解题策略01直线和圆的位置关系8个题型讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义以“直线和圆的位置关系”为核心，通过8大题型系统构建知识体系，每个题型配套“四步解题法”表格梳理思路，结合核心公式总结（如距离公式、弦长公式）呈现从位置关系判断到参数求解、切线方程的递进脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于“四步解题法”引导数学思维，如典例通过几何意义转化（圆心到直线距离与半径关系）培养推理能力，变式练习分层设计（基础判断到综合最值）兼顾不同学生。题后反思强调规范书写，助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

解题策略01：直线和圆的位置关系 题型01 判断直线和圆的位置关系 题型07 切点弦方程 题型02 由直线和圆的位置关系求参数 题型08 直线和圆的位置关系距离最值 题型03 求弦长 题型04 求弦长最值 题型05 由弦长求参数 题型06 求圆的切线方程 本节导航 题型01判断直线和圆的位置关系 （山东省德州市（优高联考）2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知直线l：，圆C：，点，则下列说法正确的是（   ）典例1 A．若直线l与圆C相离，则点A在圆C内 B．若直线l经过点A，则点A在圆C上 C．若点A在圆C内，则直线l与圆C相交 D．若点A在圆C上，则过点A的圆的切线方程为 四步 内容 理解 题意 本题给出直线、圆和点，需要判断四个选项关于点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆的切线方程的表述是否正确. 思路 探求 对于直线与圆的位置关系，核心是利用圆心到直线的距离公式（此处圆的圆心为），结合距离与半径的大小关系判断（相离，相交，相切）. 对于点与圆的位置关系，利用点到圆心的距离公式，结合与半径的大小关系判断（圆内，圆上，圆外）. 对于圆的切线方程，若点在圆上，其切线方程为，据此推导选项D. 书写 表达 选项A： 直线与圆相离圆心到直线的距离点到圆心的距离小于半径点在圆内.A正确. 选项B： 直线经过点点到圆心的距离等于半径点在圆上.B正确. 选项C： 点在圆内圆心到直线的距离直线与圆相离（而非相交）.C错误. 选项D： 点在圆上，结合圆的切线方程公式（若点在圆上，切线方程为），此处，，故切线方程为.D正确. 题后 反思 本题的核心是“点与圆的位置关系”和“直线与圆的位置关系”的联动，解题时需熟练掌握“距离公式”的双向应用（既用于判断直线与圆的位置，也用于判断点与圆的位置）. 圆的切线方程需注意“点在圆上”的前提条件，若点在圆外，切线方程的推导方式会不同（需联立方程或用几何性质求解）. 这类多选项判断题，要逐一分析，避免因一个选项的错误推导影响整体判断. 点与圆的位置关系判定：通过点到圆心的距离与半径的大小比较. 直线与圆的位置关系判定：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较。 圆的切线方程：若点在圆上，切线方程为。 核心公式：点到直线的距离公式；点到圆心的距离公式. 【多选题】（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知直线，圆，圆，.则下列说法正确的有（   ）变式1 A．若圆心在直线上，则直线与圆相切 B．若圆心在圆内，则直线与圆相离 C．若直线与圆相切，则圆与圆相切 D．若直线与圆相交，则圆心在圆外 （2025高三上·广东·专题练习）直线与圆（    ）变式2 A．相离 B．相切 C．相交 D．位置关系不确定 （25-26高二上·江西赣州·期中）直线与圆的位置关系是（    ）变式3 A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 题型02由直线和圆的位置关系求参数 （浙江省台州市山海协作体2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题）已知圆，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则（    ）典例1 A．3 B． C．3或 D．或5 四步 内容 理解 题意 本题给出圆和直线，要求当圆上恰有三个点到直线的距离为时，求参数的值。需结合圆的标准方程、点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的几何意义求解 思路 探求 第一步：将圆的一般方程通过配方化为标准式，确定圆心和半径. 第二步：分析“圆上恰有三个点到直线距离为”的几何意义：圆心到直线的距离满足（即直线与圆相交，且距离圆心较近的一侧有1个点，较远的一侧有2个点）. 第三步：利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，结合上述关系列方程求解. 书写 表达 步骤1：化圆的方程为标准式 对配方： 得圆心，半径. 步骤2：分析几何意义，列距离方程 圆上恰有三个点到直线（即）的距离为，说明圆心到直线的距离满足： 代入，得。 步骤3：用点到直线的距离公式求解 圆心到直线的距离： 结合，得： 解得或，即或. 题后 反思 本题的核心是“几何意义的转化”：将“圆上恰有三个点到直线的距离为定值”转化为“圆心到直线的距离与半径的数量关系”，这是解决直线与圆位置关系问题的关键思维. .需熟练掌握点到直线的距离公式和圆的一般式化为标准式的配方方法，确保计算过程中符号和系数不出错. 求解绝对值方程时，要考虑两种情况，避免漏解. 圆的方程：一般式化为标准式的配方方法. 点到直线的距离公式：点到直线的距离. 直线与圆的位置关系：通过圆心到直线的距离与半径的大小关系分析（本题是特殊情况“恰有三个点满足距离”，需转化为定值）. （25-26高二上·重庆黔江·期中）若直线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是（    ）变式1 A． B． C． D． （25-26高二上·天津·期中）若圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则实数的取值范围是（   ）变式2 A． B． C． D． （25-26高二上·海南·期中）若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ）变式3 A． B． C． D． 题型03求弦长 （25-26高二上·甘肃庆阳·期中）过原点且倾斜角为的直线被圆：所截得的弦长为（   ）典例1 A． B．2 C． D．4 四步 内容 理解 题意 本题给出过原点且倾斜角为的直线，以及圆，要求直线被圆截得的弦长。需结合直线方程的求法、圆的标准式转化、点到直线的距离公式及弦长公式求解. 思路 探求 步骤1：根据直线的“过原点”和“倾斜角”，用点斜式求直线的方程. 步骤2：将圆的一般方程通过配方化为标准式，确定圆心和半径. 步骤3：利用点到直线的距离公式，求圆心到直线的距离. 步骤4：结合弦长公式（由勾股定理推导），计算弦长. 书写 表达 步骤1：求直线的方程 直线过原点，倾斜角，则斜率，由点斜式得直线方程： 步骤2：化圆的方程为标准式 对配方： 得圆心，半径. 步骤3：求圆心到直线的距离 由点到直线的距离公式，圆心到直线的距离： 步骤4：用弦长公式计算弦长 弦长公式为，代入，： 题后 反思 本题核心是“弦长问题的几何本质”：弦长由“圆心到直线的距离”和“圆的半径”通过勾股定理联动求解，这是解决直线与圆相交弦长问题的通用思路. 需熟练掌握圆的一般式化为标准式的配方技巧，以及点到直线的距离公式的准确应用，避免计算中符号或系数出错. 直线方程的形式转化（点斜式转一般式）是后续用距离公式的前提，需注意步骤的严谨性. 直线方程：点斜式（已知过点和倾斜角时的方程求法）. 圆的方程：一般式化为标准式的配方方法. 点到直线的距离公式：点到直线的距离. 弦长公式：直线与圆相交时，弦长（为圆的半径，为圆心到直线的距离）. （25-26高二上·浙江台州·期中）在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线.变式1 (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于A，B两点，求； （25-26高二上·陕西商洛·期中）已知直线与圆相交于、两点，则 .变式2 （25-26高二上·新疆喀什·期中）已知圆方程：，则直线被圆截得的弦长为 ．变式3 题型04求弦长最值 （25-26高二上·江苏连云港·月考）已知直线l：，圆C：，直线l与圆C交于M，N两点，则弦长的最小值为（    ）典例1 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 本题给出含参数的直线和圆，直线与圆交于两点，要求弦长的最小值。需结合直线过定点、圆的基本性质及弦长公式求解. 思路 探求 步骤1：确定直线的定点。通过整理直线方程，分离参数，令参数的系数为0，求解定点坐标. 步骤2：分析圆的圆心和半径。由圆的标准方程直接得到圆心和半径. 步骤3：分析弦长最小值的条件。弦长公式为（为圆心到直线的距离），要使弦长最小，需使最大。由于直线过定点，的最大值为圆心到该定点的距离（此时直线与圆心和定点的连线垂直）. 步骤4：计算距离并代入弦长公式。先求圆心到定点的距离，再代入弦长公式计算最小值. 书写 表达 步骤1：求直线的定点 将直线方程整理为：. 令，解得，即直线过定点. 步骤2：分析圆的基本信息 圆的圆心为，半径. 步骤3：求圆心到定点的距离 圆心到定点的距离： 步骤4：求弦长的最小值 由弦长公式，当最大（即）时，弦长最小： 题后 反思 本题的核心是“直线过定点”与“弦长最小值”的联动：通过分析直线的定点，将“弦长最小”转化为“圆心到直线的距离最大（即圆心到定点的距离）”，体现了几何问题中“动与静”的转化思想. 处理含参数的直线方程时，分离参数法是寻找定点的关键技巧，需熟练掌握. 弦长公式的本质是勾股定理的应用，要明确“半径”“圆心到直线的距离”“弦长的一半”构成直角三角形的三边关系. 直线过定点的求法：通过分离参数，令参数的系数为0，解方程组得到定点坐标. 圆的标准方程：，其中为圆心，为半径. 两点间距离公式：点与点的距离. 弦长公式：直线与圆相交时，弦长（为圆心到直线的距离）. （25-26高二上·福建福州·期中）直线被圆所截得的最短弦长等于（    ）变式1 A． B． C． D．4 （25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）已知动直线，圆，则直线与圆C相交的最短弦长为 ．变式2 （25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）变式3 A．1 B．2 C．3 D．4 题型05由弦长求参数 （25-26高二上·江苏苏州·期中）已知圆为过圆内一点且倾斜角为的弦.典例1 (1)当时，求的长. (2)若弦的长为4，求直线的方程. 四步 内容 理解 题意 本题围绕圆（圆心，半径）和圆内点展开，分两问： (1)直线过且倾斜角，求弦长； (2)弦长，求直线的方程. 思路 探求 (1)求的长：先求直线的点斜式方程，再用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，最后通过弦长公式计算. (2)求直线的方程：先由弦长公式逆推圆心到直线的距离，再分“斜率存在”和“斜率不存在”两种情况，结合点到直线的距离公式求解直线方程. 书写 表达 (1)当时，求的长 直线的斜率，过点，方程为： 圆心到直线的距离： 弦长： (2)若弦的长为4，求直线的方程 由弦长公式得圆心到直线的距离. 斜率存在时：设直线方程为，即. 由距离公式： 直线方程为. 斜率不存在时：直线方程为，此时圆心到直线的距离为，弦长为，符合条件. 综上，直线的方程为或. 题后 反思 第(1)问需熟练掌握“直线方程→距离→弦长公式”的流程，注意距离公式的分母计算. 第(2)问易忽略“斜率不存在”的情况，解题时需全面考虑直线的两种形式，避免丢解. 弦长问题的本质是勾股定理的应用，半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成直角三角形，这是核心逻辑. 直线方程：点斜式、垂直x轴的直线（）。 点到直线的距离公式：. 弦长公式：. 分类讨论思想：涉及直线斜率时，需考虑“斜率存在”和“斜率不存在”两种情况. （广西示范性高中2025-2026学年高二上学期期中联合调研测试数学试题）已知圆心在轴的正半轴上，半径为2的圆与直线：相切.变式1 (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆相交于点、，，求直线的方程. （江西省赣州市十三校2025~2026学年高二上学期期中联考数学试题）已知在平面直角坐标系中，圆经过点和，且圆心在直线上，直线.变式2 (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得的弦长为，求实数的值. （25-26高二上·浙江绍兴·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上.变式3 (1)求圆的标准方程； (2)求圆过点的切线方程； (3)直线与圆相交于、两点，且，求实数的值. 题型06求圆的切线方程 （山东省德州市（优高联考）2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知圆C：，直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 .典例1 四步 内容 理解 题意 本题给出圆（圆心，半径）和点，要求过点且与圆相切的直线的方程。需分直线斜率存在和斜率不存在两种情况讨论. 思路 探求 当直线斜率不存在时，设直线为，验证圆心到直线的距离是否等于半径； 当直线斜率存在时，设直线方程为点斜式，利用“圆心到直线的距离等于半径”的性质，结合点到直线的距离公式列方程求解斜率. 书写 表达 情况1：斜率不存在 直线方程为，圆心到直线的距离为，等于半径，故是圆的切线. 情况2：斜率存在 设直线方程为，整理为。 由圆心到直线的距离等于半径，得： 平方后化简得，解得. 代入直线方程得，整理为 综上，直线的方程为或 题后 反思 求解圆的切线方程时，易遗漏斜率不存在的情况，需全面考虑直线的两种形式； 核心逻辑是“圆心到直线的距离等于半径”，此性质是解决切线问题的关键，需熟练应用点到直线的距离公式. 圆的标准方程：（明确圆心和半径）； 点到直线的距离公式：； 切线方程的求解：过圆上（或圆外）一点的切线，需分斜率存在和斜率不存在分类讨论，通过“距离等于半径”建立方程求解. （25-26高二上·辽宁沈阳·期中）已知圆.变式1 (1)已知点在圆的外部，求的取值范围； (2)若，过作圆的切线，求切线的方程. （25-26高二上·河南南阳·月考）已知圆C过点和点，且圆心在直线上．变式2 (1)求圆C的方程； (2)若直线l过点，当直线与圆C相切时，求直线的方程． （25-26高二上·江苏盐城·月考）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．变式3 (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程． 题型07切点弦方程 （2025高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为.求证：直线过定点.典例1 四步 内容 理解 题意 已知：点在直线上，过作圆的切线，切点为. 求证：直线过定点. 核心：结合圆的切点弦方程和直线过定点的判定方法，将几何条件转化为代数方程求解. 思路 探求 步骤1：设点，利用圆的切点弦方程，写出直线的方程为（圆外点的切点弦方程为）. 步骤2：因在直线上，故，将（或）用另一变量表示，代入切点弦方程. 步骤3：将方程整理为关于参数（如）的线性式，令且，解方程组得定点. 书写 表达 设，因在直线上，故. 圆的切点弦的方程为（切点弦方程）. 由，得，代入，得： 整理为： 令，解得。 故直线过定点. 题后 反思 易错点：记错切点弦方程（混淆切线方程与切点弦方程）；整理方程时计算失误；对“直线过定点”的逻辑理解不清晰（未意识到需令参数系数和常数项同时为0）. 拓展：本题可推广到椭圆、双曲线等二次曲线的“极线过定点”问题，核心方法仍是“参数分离法”结合曲线的极线方程. 收获：加深了对“解析几何中代数方法解决几何定点问题”的理解，熟练了切点弦方程和直线过定点的判定技巧. 圆的切点弦方程（极线方程）：若点在圆外，切点弦的方程为. 直线过定点的判定：将直线方程整理为（为参数），令且，解出的即为定点. 点在直线上的条件：点在直线上，则. （2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 .变式1 （22-23高三下·云南昆明·阶段练习）已知点P是直线上的动点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 .变式2 （22-23高二下·贵州·阶段练习）已知圆，点A是直线上的一个动点，过点A作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为 ；直线过定点 .变式3 题型08直线和圆的位置关系求距离最值 （25-26高二上·广西河池·月考）已知实数满足，则下列选项正确的是（    ）典例1 A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 四步 内容 理解 题意 已知实数满足方程，需判断四个选项的正确性.首先将方程化为圆的标准形式，明确其圆心为，半径.四个选项分别涉及点到原点距离的平方的最值、两点连线斜率的最值、点到直线距离的线性变形的最值、线性表达式的最值，需结合圆的几何性质逐一分析. 思路 探求 选项A：将转化为“点到原点距离的平方”，利用“圆心到原点的距离+半径”求圆上点到原点的最大距离，再计算其平方. 选项B：将转化为“点与定点连线的斜率”，设切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径，求解斜率的最值. 选项C：将变形为“点到直线的距离”，利用“圆心到直线的距离-半径”求最小距离，再乘以. 选项D：将设为线性变量，转化为“直线与圆相切时的截距最值”，利用圆心到直线的距离等于半径求解. 书写 表达 步骤1：整理圆的方程 将配方得，圆心，半径. 选项A分析 表示点到原点的距离的平方. 原点到圆心的距离，圆上点到原点的最大距离为，因此的最大值为，A错误. 选项B分析 表示点与连线的斜率. 设过的切线方程为，即. 由圆心到切线的距离等于半径，得，即. 平方后整理得，解得，故斜率最大值为，B正确. 选项C分析 ，其中是点到直线的距离. 圆心到直线的距离，圆上点到直线的最小距离为，因此的最小值为，C错误. 选项D分析 设，即。当直线与圆相切时，取最值. 由圆心到直线的距离等于半径，得，即，解得，故的最小值为，D正确. 题后 反思 易错点：对代数表达式的几何意义理解不清（如、斜率、点到直线距离的变形）；计算切线斜率或线性最值时，忽略距离公式的系数或符号；处理线性表达式变形时（如选项C）遗漏系数. 方法提炼：解决圆的最值问题，核心是将代数表达式转化为几何意义（距离、斜率、点到直线的距离等），再结合圆的“圆心到定点/定直线的距离±半径”求解，关键是熟练运用点到直线的距离公式和圆的切线性质. 圆的标准方程与几何性质：通过配方将一般式化为标准式，明确圆心、半径，利用“圆心到定点/定直线的距离±半径”分析最值. 代数表达式的几何意义： ：点到原点距离的平方； ：点与连线的斜率； ：可结合点到直线的距离公式，变形为“距离×”的形式. 切线问题的处理：设切线方程，利用“圆心到直线的距离=半径”列方程，求解斜率、截距的最值. 线性表达式的最值：设线性表达式为，转化为直线与圆的相切问题，通过距离公式求解的最值. 【多选题】（24-25高二上·福建莆田·期中）已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（ ）变式1 A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最大值为 【多选题】（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（    ）变式2 A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【多选题】（23-24高二上·四川成都·期中）点是圆上的动点，则下面正确的有（    ）变式3 A．圆的半径为3 B．既没有最大值，也没有最小值 C．的范围是 D．的最大值为72 一、单选题 1．（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 2．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·内蒙古·期末）圆上的点到直线的距离的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知直线与圆和圆都相切，则k的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高三下·甘肃白银·开学考试）已知圆，直线，则（    ） A．直线过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 D．直线与圆相交于、两点，不可能为 6．（23-24高二上·江苏南京·月考）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 三、填空题 7．（24-25高二下·上海杨浦·期末）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 8．（24-25高二上·广东潮州·期末）直线被圆截得的弦的长为，则实数的值为 . 9．（21-22高三上·江苏南通·开学考试）已知点Q是直线：上的动点，过点Q作圆：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点 . 10．（20-21高二上·河北张家口·期末）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A和B．若圆心O到直线的距离的最大值为，则实数m= ． 四、解答题 11．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 12．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆． (1)求的取值范围； (2)若，过作圆的切线，求切线的方程． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题策略01：直线和圆的位置关系 题型01 判断直线和圆的位置关系 题型07 切点弦方程 题型02 由直线和圆的位置关系求参数 题型08 直线和圆的位置关系距离最值 题型03 求弦长 题型04 求弦长最值 题型05 由弦长求参数 题型06 求圆的切线方程 本节导航 题型01判断直线和圆的位置关系 （山东省德州市（优高联考）2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知直线l：，圆C：，点，则下列说法正确的是（   ）典例1 A．若直线l与圆C相离，则点A在圆C内 B．若直线l经过点A，则点A在圆C上 C．若点A在圆C内，则直线l与圆C相交 D．若点A在圆C上，则过点A的圆的切线方程为 四步 内容 理解 题意 本题给出直线、圆和点，需要判断四个选项关于点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆的切线方程的表述是否正确. 思路 探求 对于直线与圆的位置关系，核心是利用圆心到直线的距离公式（此处圆的圆心为），结合距离与半径的大小关系判断（相离，相交，相切）. 对于点与圆的位置关系，利用点到圆心的距离公式，结合与半径的大小关系判断（圆内，圆上，圆外）. 对于圆的切线方程，若点在圆上，其切线方程为，据此推导选项D. 书写 表达 选项A： 直线与圆相离圆心到直线的距离点到圆心的距离小于半径点在圆内.A正确. 选项B： 直线经过点点到圆心的距离等于半径点在圆上.B正确. 选项C： 点在圆内圆心到直线的距离直线与圆相离（而非相交）.C错误. 选项D： 点在圆上，结合圆的切线方程公式（若点在圆上，切线方程为），此处，，故切线方程为.D正确. 题后 反思 本题的核心是“点与圆的位置关系”和“直线与圆的位置关系”的联动，解题时需熟练掌握“距离公式”的双向应用（既用于判断直线与圆的位置，也用于判断点与圆的位置）. 圆的切线方程需注意“点在圆上”的前提条件，若点在圆外，切线方程的推导方式会不同（需联立方程或用几何性质求解）. 这类多选项判断题，要逐一分析，避免因一个选项的错误推导影响整体判断. 点与圆的位置关系判定：通过点到圆心的距离与半径的大小比较. 直线与圆的位置关系判定：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较。 圆的切线方程：若点在圆上，切线方程为。 核心公式：点到直线的距离公式；点到圆心的距离公式. 【多选题】（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知直线，圆，圆，.则下列说法正确的有（   ）变式1 A．若圆心在直线上，则直线与圆相切 B．若圆心在圆内，则直线与圆相离 C．若直线与圆相切，则圆与圆相切 D．若直线与圆相交，则圆心在圆外 【答案】ABD 【分析】根据两圆标准方程可得两圆圆心以及两圆的半径，根据点与圆、直线与圆的位置关系由点到直线的距离公式计算对选项逐一进行判断，即可得出结论. 【详解】对于A，易知圆心，半径，圆心，半径为； 若圆心在直线上，可得； 此时圆心到直线的距离为，与半径相等，即直线与圆相切，即A正确； 对于B，若圆心在圆内可得， 此时圆心到直线的距离为，即直线与圆相离，即B正确； 对于C，若直线与圆相切可得，即， 此时圆与圆的两圆心距为，满足，此时两圆相交，即C错误； 对于D，若直线与圆相交，可得，可得； 则可得圆心在圆外，即D正确. 故选：ABD （2025高三上·广东·专题练习）直线与圆（    ）变式2 A．相离 B．相切 C．相交 D．位置关系不确定 【答案】C 【分析】求出直线所过的定点，再判断该定点与圆的位置关系即可. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径， 直线，由，解得， 即直线过定点，由， 则位于圆的内部，所以直线与圆相交. 故选：C （25-26高二上·江西赣州·期中）直线与圆的位置关系是（    ）变式3 A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用圆心到直线距离来判断直线与圆的位置关系. 【详解】由，得，， 圆心到的距离，即， 所以与圆的位置关系是相离. 故选：C 题型02由直线和圆的位置关系求参数 （浙江省台州市山海协作体2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题）已知圆，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则（    ）典例1 A．3 B． C．3或 D．或5 四步 内容 理解 题意 本题给出圆和直线，要求当圆上恰有三个点到直线的距离为时，求参数的值。需结合圆的标准方程、点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的几何意义求解 思路 探求 第一步：将圆的一般方程通过配方化为标准式，确定圆心和半径. 第二步：分析“圆上恰有三个点到直线距离为”的几何意义：圆心到直线的距离满足（即直线与圆相交，且距离圆心较近的一侧有1个点，较远的一侧有2个点）. 第三步：利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，结合上述关系列方程求解. 书写 表达 步骤1：化圆的方程为标准式 对配方： 得圆心，半径. 步骤2：分析几何意义，列距离方程 圆上恰有三个点到直线（即）的距离为，说明圆心到直线的距离满足： 代入，得。 步骤3：用点到直线的距离公式求解 圆心到直线的距离： 结合，得： 解得或，即或. 题后 反思 本题的核心是“几何意义的转化”：将“圆上恰有三个点到直线的距离为定值”转化为“圆心到直线的距离与半径的数量关系”，这是解决直线与圆位置关系问题的关键思维. .需熟练掌握点到直线的距离公式和圆的一般式化为标准式的配方方法，确保计算过程中符号和系数不出错. 求解绝对值方程时，要考虑两种情况，避免漏解. 圆的方程：一般式化为标准式的配方方法. 点到直线的距离公式：点到直线的距离. 直线与圆的位置关系：通过圆心到直线的距离与半径的大小关系分析（本题是特殊情况“恰有三个点满足距离”，需转化为定值）. （25-26高二上·重庆黔江·期中）若直线与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是（    ）变式1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分（包含点和点），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解． 【详解】由得， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分（包含点和点），    当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离，且， 解得或（舍去）， 当直线过点时， 可得，则 结合图形可得实数的取值范围是． 故选：A． （25-26高二上·天津·期中）若圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则实数的取值范围是（   ）变式2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数形结合，找到“圆上仅有1个点到直线的距离为”与“圆上有且仅有3个点到直线的距离为”的直线的两种临界状态，然后根据条件列不等式，即得答案. 【详解】圆的圆心为：，半径，直线方程为：， 圆心到直线的距离， 因为圆上有且仅有两个点到直线的距离为， 所以，即， 解得：. 故选：C （25-26高二上·海南·期中）若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ）变式3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合题意可得，求解不等式即得圆的半径的范围. 【详解】由题意，圆心到直线的距离为， 因圆上到直线的距离为的点有且仅有2个， 故需，解得. 故选：B. 题型03求弦长 （25-26高二上·甘肃庆阳·期中）过原点且倾斜角为的直线被圆：所截得的弦长为（   ）典例1 A． B．2 C． D．4 四步 内容 理解 题意 本题给出过原点且倾斜角为的直线，以及圆，要求直线被圆截得的弦长。需结合直线方程的求法、圆的标准式转化、点到直线的距离公式及弦长公式求解. 思路 探求 步骤1：根据直线的“过原点”和“倾斜角”，用点斜式求直线的方程. 步骤2：将圆的一般方程通过配方化为标准式，确定圆心和半径. 步骤3：利用点到直线的距离公式，求圆心到直线的距离. 步骤4：结合弦长公式（由勾股定理推导），计算弦长. 书写 表达 步骤1：求直线的方程 直线过原点，倾斜角，则斜率，由点斜式得直线方程： 步骤2：化圆的方程为标准式 对配方： 得圆心，半径. 步骤3：求圆心到直线的距离 由点到直线的距离公式，圆心到直线的距离： 步骤4：用弦长公式计算弦长 弦长公式为，代入，： 题后 反思 本题核心是“弦长问题的几何本质”：弦长由“圆心到直线的距离”和“圆的半径”通过勾股定理联动求解，这是解决直线与圆相交弦长问题的通用思路. 需熟练掌握圆的一般式化为标准式的配方技巧，以及点到直线的距离公式的准确应用，避免计算中符号或系数出错. 直线方程的形式转化（点斜式转一般式）是后续用距离公式的前提，需注意步骤的严谨性. 直线方程：点斜式（已知过点和倾斜角时的方程求法）. 圆的方程：一般式化为标准式的配方方法. 点到直线的距离公式：点到直线的距离. 弦长公式：直线与圆相交时，弦长（为圆的半径，为圆心到直线的距离）. （25-26高二上·浙江台州·期中）在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线.变式1 (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于A，B两点，求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由题意，利用两点间的距离公式即可求解； （2）先求出圆心到直线的距离，然后根据弦长公式即可求解. 【详解】（1）设，因为，满足，即， 即，整理得， 所以曲线的轨迹方程为. （2）圆心到直线的距离， 所以. （25-26高二上·陕西商洛·期中）已知直线与圆相交于、两点，则 .变式2 【答案】 【分析】求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求出的值. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 故. 故答案为：. （25-26高二上·新疆喀什·期中）已知圆方程：，则直线被圆截得的弦长为 ．变式3 【答案】 【分析】根据圆的一般式方程，求出圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，求出弦心距，根据圆的弦长公式求出弦长即可. 【详解】由题意可知，变形为， 即圆心为，半径为，则弦心距为， 则弦长为. 故答案为：. 题型04求弦长最值 （25-26高二上·江苏连云港·月考）已知直线l：，圆C：，直线l与圆C交于M，N两点，则弦长的最小值为（    ）典例1 A． B． C． D． 四步 内容 理解 题意 本题给出含参数的直线和圆，直线与圆交于两点，要求弦长的最小值。需结合直线过定点、圆的基本性质及弦长公式求解. 思路 探求 步骤1：确定直线的定点。通过整理直线方程，分离参数，令参数的系数为0，求解定点坐标. 步骤2：分析圆的圆心和半径。由圆的标准方程直接得到圆心和半径. 步骤3：分析弦长最小值的条件。弦长公式为（为圆心到直线的距离），要使弦长最小，需使最大。由于直线过定点，的最大值为圆心到该定点的距离（此时直线与圆心和定点的连线垂直）. 步骤4：计算距离并代入弦长公式。先求圆心到定点的距离，再代入弦长公式计算最小值. 书写 表达 步骤1：求直线的定点 将直线方程整理为：. 令，解得，即直线过定点. 步骤2：分析圆的基本信息 圆的圆心为，半径. 步骤3：求圆心到定点的距离 圆心到定点的距离： 步骤4：求弦长的最小值 由弦长公式，当最大（即）时，弦长最小： 题后 反思 本题的核心是“直线过定点”与“弦长最小值”的联动：通过分析直线的定点，将“弦长最小”转化为“圆心到直线的距离最大（即圆心到定点的距离）”，体现了几何问题中“动与静”的转化思想. 处理含参数的直线方程时，分离参数法是寻找定点的关键技巧，需熟练掌握. 弦长公式的本质是勾股定理的应用，要明确“半径”“圆心到直线的距离”“弦长的一半”构成直角三角形的三边关系. 直线过定点的求法：通过分离参数，令参数的系数为0，解方程组得到定点坐标. 圆的标准方程：，其中为圆心，为半径. 两点间距离公式：点与点的距离. 弦长公式：直线与圆相交时，弦长（为圆心到直线的距离）. （25-26高二上·福建福州·期中）直线被圆所截得的最短弦长等于（    ）变式1 A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】求出圆心与半径，以及直线的恒过定点，利用几何关系可知当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径，又直线直线恒过定点， 当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦，此时弦心距为.所截得的最短弦长：. 故选：B. （25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）已知动直线，圆，则直线与圆C相交的最短弦长为 ．变式2 【答案】2 【分析】找到动直线经过的定点，即可找到圆心到直线距离的最大值，由垂径定理即可求出直线与圆相交的最短弦长. 【详解】动直线经过定点，且点在圆内， 圆心，圆心到动直线最长距离， ∴直线与圆C相交的最短弦长为. 故答案为：2. （25-26高二上·山东菏泽·阶段练习）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）变式3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由直线方程可以求得所过定点，当时，最小，借助勾股定理可以求得. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径，，点在圆内， 当时，最小， 此时. 故选：D 题型05由弦长求参数 （25-26高二上·江苏苏州·期中）已知圆为过圆内一点且倾斜角为的弦.典例1 (1)当时，求的长. (2)若弦的长为4，求直线的方程. 四步 内容 理解 题意 本题围绕圆（圆心，半径）和圆内点展开，分两问： (1)直线过且倾斜角，求弦长； (2)弦长，求直线的方程. 思路 探求 (1)求的长：先求直线的点斜式方程，再用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，最后通过弦长公式计算. (2)求直线的方程：先由弦长公式逆推圆心到直线的距离，再分“斜率存在”和“斜率不存在”两种情况，结合点到直线的距离公式求解直线方程. 书写 表达 (1)当时，求的长 直线的斜率，过点，方程为： 圆心到直线的距离： 弦长： (2)若弦的长为4，求直线的方程 由弦长公式得圆心到直线的距离. 斜率存在时：设直线方程为，即. 由距离公式： 直线方程为. 斜率不存在时：直线方程为，此时圆心到直线的距离为，弦长为，符合条件. 综上，直线的方程为或. 题后 反思 第(1)问需熟练掌握“直线方程→距离→弦长公式”的流程，注意距离公式的分母计算. 第(2)问易忽略“斜率不存在”的情况，解题时需全面考虑直线的两种形式，避免丢解. 弦长问题的本质是勾股定理的应用，半径、圆心到直线的距离、弦长的一半构成直角三角形，这是核心逻辑. 直线方程：点斜式、垂直x轴的直线（）。 点到直线的距离公式：. 弦长公式：. 分类讨论思想：涉及直线斜率时，需考虑“斜率存在”和“斜率不存在”两种情况. （广西示范性高中2025-2026学年高二上学期期中联合调研测试数学试题）已知圆心在轴的正半轴上，半径为2的圆与直线：相切.变式1 (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆相交于点、，，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设圆心坐标，根据圆的标准方程及直线与圆的位置关系计算即可； （2）设直线方程，利用弦长公式计算参数即可. 【详解】（1）设圆心，则，由题意可知C到的距离， 解之得，即圆的方程为； （2）易知时不与圆相交， 不妨设，则C到的距离， 所以，解之得或， 所以或. （江西省赣州市十三校2025~2026学年高二上学期期中联考数学试题）已知在平面直角坐标系中，圆经过点和，且圆心在直线上，直线.变式2 (1)求圆的标准方程； (2)若直线被圆截得的弦长为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用求圆心坐标和半径长度来写圆的标准方程； (2)利用圆心到直线的距离和勾股定理来求参数的值. 【详解】（1）经过点和的中垂线方程为：， 与直线联立解得：， 所以圆心的坐标为，半径， 即圆的标准方程为：； （2）由圆心到直线的距离得：， 因为直线被圆截得的弦长为，所以， 即. （25-26高二上·浙江绍兴·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上.变式3 (1)求圆的标准方程； (2)求圆过点的切线方程； (3)直线与圆相交于、两点，且，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）设圆心，根据结合两点间的距离公式求出的值，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率不存在时，直接验证即可；在切线斜率存在时，设切线的方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，求出的值，综合可得出切线的方程； （3）根据几何关系求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可解得实数的值. 【详解】（1）由圆心在直线上，设圆心， 由，得，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为半径， 则直线是符合题意的切线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，直线方程为， 所以切线方程为或. （3）由（1）知，圆的圆心，半径， 由，得圆心到直线的距离， 则，即， 则，解得或， 所以实数的值为或. 题型06求圆的切线方程 （山东省德州市（优高联考）2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知圆C：，直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 .典例1 四步 内容 理解 题意 本题给出圆（圆心，半径）和点，要求过点且与圆相切的直线的方程。需分直线斜率存在和斜率不存在两种情况讨论. 思路 探求 当直线斜率不存在时，设直线为，验证圆心到直线的距离是否等于半径； 当直线斜率存在时，设直线方程为点斜式，利用“圆心到直线的距离等于半径”的性质，结合点到直线的距离公式列方程求解斜率. 书写 表达 情况1：斜率不存在 直线方程为，圆心到直线的距离为，等于半径，故是圆的切线. 情况2：斜率存在 设直线方程为，整理为。 由圆心到直线的距离等于半径，得： 平方后化简得，解得. 代入直线方程得，整理为 综上，直线的方程为或 题后 反思 求解圆的切线方程时，易遗漏斜率不存在的情况，需全面考虑直线的两种形式； 核心逻辑是“圆心到直线的距离等于半径”，此性质是解决切线问题的关键，需熟练应用点到直线的距离公式. 圆的标准方程：（明确圆心和半径）； 点到直线的距离公式：； 切线方程的求解：过圆上（或圆外）一点的切线，需分斜率存在和斜率不存在分类讨论，通过“距离等于半径”建立方程求解. （25-26高二上·辽宁沈阳·期中）已知圆.变式1 (1)已知点在圆的外部，求的取值范围； (2)若，过作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据二元二次方程表示圆的条件，以及点在圆外的条件，联立不等式组即可求解； （2）当斜率不存在时，可直接求得直线方程；当斜率存在时，由点斜式设出直线方程，结合点到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】（1）因为方程表示圆， 所以，解得， 又因为在圆的外部，所以，所以 所以的取值范围为； （2）若，则圆， 即，则圆心，半径为3， 当斜率不存在时，直线方程为， 因为圆心到直线的距离为3，所以直线与圆相切； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 解得，所以切线方程为，即. 综上所述，切线的方程为，或. （25-26高二上·河南南阳·月考）已知圆C过点和点，且圆心在直线上．变式2 (1)求圆C的方程； (2)若直线l过点，当直线与圆C相切时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心，由题意得到，求解即可； （2）通过直线斜率存在和不存在两类情况讨论即可. 【详解】（1）设圆心，由圆心在直线上及点和点都在圆C上， 得，即， 解得，即，圆C的半径， 所以圆C的方程是． （2）若直线的斜率不存在，则， 圆心到直线的距离为半径，故直线为圆的切线． 若直线的斜率存在，设切线方程为， 则，解得，此时切线方程为． 综上，直线l的方程为或． （25-26高二上·江苏盐城·月考）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．变式3 (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解： （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可. 【详解】（1）由题意设圆心， 因为，即， 解得，即，半径， 所以圆的标准方程为； （2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 此时切线的方程为：，即， 综上所述：过的切线方程为或． 题型07切点弦方程 （2025高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为.求证：直线过定点.典例1 四步 内容 理解 题意 已知：点在直线上，过作圆的切线，切点为. 求证：直线过定点. 核心：结合圆的切点弦方程和直线过定点的判定方法，将几何条件转化为代数方程求解. 思路 探求 步骤1：设点，利用圆的切点弦方程，写出直线的方程为（圆外点的切点弦方程为）. 步骤2：因在直线上，故，将（或）用另一变量表示，代入切点弦方程. 步骤3：将方程整理为关于参数（如）的线性式，令且，解方程组得定点. 书写 表达 设，因在直线上，故. 圆的切点弦的方程为（切点弦方程）. 由，得，代入，得： 整理为： 令，解得。 故直线过定点. 题后 反思 易错点：记错切点弦方程（混淆切线方程与切点弦方程）；整理方程时计算失误；对“直线过定点”的逻辑理解不清晰（未意识到需令参数系数和常数项同时为0）. 拓展：本题可推广到椭圆、双曲线等二次曲线的“极线过定点”问题，核心方法仍是“参数分离法”结合曲线的极线方程. 收获：加深了对“解析几何中代数方法解决几何定点问题”的理解，熟练了切点弦方程和直线过定点的判定技巧. 圆的切点弦方程（极线方程）：若点在圆外，切点弦的方程为. 直线过定点的判定：将直线方程整理为（为参数），令且，解出的即为定点. 点在直线上的条件：点在直线上，则. （2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 .变式1 【答案】 【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为（圆的方程为），代入即可的直线的方程. 【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为: ， 化简得：. 故答案为：. （22-23高三下·云南昆明·阶段练习）已知点P是直线上的动点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 .变式2 【答案】1 【分析】设，利用圆的方程可求出直线的方程为，再结合P是直线上的动点，可求得直线AB过定点，即可确定当Q与M的连线垂直于直线AB时，点Q到直线AB的距离最大，即得答案. 【详解】设，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为， 则在以为直径的圆上，该圆的方程为， 将和相减得：， 即得到直线的方程为， 又因为点P是直线，故， 则直线的方程为，即， 当且，即，时该方程恒成立， 所以直线AB过定点， 当Q与M的连线垂直于直线AB时，点Q到直线AB的距离最大， 此时最大值即为Q，M之间的距离，而， 即点到直线AB的距离的最大值为1， 故答案为：1 （22-23高二下·贵州·阶段练习）已知圆，点A是直线上的一个动点，过点A作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积的最小值为 ；直线过定点 .变式3 【答案】 【分析】第一空，，结合圆的几何性质推出，即可知当垂直于直线时，d最小，即可求得答案；第二空，设，表示出以为直径的圆的方程，和圆的方程相减，可得直线的方程，分离参数，即可求得直线所过的定点坐标. 【详解】由题意过点A作圆的两条切线，切点分别为， 连接,则, 设，则, 故, 当垂直于直线时，d最小， 所以，所以； 由于点A是直线上的一个动点，设点， 线段的中点设为P，则，且， 所以以线段为直径为圆的方程为 ， 即， 将方程与作差可得， 即直线的方程为，可得， 由于,故， 因此，直线恒过定点， 故答案为：； 题型08直线和圆的位置关系求距离最值 （25-26高二上·广西河池·月考）已知实数满足，则下列选项正确的是（    ）典例1 A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 四步 内容 理解 题意 已知实数满足方程，需判断四个选项的正确性.首先将方程化为圆的标准形式，明确其圆心为，半径.四个选项分别涉及点到原点距离的平方的最值、两点连线斜率的最值、点到直线距离的线性变形的最值、线性表达式的最值，需结合圆的几何性质逐一分析. 思路 探求 选项A：将转化为“点到原点距离的平方”，利用“圆心到原点的距离+半径”求圆上点到原点的最大距离，再计算其平方. 选项B：将转化为“点与定点连线的斜率”，设切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径，求解斜率的最值. 选项C：将变形为“点到直线的距离”，利用“圆心到直线的距离-半径”求最小距离，再乘以. 选项D：将设为线性变量，转化为“直线与圆相切时的截距最值”，利用圆心到直线的距离等于半径求解. 书写 表达 步骤1：整理圆的方程 将配方得，圆心，半径. 选项A分析 表示点到原点的距离的平方. 原点到圆心的距离，圆上点到原点的最大距离为，因此的最大值为，A错误. 选项B分析 表示点与连线的斜率. 设过的切线方程为，即. 由圆心到切线的距离等于半径，得，即. 平方后整理得，解得，故斜率最大值为，B正确. 选项C分析 ，其中是点到直线的距离. 圆心到直线的距离，圆上点到直线的最小距离为，因此的最小值为，C错误. 选项D分析 设，即。当直线与圆相切时，取最值. 由圆心到直线的距离等于半径，得，即，解得，故的最小值为，D正确. 题后 反思 易错点：对代数表达式的几何意义理解不清（如、斜率、点到直线距离的变形）；计算切线斜率或线性最值时，忽略距离公式的系数或符号；处理线性表达式变形时（如选项C）遗漏系数. 方法提炼：解决圆的最值问题，核心是将代数表达式转化为几何意义（距离、斜率、点到直线的距离等），再结合圆的“圆心到定点/定直线的距离±半径”求解，关键是熟练运用点到直线的距离公式和圆的切线性质. 圆的标准方程与几何性质：通过配方将一般式化为标准式，明确圆心、半径，利用“圆心到定点/定直线的距离±半径”分析最值. 代数表达式的几何意义： ：点到原点距离的平方； ：点与连线的斜率； ：可结合点到直线的距离公式，变形为“距离×”的形式. 切线问题的处理：设切线方程，利用“圆心到直线的距离=半径”列方程，求解斜率、截距的最值. 线性表达式的最值：设线性表达式为，转化为直线与圆的相切问题，通过距离公式求解的最值. 【多选题】（24-25高二上·福建莆田·期中）已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（ ）变式1 A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】设，可得，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断AB选项；利用距离的几何意义求出的最大值，可判断C选项；设，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】将方程化为标准方程可得， 圆的圆心为，半径为， 对于A选项，设，可得， 则直线与圆有公共点， 所以，整理可得，解得， 即的最大值为，即的最小值为0，A对，B错； 对于C，代数式的几何意义为圆上的点到原点的距离的平方， 如下图所示： 由图可知，当点为射线与圆的交点时，取最大值， 即， 故的最大值为，C错； 对于D，设，则直线与圆有公共点， 所以，解得， 所以的最大值为，D对. 故选：AD. 【多选题】（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（    ）变式2 A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】ABD选项，可设，结合三角函数恒等变换，三角函数有界性求出最大值；C选项，可设，即，联立圆的方程，根据根的判别式得到不等式求出答案. 【详解】A选项，变形为， 圆心为，半径为， 设， 故， 故当时，取得最大值，最大值为，A错误； B选项，， 故当时，取得最大值，最大值为，B正确； C选项，设，即， 联立与得， 令，解得， 故的最大值为，C错误； D选项，， 故当时，取得最大值，最大值为 故选：ACD 【多选题】（23-24高二上·四川成都·期中）点是圆上的动点，则下面正确的有（    ）变式3 A．圆的半径为3 B．既没有最大值，也没有最小值 C．的范围是 D．的最大值为72 【答案】BC 【分析】将圆方程化为标准方程可判断选项A错误.设 ，则转化为直线与圆有交点，可算得既没有最大值，也没有最小值，选项B正确.对于选项C和D，可用三角换元化简，再结合辅助角公式即可判断. 【详解】圆转化为， 则圆的圆心为，半径为2，选项A错误. 设，则直线与圆有交点，即， 整理得，解得或. 既没有最大值，也没有最小值，选项B正确. 设，， 则，其中. 则的取值范围为，选项C正确. 又，则， 因此 其中. 则的最大值为，选项D错误. 故选：BC. 一、单选题 1．（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【答案】A 【分析】根据圆心到直线的距离与半径比较即可求解. 【详解】的圆心和半径分别为， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交但不经过圆心， 故选：A 2．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，结合条件，数形结合，即可求解. 【详解】由，得到， 所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图， 当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点， 当直线与曲线相切时，由，解得或（舍）， 由图可知，实数的取值范围是， 故选：C. 3．（24-25高二下·内蒙古·期末）圆上的点到直线的距离的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心及半径，再利用点到直线距离公式，结合圆的性质求出最小值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为． 设圆心到直线的距离为，则， 所以圆上的点到直线的距离的最小值是． 故选：A 4．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知直线与圆和圆都相切，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式列式求解. 【详解】圆的圆心，半径；圆的圆心，半径， 由直线与圆、圆都相切，则，解得. 故选：C 二、多选题 5．（24-25高三下·甘肃白银·开学考试）已知圆，直线，则（    ） A．直线过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 D．直线与圆相交于、两点，不可能为 【答案】AD 【分析】根据直线方程的性质判断直线所过定点，利用圆的方程求出圆被轴截得的弦长，根据直线与圆的位置关系求出弦长最短时直线方程，通过计算圆心到直线的距离判断是否可能为. 【详解】将直线的方程变形为. 令， 用第一个方程减去第二个方程可得：， 即，解得. 把代入，得，解得. 所以直线过定点，A选项正确. 在圆的方程中，令，则， 即，，， 解得，. 所以弦长为，B选项错误. 已知圆：，则圆心，半径. 由前面可知直线过定点，. 当直线与垂直时，圆被直线截得的弦长最短，此时直线的斜率. 又直线过点，根据点斜式方程可得直线的方程为，即，C选项错误. 若，则圆心到直线的距离. 点到直线的距离. 假设，两边平方可得， 即，， 此时，方程无解，所以不可能为，D选项正确. 故选：AD. 6．（23-24高二上·江苏南京·月考）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 【答案】BD 【分析】由表示圆上的点到定点的距离的平方，可判定A错误；由表示圆上的点与点的斜率，设，结合点到直线的距离公式，列出不等式，可判定B正确；由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，进而可判定C错误；根据点在圆上，结合圆的切线的性质，可判定D正确. 【详解】由圆可化为，可得圆心，半径为， 对于A中，由表示圆上的点到定点的距离的平方， 所以它的最大值为，所以A错误； 对于B中，表示圆上的点与点的斜率，设，即， 由圆心到直线的距离，解得， 所以的最大值为，所以B正确； 对于C中，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍， 圆心到直线的距离，所以其最小值为，所以C错误； 对于D中，因为点满足圆的方程，即点在圆上， 则点与圆心连线的斜率为， 根据圆的性质，可得过点作圆的切线的斜率为， 所以切线方程为，即，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题 7．（24-25高二下·上海杨浦·期末）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则，然后解不等式即可. 【详解】圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得. 故答案为：. 8．（24-25高二上·广东潮州·期末）直线被圆截得的弦的长为，则实数的值为 . 【答案】4或-6 【分析】由直线与圆相交，弦长公式求解即可； 【详解】将圆的方程化为，所以圆心，半径为， 所以弦心距， 因为弦长为 ，所以，即， 解得或. 故答案为：4或-6. 9．（21-22高三上·江苏南通·开学考试）已知点Q是直线：上的动点，过点Q作圆：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点 . 【答案】(1，－1) 【分析】设Q的坐标为(m，n)，根据方程，写出切点弦AB所在直线方程，利用的关系，求得动直线恒过的定点坐标. 【详解】由题意可设Q的坐标为(m，n)，则m－n－4＝0，即m＝n＋4，过点Q作圆O：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，则直线AB的方程变形可得nx＋ny＋4x－4＝0，则有，解得，则直线AB恒过定点(1，－1). 故答案为：(1，－1). 10．（20-21高二上·河北张家口·期末）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A和B．若圆心O到直线的距离的最大值为，则实数m= ． 【答案】4 【分析】由平面几何知识可知圆心O到直线的距离的最大时，的最小，利用点到直线的距离公式即得. 【详解】 连接，，，，设与相交于点， 易知被垂直平分，，圆心到直线的距离为， 中，有，即， ∵圆心O到直线的距离的最大值为， 则的最小值为， 依题意，知的最小值为点到直线的距离， ∴，即， ∵，∴. 故答案为：4. 四、解答题 11．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解； （2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可. 【详解】（1）设动点， 因为，则， 整理可得，即， 所以动点的轨迹为的方程为. （2）由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得或， 所以直线的方程为或. 12．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆． (1)求的取值范围； (2)若，过作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）根据二元二次方程表示圆可得答案； （2）当斜率不存在时，可直接求得直线方程；当斜率存在时，由点斜式设出直线方程，结合点到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】（1）因为方程表示圆， 所以，解得， 所以的取值范围为； （2）若，则圆， 即，则圆心为，半径为， 当斜率不存在时，直线方程为， 因为圆心到直线方的距离为，所以直线与圆相切； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 解得，所以切线方程为， 即. 综上所述，切线的方程为，或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $