因式分解：提公因式法与公式法综合应用、十字相乘法、探究性问题专项训练-2025-2026学年 人教版八年级数学上册

因式分解：提公因式法与公式法综合应用、十字相乘法、探究性问题专项训练 因式分解：提公因式法与公式法综合应用、十字相乘法、探究性问题专项训练 考点目录 提公因式法与公式法综合应用 十字相乘法 以因式分解为背景的探究性问题 考点一 提公因式法与公式法综合应用 例1．（25-26八年级上·上海·期中）因式分解： (1)． (2)． (3)． 例2．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）因式分解： (1)； (2)． 例3．（25-26八年级上·重庆永川·期中）因式分解 (1) (2) 例4．（25-26八年级上·四川资阳·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 例5．（25-26八年级上·吉林长春·期中）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式1．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 变式2．（25-26八年级上·北京·期中）因式分解： (1) (2) 变式3．（25-26八年级上·四川内江·期中）因式分解． (1)； (2)． 变式4．（25-26八年级上·四川内江·期中）因式分解： (1)； (2) 变式5．（25-26八年级上·北京·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)． 考点二 十字相乘法 例1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）多项式因式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 例3．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 例4．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 例5．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解： ． 变式1．（24-25七年级下·广西贺州·期末）因式分解，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列算式中，计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2025·安徽滁州·模拟预测）分解因式： ． 变式4．（2024·云南·三模）分解因式： ． 变式5．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）分解因式： ． 考点三 以因式分解为背景的探究性问题 例1．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式与，若为常数，则称是的“恒定多项式”，这个常数称为它们的“恒定值”，如是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为-5． (1)下列各组多项式，是的“恒定多项式”的是______（填序号）； ①； ②； ③． (2)关于的多项式是多项式（为常数）的“恒定多项式”，请计算出它们的“恒定值”； (3)关于的多项式是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为．若，求代数式的最小值． 例2．（25-26八年级上·北京·期中）若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”． (1)判断45是否为“智慧数”．是的话在横线上把45写成的形式，不是的话直接写“否”． (2)已知（是整数，是常数），要使为“智慧数”，直接写出一个符合条件的值． (3)如果数m，n都是“智慧数”，判断是否为“智慧数”，并说明理由． 例3．（25-26八年级上·北京·期中）在现在的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用．诸如“1234”或生日等简单密码非常容易被破解，因此利用数学产生一组容易记忆又不好破解的密码十分有必要．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，如多项式就可以分解成，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，比如某人的年龄为16，取，那么，，14和18就是因式码，将因式码进行排列就形成密码1418或密码1814，如果分解因式的结果有单项式，如，我们取和的值作为两个因式码． (1)根据上述方法，若多项式为，当时，请直接写出密码为_____． (2)若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字313032，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由． (3)已知多项式，当取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15，你能求出其他两个因式码吗？并说明理由． 例4．（25-26八年级上·广西来宾·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先添加一项，使它与的和成为一个完全平方公式，再减去，确保整个式子的值不变，于是有，像这样，先添加一个适当项，使式子出现完全平方公式，再减去这个项，令整个式子的值不变的方法称为配方法．请利用配方法解决下列问题． (1)因式分解：； (2)求二次三项式的最小值； (3)已知是实数，现有代数式和代数式，当，，求与的最值的和． 变式1．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：（1）用配方法因式分解：． 解：原式 （2）求的最小值． 解：原式 ． ， ， 即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)若是一个完全平方式，则值为_____． (2)因式分解：． (3)求的最小值． (4)用配方法因式分解： 变式2．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“巧数”，如：，，，因此4，12，20这三个数都是“巧数”． (1)400是“巧数”吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为和（其中取正整数），由这两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数吗？为什么？ 变式3．（25-26七年级上·上海松江·月考）若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为，再如：（x、y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请你判断29是否为“完美数”； (2)已知（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 变式4．（25-26九年级上·重庆·期中）数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合是初中数学非常重要的思想方法之一，数形结合可以使数与形之间相互转化．如图，现有A、B、C三种卡片若干． (1)观察图1，请用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式； (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值； (3)观察图2，分解因式： 2 学科网（北京）股份有限公司 $因式分解：提公因式法与公式法综合应用、十字相乘法、探究性问题专项训练 因式分解：提公因式法与公式法综合应用、十字相乘法、探究性问题专项训练 考点目录 提公因式法与公式法综合应用 十字相乘法 以因式分解为背景的探究性问题 考点一 提公因式法与公式法综合应用 例1．（25-26八年级上·上海·期中）因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 例2．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 例3．（25-26八年级上·重庆永川·期中）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例4．（25-26八年级上·四川资阳·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 例5．（25-26八年级上·吉林长春·期中）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 变式1．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）原式 ； （3）原式 ． （4）原式 ． 变式2．（25-26八年级上·北京·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3．（25-26八年级上·四川内江·期中）因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 变式4．（25-26八年级上·四川内江·期中）因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式5．（25-26八年级上·北京·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 考点二 十字相乘法 例1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）多项式因式分解的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：分解条件：设分解形式为， 需满足：，， 寻找整数解：可能的因数组合为：和（和为，积为）， 验证选项：选项B：，展开得，与原式一致， 其他选项均不符合条件， 故选：B． 例2．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：根据“十字相乘法”得， ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ∴的值一共有6个， 故选：C． 例3．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 例4．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解： 原式 故答案为：. 例5．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解： ． 【答案】 【详解】解： 故答案为 ：． 变式1．（24-25七年级下·广西贺州·期末）因式分解，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将二次三项式 分解为 的形式，需满足： 且． ∴，且 ，符合条件． 因此，原式可分解为 ，对应选项B． 故选：B． 变式2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）下列算式中，计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 故选：C． 变式3．（2025·安徽滁州·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 变式4．（2024·云南·三模）分解因式： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为： 变式5．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 考点三 以因式分解为背景的探究性问题 例1．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式与，若为常数，则称是的“恒定多项式”，这个常数称为它们的“恒定值”，如是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为-5． (1)下列各组多项式，是的“恒定多项式”的是______（填序号）； ①； ②； ③． (2)关于的多项式是多项式（为常数）的“恒定多项式”，请计算出它们的“恒定值”； (3)关于的多项式是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为．若，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③； (2)； (3)最小值为7． 【详解】（1）解：① ②，不是常数； ③为常数； ∴是的“恒定多项式”的是①③； 故答案为：①③ （2）解， ， 是的“恒定多项式”， ， ， 它们的“恒定值”为． （3）解：， ， 是的“恒定多项式”， ， ， 又它们的“恒定值”为， ， ， ， ， ，当且仅当时等号成立． 代数式的最小值为7． 例2．（25-26八年级上·北京·期中）若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”． (1)判断45是否为“智慧数”．是的话在横线上把45写成的形式，不是的话直接写“否”． (2)已知（是整数，是常数），要使为“智慧数”，直接写出一个符合条件的值． (3)如果数m，n都是“智慧数”，判断是否为“智慧数”，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得：， ∴45是“智慧数”； （2）解：∵， ∴， ， 则当为完全平方数时，为“智慧数”，如当时，解得：． （3）解：设，， 则有 ． 故是一个“智慧数”． 例3．（25-26八年级上·北京·期中）在现在的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用．诸如“1234”或生日等简单密码非常容易被破解，因此利用数学产生一组容易记忆又不好破解的密码十分有必要．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，如多项式就可以分解成，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，比如某人的年龄为16，取，那么，，14和18就是因式码，将因式码进行排列就形成密码1418或密码1814，如果分解因式的结果有单项式，如，我们取和的值作为两个因式码． (1)根据上述方法，若多项式为，当时，请直接写出密码为_____． (2)若王老师想用年龄生成锁屏密码，选取的多项式为，已知王老师手机的锁屏密码是6位数字313032，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由． (3)已知多项式，当取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15，你能求出其他两个因式码吗？并说明理由． 【答案】(1)1911或1119 (2)岁，理由见解析 (3)17和64，理由见解析 【详解】（1）解：∵因式分解的结果为或， ∴当时，，， ∴锁屏密码为1119或1911． （2）解：， ∵王老师手机的锁屏密码是6位数字313032，且结合 ∴， ∴． 答：王老师的年龄是31岁． （3）解： ， ∵取正整数， ∴， 即， ∴为最小的因式， 即， 解得， ∴ 答：其他两个因式码为17和64． 例4．（25-26八年级上·广西来宾·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先添加一项，使它与的和成为一个完全平方公式，再减去，确保整个式子的值不变，于是有，像这样，先添加一个适当项，使式子出现完全平方公式，再减去这个项，令整个式子的值不变的方法称为配方法．请利用配方法解决下列问题． (1)因式分解：； (2)求二次三项式的最小值； (3)已知是实数，现有代数式和代数式，当，，求与的最值的和． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)与的最值的和为 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ， ， 因此的最小值为； （3）解：当，时， 则， ， 最小值为， 最大值为， ； 因此，与的最值的和为． 变式1．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：（1）用配方法因式分解：． 解：原式 （2）求的最小值． 解：原式 ． ， ， 即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)若是一个完全平方式，则值为_____． (2)因式分解：． (3)求的最小值． (4)用配方法因式分解： 【答案】(1) (2) (3)2 (4) 【详解】（1）因为是完全平方式， 所以，即， 解得． 故答案为：； （2）原式 （3）原式 ， 的最小值是2； （4） ； 变式2．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“巧数”，如：，，，因此4，12，20这三个数都是“巧数”． (1)400是“巧数”吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为和（其中取正整数），由这两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数吗？为什么？ 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)是，理由见解析 【详解】（1）解：400不是“巧数”，原因如下： 因为，故400不是“巧数”； （2）解： 为正整数 一定为正整数 一定能被4整除 由这两个连续偶数构造的巧数是4的倍数． 变式3．（25-26七年级上·上海松江·月考）若一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：5是“完美数”，因为，再如：（x、y是整数），所以M也是“完美数”． (1)请你判断29是否为“完美数”； (2)已知（x、y是整数，k是常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k的值，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)时，为“完美数”，理由见解析 【详解】（1）解：， 是完美数， （2）解：时，为“完美数”，理由如下： ， ∵是整数， ∴，也是整数， ∴当，即，是完美数． 变式4．（25-26九年级上·重庆·期中）数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合是初中数学非常重要的思想方法之一，数形结合可以使数与形之间相互转化．如图，现有A、B、C三种卡片若干． (1)观察图1，请用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式； (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值； (3)观察图2，分解因式： 【答案】(1) (2)21 (3) 【详解】（1）解∶最右边图的面积等于边长为的大正方形的面积，即为，也等于边长为a的小正方形面积加上两个长为，宽为b的长方形面积，再加上边长为的小正方形的面积，即， ∴； （2）解： ， ∴一共需要A卡片6张，B卡片11张，C卡片4张， ∴，，， ∴； （3）解：观察图形可知，图2中一共用了3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片，组成的是一个长为，宽为的长方形， ∵3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片的面积之和等于长为，宽为的长方形面积 ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $