精品解析：广东省广州市第十三中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

广州市第十三中学2025学年第一学期期中测试高二数学试题 (考试时间：120分钟 试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点和点的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由两点间斜率公式求出直线斜率，再结合斜率定义即可求倾斜角. 【详解】由题过点和点的直线的斜率为， 设过点和点的直线的倾斜角为，则，且， 所以. 故选：C. 2. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量在向量上投影向量的计算公式求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：A 3. 已知直线和，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由直线平行求参数m，根据充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】由，则或， 当，，满足平行； 当，，满足平行； 所以或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】因为，点N为BC中点，所以， 故 . 故选：B. 5. 已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于（ ） A. B. 9 C. 或9 D. 7或 【答案】D 【解析】 【分析】根据两圆半径大小关系结合圆与圆位置关系判断，即可列方程求解实数a的值. 【详解】圆整理得： 圆心，半径， 圆的圆心，半径 由于两圆半径相同，故若圆与圆有且仅有一个公共点，则两圆外切 所以，整理得，解得或. 故选：D. 6. 如图所示，在直三棱柱中，为棱的中点，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等体积法即可求出点到平面的距离. 【详解】如图，连接， 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以，又因为，平面， 所以平面，所以点到平面的距离为， 因为，所以，， 因为为棱的中点，且平面，则易知， 则，则， 设点到平面的距离为， 则，即， 即，解得． 故选：C. 7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】确定关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【详解】若是关于的对称点，则， 设饮马点为，如下图示， 由图知：，当且仅当共线时等号成立， 所以. 故选：C 8. 在直三棱柱中，，，若点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求线面角的正弦值. 【详解】分别取，中点，，则，即平面，连接，因为，所以，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知，，，，，则，，因为，，，易知平面的一个法向量是， 设直线与平面所成角为，， 则， 所以时，，即的最大值是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距是 C. 过点且在轴截距相等的直线方程为 D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用变换主元法确定直线过定点可判定A项；利用截距的定义可判定B项；分类讨论截距是否为零结合截距式可判定C项；利用直线平行的充要条件及距离公式可判定D项. 【详解】对于A，由，显然时，恒成立， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B，根据直线的斜截式定义可确定直线在y轴上的截距是，故B正确； 对于C，若截距均为0，则该直线为； 若截距不为0，可设该直线方程为，代入点可得， 即，故C错误； 对于D，由两直线平行可知， 此时方程可化为，故两直线距离为， 故D正确. 故选：ABD 10. 已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的为（ ） A. 两圆有两条公切线 B. 直线的方程为 C. 线段的长为 D. 圆上点，圆上点，的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，判断两圆的位置关系，得出公切线条数；对于B，两圆作差得公共线直线方程；对于C，求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求解；对于D，的最大值为加上两圆半径. 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为2；圆的圆心，半径为1，因为，所以两圆相交，两圆有两条公切线，故A正确； 对于B，因为圆，圆，两圆作差得即，所以直线的方程为，故B错误； 对于C，圆的圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离，所以，故C正确； 对于D，圆的圆心，半径为1，所以，故D正确． 故选：ACD． 11. 如图，在正方体中，，点P在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点P在线段上 C. 平面 D. 直线AP与侧面所成角的正弦值的范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，由面面平行说明； 对B，以D为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，由向量法说明，C，P三点共线； 对C，由向量法证，再由线线垂直证平面； 对D，由向量法求线面角，进而讨论范围. 【详解】对于A，点P在平面内，平面平面，所以点P到平面的距离即为点C到平面的距离，即正方体的棱长， 所以，A错误； 对于B，以D为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系， 则，，，，，，且，， 所以，，． 因为，所以，所以，即，所以， 所以，即，C，P三点共线，故点P在线段上，B正确； 对于C，，，，，， 由， 因为，，平面，所以平面，C正确； 对于D，，，平面的一个法向量为． 设与平面的夹角为，为锐角， 其正弦值为． 由，得，D错误． 故选：BC． 第二部分(非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点（-1,3）且平行于直线的直线方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知直线的斜率及所过的点，由点斜式则所求直线为，整理即可得其一般式. 【详解】由直线的斜率为，结合题意，知：所求直线为， ∴整理可得：. 故答案为：. 13. 点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得，且，结合，即可求解. 【详解】由题意，点和，可得，且， 所以点到直线的距离是. 故答案为：. 14. 在正四棱台中，，，，，，若平面，则_________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】画出图形，由题意平面，可以推理得出，再根据题目条件分别把这两个向量表示为，，由向量共线的条件即可求解. 【详解】如图所示： 连接，设，平面平面， 因为平面，且平面， 所以； 因为四棱台底面为正方形，且，， 所以，， 从而， 又因为，， 所以， ， 因为， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15. 如图，在斜四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，记． （1）证明：； （2）求侧棱的长． 【答案】（1） 由图，， 所以 又且底面是边长为1的正方形，则， 所以，即. （2）. 【解析】 【分析】（1）由，，应用向量数量积的运算律及已知可得，即可证结论； （2）由，应用数量积运算律得方程求侧棱的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知： ， 则. 16. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切． （1）求圆的方程； （2）若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据题意设圆心，结合所过点、与直线相切列方程求参数，即可得圆心和半径，进而写出圆的方程； （2）由题意直线l与圆C的距离，讨论直线斜率，并设直线方程，应用点线距离求参数，求直线方程 【小问1详解】 由题意，设圆心，圆经过点，与直线相切， 所以，化简得，解得， 则圆心，半径， 所以圆的方程为． 【小问2详解】 由题意，直线l与圆C的距离， 若斜率不存在，即，显然满足要求； 若斜率存在，设直线l方程为，则，解得，则； 直线l的方程为或． 17. 已知定点，点为圆上的动点，为的中点． （1）求的轨迹方程； （2）若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，表达出点的坐标，将其代入中，整理可得的轨迹方程； （2）考虑直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，由点到直线距离和弦长公式进行求解，得到答案. 【小问1详解】 设点的坐标为，则点的坐标为， 点为圆上的动点， ，化简得， 故的轨迹方程为． 【小问2详解】 圆的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 化简得， 因为，所以圆心到直线的距离， 由圆心到直线的距离公式得， 所以，即，平方得， 整理得，解得，故直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 18. 如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为. （1）当时，求证：平面； （2）当时， （i）求点到底面的距离； （ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值. 【答案】（1）证明：因为翻折前，所以翻折后，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角， 当时，，即， 又，且，平面， 平面， 平面，， 又在三角形中，易知，，， 满足：，由勾股定理可知，， ，且，平面， 平面. （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）翻折后由，，确定，得到平面，再结合勾股定理得到，即可求证； （2）（i）过点作，垂足为，确定平面，即可求解； （ii）建系，求得平面的法向量，通过向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时， （i）由（1）知，，，平面， 平面，又平面， 平面平面， 在平面内，过点作，垂足为， 又平面平面，故平面， 即为点到平面的距离， 在中，，，故. （ii）由（i）知，如图建立空间直角坐标系， 故，，，，设， 设，即，即， 设平面法向量为， ，， ，即， 令，得，，即， 设平面的法向量， ，， ，即， 令，得，，即， 的余弦值为， ， 解得，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第十三中学2025学年第一学期期中测试高二数学试题 (考试时间：120分钟 试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点和点的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线和，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于（ ） A. B. 9 C. 或9 D. 7或 6. 如图所示，在直三棱柱中，为棱的中点，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 在直三棱柱中，，，若点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在y轴上的截距是 C. 过点且在轴截距相等的直线方程为 D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1 10. 已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的为（ ） A. 两圆有两条公切线 B. 直线的方程为 C. 线段的长为 D. 圆上点，圆上点，的最大值为 11. 如图，在正方体中，，点P在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点P在线段上 C. 平面 D. 直线AP与侧面所成角的正弦值的范围为 第二部分(非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点（-1,3）且平行于直线的直线方程为_____________． 13. 点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是______． 14. 在正四棱台中，，，，，，若平面，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15. 如图，在斜四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，记． （1）证明：； （2）求侧棱的长． 16. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切． （1）求圆的方程； （2）若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 17. 已知定点，点为圆上的动点，为的中点． （1）求的轨迹方程； （2）若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 18. 如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为. （1）当时，求证：平面； （2）当时， （i）求点到底面的距离； （ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $