关于原点对称的点M的坐标是_____． 14. 如图，是的直径，是弦，，则_______． 15. 在体育课上，小颖站在操场上的O点练习掷实心球，发现若不考虑空气阻力，实心球的飞行路线是一条抛物线．如上图，已知实心球出手时的高度为1.6米，当飞行到与点O的水平距离为3米时达到最大高度2.5米，则小颖这次实心球训练的成绩为_____米（即的长度）． 16. 已知的面积是24，周长为12，则的内切圆的半径为______． 17. 如图，在中，弦与弦相交于点E，，，，则的半径长为__________． 18. 已知函数的图象如图所示，若直线与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为______． 三、解答题（本大题共7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 解下列方程： （1） （2） 20. 阅读下面的例题： 解方程 解： （1）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去） （2）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去）， ∴原方程的根是 请参照例题解方程 21. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）把绕点逆时针旋转得到对应的，画出，并写出的坐标； （2）以原点为对称中心，再画出与关于原点对称的，并写出点的坐标． 22. 如图，将矩形绕点B逆时针旋转得到矩形，使点C恰好落到线段上的点E处，连接，连接交于点H． （1）求证：平分； （2）取的中点M，连接．求证：． 23. 某网店同时采取线上和线下两种方式销售一款北京冬奥会特许商品，进价为每件20元调查发现，这款商品线下销售单价为30元时，每周线下卖出件，如果该商品线下每涨价1元，则线下每周少卖出10件．现网店决定将该商品涨价销售，设线下销售单价为x元，线下周销售量为y件． （1）直接写出y（件）与x（元）之间的函数关系式； （2）若线上售价始终比线下每件便宜5元，并且线上的周销售量始终为180件． ①求当线下销售单价是多少元时，该网店每周线上、线下销售总利润为4700元？ ②求当线下销售单价是多少元时，该网店每周线上、线下销售总利润最大？最大总利润为多少元？ 24. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点. （1）求抛物线解析式； （2）如图①，若点是第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，求线段长的最大值 （3）如图②，若点是抛物线上另一动点，点是平面内一点，是否存在以点、、、为顶点，且以为边的矩形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $