第12讲：直线和圆的位置关系【知识梳理+9个题型归纳+方法总结】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026年高二上学期数学常考题型归纳 【第12讲：直线和圆的位置关系】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、直线与圆的位置关系（教材核心考点） 1.两种判定方法 判定维度 核心原理 操作步骤 优劣势分析 几何法（距离法） 比较圆心到直线的距离与半径的大小 1.求圆心到直线的距离： 2.比较与的关系 计算简洁，优先用于仅判断位置关系的场景 代数法（判别式法） 联立方程后判断一元二次方程解的个数 1.联立直线与圆的方程，消元得一元二次方程 2.计算判别式 可直接求交点坐标，但计算量较大 2.位置关系对应条件 位置关系 公共点个数 几何条件（与） 代数条件（） 相离 0个 相切 1个 相交 2个 二、核心公式推导与应用（含教材例题模型） 1.弦长公式（相交时必用） 推导依据：垂径定理（圆心与弦中点的连线垂直于弦） 核心公式：（为弦长，为圆心到直线距离，为半径） 教材例题模型：已知圆，求直线截圆所得弦长。 解：圆心，，，故 2.切线方程（高考高频考点） （1）过圆上一点的切线方程 标准圆情形：设圆，圆上点，切线方程为： 特殊情形（圆心在原点）：圆上点的切线方程为 教材例题延伸：过圆上点的切线方程为，化简得 （2）过圆外一点的切线方程 解题步骤： 1.设切线斜率为（需考虑斜率不存在的情况），写点斜式方程； 2.利用圆心到切线距离列方程求； 3.若求得两解则对应两条切线，若仅一解则补充斜率不存在的切线。 高考易错点：遗漏斜率不存在的切线（如过点作圆的切线，需补充） 三、定点定值问题（高考重难点，结合真题方法） 1.定点问题解题方法（真题高频模型） 方法名称 操作流程 适用场景 真题案例指引 特殊探路法 1.取参数特殊值（如、）求交点； 2.证明该交点在任意参数下均满足方程 直线系过定点问题 2023年扬州中学考题：通过点特殊位置找到定点 方程恒成立法 1.设直线方程为（为参数）； 2.整理为； 3.解得定点 含参数的直线/圆过定点 2022年芜湖高二期末：将直线方程整理为，解得定点 2.定值问题解题策略 特殊值法：先取特殊位置（如切点为、弦垂直于x轴）求定值，再证明一般性。 代数消参法：设变量参数（如斜率、点坐标），通过运算消去参数得到定值。 高考真题模型：点在圆上，、斜率互为倒数，证明中点在定直线上 四、常考结论与二级结论（省时利器） 1.切线长公式：过圆外点作圆的切线，切线长 2.切点弦方程：过圆外点作圆的两条切线，切点弦方程为（与圆上点切线方程形式一致） 3.定点结论：过直线上动点作圆的切线，切点弦恒过定点（通过两圆方程相减推导） 4.距离定值：圆心到定直线的距离为定值，若直线与圆相交，则弦长为定值（由推导） 5.直径所对圆周角：若直线过圆的直径端点，则直线与圆上任意点（非端点）连线垂直（可用于证明垂直关系） 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：直线和圆相交求弦长及参数】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【例题2】（25-26高二上·湖北·期中）已知三点，记的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于两点，求的面积. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·上海·阶段练习）若直线与圆 相交于两点，且 (其中O为原点)，则的值为 . 【相似题2】（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知直线与圆交于两点，写出满足“面积为”的的一个值 ． 【解题策略】 一、直线与圆相交求弦长的三大核心方法（含参数法） 方法1：几何法（垂径定理，最快捷） 核心原理：圆心到直线的垂线平分弦，构成“半径、弦心距、半弦长”的直角三角形，满足勾股定理，推导得弦长公式。 解题步骤： 1.确定圆的圆心和半径（从圆的标准方程/一般方程中提取）； 2.计算圆心到直线的距离（用点到直线距离公式，直线方程为）； 3.代入弦长公式计算，注意验证（确保直线与圆相交）。 例题：求直线截圆的弦长。 解：①圆心，；②；③。 方法2：代数法（联立方程+韦达定理，适用于求交点） 核心原理：联立直线与圆的方程，消元得一元二次方程，利用韦达定理求交点横坐标（或纵坐标）的和与积，再用弦长公式（为直线斜率）。 解题步骤： 1.联立直线与圆的方程：设直线（斜率存在），圆，代入得关于的一元二次方程； 2.计算判别式，确认（相交）； 3.用韦达定理得，； 4.代入弦长公式：若直线斜率为，则；若直线垂直x轴（斜率不存在），则。 例题：求直线截圆的弦长。 解：①联立得，整理为；②；③，；④，。 方法3：参数法（直线参数方程，适用于中点/距离关系） 核心原理：用直线的标准参数方程（具有几何意义：表示直线上动点到定点的距离）联立圆方程，弦长为两交点对应参数、的差的绝对值（）。 关键前提：直线标准参数方程形式为，其中： 是直线上定点； 是直线倾斜角（）； 是参数：表示动点到定点的距离，时动点在定点上方，时在下方。 解题步骤： 1.设直线的标准参数方程：选直线上易求的定点（如与x轴/y轴交点），确定倾斜角（由斜率得），写出参数方程； 2.代入圆的方程：整理为关于的一元二次方程（）； 3.用韦达定理得，； 4.计算弦长：（无需考虑斜率，直接用参数差的绝对值）。 例题：已知直线过点，倾斜角，求其截圆的弦长。 解：①直线标准参数方程：；②代入圆方程：，整理为；③，；④弦长。 二、参数解题的通用注意事项（避坑指南） 1.参数方程形式必须标准：若直线参数方程为（非标准），需先化为标准形式（令，，参数变为），否则无距离意义，弦长需乘以； 2.倾斜角的取值范围：，当直线斜率为负时（如），，而非； 3.韦达定理的符号：整理关于的方程时，需保证二次项系数为正（方便计算），若，可两边乘，避免、符号出错； 4.参数的几何意义延伸：若求弦的中点对应参数，可直接用（无需求交点坐标），适用于中点相关问题。 三、方法选择策略（高效解题） 题目特征 优先方法 原因分析 已知圆心、半径、直线方程 几何法 无需联立，计算量最小 需求交点坐标或斜率未知 代数法 直接关联交点坐标，适用性广 涉及弦中点、定点距离关系 参数法 利用的几何意义，简化计算 【题型二：最短弦长问题】 例题精选 【例题1】【多选】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆必相交 C．圆截轴所得弦长为 D．直线被圆截得的最短弦长为 【例题2】（25-26高三上·湖北·开学考试）已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A．2 B． C． D．2 相似练习 【相似题1】【多选】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，下列说法正确的是（    ） A．圆心为 B．圆与轴、轴都相切 C．过点的直线被圆截得的最短弦长为 D．的最大值为 【相似题2】（24-25高二下·湖南·期末）已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 【解题策略】 一、核心依据 弦长公式（为圆半径，为圆心到直线的距离），最短弦长对应最大弦心距。 二、高频场景解题步骤 场景1：过圆内定点的最短弦 1.求圆的圆心、半径； 2.计算到定点的距离（此为，因定点在圆内，过的直线中，与垂直的直线弦心距最大）； 3.代入公式：最短弦长。 例题：圆，过定点，求最短弦长。 解：①圆心，；②；③。 场景2：平行直线系（如）的最短弦 1.求圆心到直线系的距离； 2.确定（若直线系与圆相交，，通常由参数范围或几何意义确定，如直线过某区域时的最大距离）； 3.代入公式求。 例题：圆，直线系（与圆相交），求最短弦长。 解：①圆心，；②相交需，即，（趋近于2）；③趋近于（实际当时直线与圆相切，相交时最短弦长接近0）。 三、关键结论 过圆内定点的最短弦，必与“圆心和定点的连线”垂直；平行直线系的最短弦，对应直线到圆心的最大距离。 【题型三：直线和圆相切求切线方程】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）过点作圆：的切线，则切线方程为 ． 【例题2】（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）已知圆经过点，圆心在射线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A． B． C． D． 【相似题2】（25-26高三上·安徽·开学考试）已知过点与圆相切的两条直线的夹角为α，则tanα＝（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心原理 切线性质：圆心到切线的距离=半径（），所有解法均基于此推导。 二、分场景解题步骤 场景1：过圆上一点求切线方程 前提：已知圆方程（标准式/一般式）、圆上点 1.写圆的标准式：设圆为（一般式需先化为标准式，求圆心、半径）； 2.代切线公式： 标准圆：切线方程为； 特殊圆（圆心在原点，）：切线方程为； 3.化简方程：整理为形式（可选）。 例：圆，圆上点，切线方程： →→。 场景2：过圆外一点求切线方程 前提：已知圆方程、圆外点（先验证：） 1.分情况设切线方程： 斜率存在：设切线为（整理为）； 斜率不存在：切线为（单独验证，避免遗漏）； 2.用求： 代入点到直线距离公式，解关于的方程； 3.得切线方程： 若方程有两解：对应两条斜率存在的切线； 若方程有一解：补充斜率不存在的切线（需验证是否满足）。 例：圆，圆外点，求切线： 1.斜率存在：设（），由，得，切线为； 2.斜率不存在：，验证（不满足，舍去）； 3.最终切线：、。 三、易错点提醒 1.过圆外点必漏“斜率不存在”的切线，需单独验证； 2.圆的一般式（）需先化为标准式求（）、； 3.验证切线：求出方程后，需确认圆心到直线距离等于半径（避免计算错误）。 【题型四：圆外一点引圆的两条切线，切线过定点问题】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆交于两点，且． (1)求． (2)过上且在圆外的一动点作圆的两条切线，切点分别为． （i）当点的坐标为时，求点的坐标； （ii）证明：直线过定点． 【例题2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为 . 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点记为，若存在四边形的面积为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、解题前提 1.定圆：（圆心，半径）； 2.圆外动点：含参数（如，为参数）； 3.目标：证过的切线恒过定点。 二、核心解题步骤（4步） 步骤1：设切线方程 斜率存在：，整理为； 斜率不存在：（后续验证）。 步骤2：用切线性质列等式 圆心到切线距离，代入距离公式： 平方整理为关于的二次方程： ——（*） 步骤3：代入定点并分离参数 在切线上，代入，再代入的参数表达式，分离参数： 例：代入得，整理为： ——() 步骤4：恒成立求定点 方程()对任意参数恒成立，参数系数及常数项均为0，列方程组求解： 例：，结合定圆条件得，验证斜率不存在的切线。 三、典型例题 已知：定圆，动点 求：切线恒过的定点 1.设切线（斜率存在）：； 2.列距离条件：，平方得； 3.代入：； 4.解方程组，得，，结合圆方程得； 5.验证：（斜率不存在的切线）过，且在圆外。 四、避坑要点 1.步骤2展开时注意，防符号错； 2.步骤3需彻底分离参数，否则无法列恒成立方程； 3.必验证斜率不存在的切线是否过定点。 【题型五：直线与圆的位置关系中的最值问题】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）若，求下列各式的取值范围 (1)； (2)； (3)； (4)． 【例题2】（24-25高三下·北京·阶段练习）已知圆 点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为 C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为 相似练习 【相似题1】（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知点P为直线上的一点，过点P作圆的切线PA，切点为A，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）点在曲线上，求的取值范围. 【解题策略】 一、圆与点相关的最值（3类） 类型1：定点到圆上点的距离最值 核心原理：设定点，圆（为圆心，为半径） 最大距离： 最小距离：（在圆外：；在圆内：） 解题步骤： 1.提取圆心和半径； 2.计算； 3.代入公式求最值。 例：，圆（，）： ，最小距离，最大距离。 类型2：圆上点到两定点的距离和/差最值 （1）距离和最值（，A、B为定点） 核心原理： 若A、B在圆外：作关于圆心的对称点，则； 若在圆内，在圆外：。 解题步骤： 1.判断定点与圆的位置关系； 2.作对称点（或利用圆上点距离的最值公式）； 3.用两点间距离公式计算目标值。 例：圆（，），（圆内），（圆外）： ，，和的最小值取（舍去负结果）。 （2）距离差最值（） 核心原理：利用三角形两边之差小于第三边，最大值为（当在延长线与圆交点时取到）。 解题步骤： 1.计算； 2.验证延长线是否与圆相交，相交则最大值为。 例：圆，，：，差的最大值为。 类型3：圆上点坐标函数的最值（如、） 核心原理： 线性函数（）：转化为“直线与圆有交点”，的最值对应圆心到直线距离时的极值； 二次函数（）：用圆的参数方程、代入化简。 解题步骤（线性函数）： 1.设，整理为直线方程； 2.计算圆心到直线的距离； 3.解绝对值不等式，求的最值。 例：圆，求的最值： ，解得。 二、圆与直线相关的最值（3类） 类型4：直线到圆上点的距离最值 核心原理：设直线，圆心到的距离为： 最大距离： 最小距离： 解题步骤： 1.计算； 2.代入公式求最值。 例：直线，圆（，）： ，最小距离，最大距离。 类型5：圆外一点引切线的切线长最值 核心原理：切线长，的最值由的最值决定。 解题步骤： 1.求的最值（如在定直线上，为圆心到直线的距离）； 2.代入切线长公式求的最值。 例：在直线上，圆（，）： ，切线长最小值。 类型6：直线截圆的弦长最值 核心原理：弦长（为弦心距）： 最大弦长：（直线过圆心），； 最小弦长：最大（为圆心到直线的最大距离，如直线过定点，则）。 解题步骤： 1.求弦心距的取值范围； 2.代入弦长公式求最值。 例：过的直线截圆（，）： ，，最小弦长（切线）。 三、两圆相关的最值（1类） 类型7：两圆上点的距离最值 核心原理：设两圆、，圆心距： 外离/外切/相交：最大距离，最小距离； 内切/内含：最大距离，最小距离（内含时）。 解题步骤： 1.确定两圆圆心、和半径； 2.计算； 3.按两圆位置关系代入公式求最值。 例：圆（），圆（）： ，最大距离，最小距离（相交）。 【题型六：直线与圆相交中韦达定理的应用】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． (1)当，，，时，分别求线段和的长度； (2)①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 【例题2】（24-25高二下·上海崇明·期末）已知圆，直线． (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【相似题2】（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图所示，圆与轴的交点分别为，过点的直线与圆交于两点. (1)记直线的斜率分别为，求的值； (2)设为直线与的交点，△，△的面积分别为，求的取值范围． 【解题策略】 一、核心前提（直线与圆相交的判定） 直线与圆相交⇨联立方程后一元二次方程的判别式，这是应用韦达定理的基础（确保有两个不同交点）。 二、韦达定理应用通用解题步骤（4步核心） 步骤1：联立直线与圆的方程（选合适的方程形式） 直线方程形式： ①斜率存在：设为（斜截式，便于代入消元）； ②斜率不存在：设为（垂直x轴，直接代入圆方程求）。 圆的方程形式： 优先用标准式或一般式（展开后易消元）。 操作示例：圆（一般式），直线（斜截式），联立得： 。 步骤2：消元整理为一元二次方程（关键：统一变量） 若直线为，代入圆方程后消去，整理为关于的一元二次方程： （，否则直线与圆平行或相切，无两交点）； 若直线为，代入圆方程后消去，整理为关于的一元二次方程： 。 操作示例：承接步骤1，展开并整理： ⇒（即，，）。 步骤3：计算判别式，确认相交并应用韦达定理 1.判相交：计算，若，继续；若，直线与圆不相交（无解）； 2.韦达定理：设方程两根为（交点横坐标），则： 若消元变量为，则对应，。 操作示例：承接步骤2，（说明此直线与圆不相交，需换直线，如换直线，重新联立得，，则，）。 步骤4：结合目标问题，代入韦达定理计算（分场景） 根据题目需求（求弦长、中点、交点关系等），用韦达定理的根与系数关系推导，无需直接求交点坐标。 三、三大高频应用场景（含例题步骤） 场景1：求弦长（最常用） 核心公式：弦长（为直线斜率，推导：，代入）。 例题：求直线截圆的弦长。 解题步骤： 1.联立得（，，）； 2.，韦达定理：，； 3.直线斜率，代入弦长公式： 场景2：求交点中点坐标 核心公式：中点横坐标，中点纵坐标（代入直线方程）。 例题：求直线与圆的交点中点。 解题步骤： 1.联立得⇒（，，）； 2.，韦达定理：； 3.中点横坐标，纵坐标，即中点。 场景3：求两交点的代数式值（如、） 核心思路：用代数变形将目标式转化为和的形式（如）。 例题：直线与圆相交于、，求（）。 解题步骤： 1.联立得⇒（，）； 2.由直线方程得，，则： 3.代入韦达定理结果：。 四、易错点总结 1.漏判判别式：直接用韦达定理而不验证，可能导致无解情况仍计算； 2.斜率不存在处理：直线时，弦长公式为，无需乘； 3.变量对应错误：消元后若得到关于的方程，计算弦长时需用（）。 【题型七：直线与圆中的定点定值问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）已知圆，过定点作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点. (1)过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值. (2)设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程;若不是，说明理由. 【例题2】（2025·湖北襄阳·三模）在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中．点，直线，．圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)当直线与圆相切时，求实数的值． (3)若直线与圆相交于两点，当变化时，是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出一个的坐标；若不存在，请说明理由． 【相似题2】（22-23高二上·四川南充·阶段练习）已知圆和点． (1)过作圆的切线，求切线的方程； (2)过作直线l交圆于点两个不同的点，且不过圆心，再过点分别作圆的切线，两条切线交于点，求证：点在一条定直线上，并求出该直线的方程． 【解题策略】 一、定点问题（核心：找“参数无关”的恒过点） 核心原理 定点是指：含参数的直线/圆，无论参数取何值（满足题意），始终经过的某一固定点（坐标不含参数）。解题关键是“消去参数影响”，常用特殊值法（探路）和方程恒成立法（验证）。 解题步骤（通用3步） 步骤1：设含参数的方程（直线/圆） 若为“直线过定点”：设直线方程，含1个参数（如斜率、截距），形式如： 斜截式：（含参数，如）； 一般式：（为参数，A、B为关于的整式）。 若为“圆过定点”：设圆的方程，含参数（如圆心坐标、半径含参数），形式如。 步骤2：用“特殊值法”探定点（快速定位） 取参数的2个特殊值，代入方程得2条特殊直线/圆，求其交点——该交点即为“疑似定点”（排除参数影响的唯一解）。 例：若直线含参数，取（水平直线）、（斜率为1的直线），联立两直线方程求交点。 步骤3：验证“恒成立”（确认定点） 将“疑似定点”代入原含参数的方程，验证方程对任意参数均成立；或直接整理原方程为“参数×整式1+整式2=0”，令“整式1=0”且“整式2=0”，解方程组得定点（无需特殊值探路，更严谨）。 典型例题（直线过定点） 例题：已知圆，圆外动点（为参数），过作圆的切线，证明切线恒过定点。 解题步骤： 1.设切线方程：斜率存在时，设切线为，整理为： （含参数和）； 2.利用切线性质列等式：圆心到切线距离=半径2，即： ，平方得：； 3.整理为恒成立形式：展开并按参数整理： ⇒； （或换思路：设切线过定点，代入切线方程得，整理为）； 4.恒成立求定点：令参数和的系数均为0： ，解得，； 结合切线性质验证，最终得定点（验证：代入切线方程，对任意恒成立）。 二、定值问题（核心：证明“量与参数无关”） 核心原理 定值是指：某个几何量（如距离、斜率乘积、面积、线段比值等），无论参数（如动点位置、直线斜率）如何变化，其值始终为常数。解题关键是“消去参数”，常用特殊位置探路（先求定值）和代数消参法（再证一般性）。 解题步骤（通用3步） 步骤1：设参数，表达目标量 设影响目标量的参数（如动点坐标、直线斜率、参数等）； 用参数表示出目标量（如斜率乘积、面积、距离等），建立目标量与参数的关系式。 步骤2：特殊位置探定值（减少计算量） 取参数的特殊值（如动点为圆的顶点、直线垂直/平行于坐标轴、参数=0等），计算目标量的值，得到“疑似定值”（后续证明此值恒定）。 步骤3：代数消参，证明一般性 利用圆的方程、韦达定理、几何性质（如垂径定理、切线性质）等，对目标量的表达式进行化简，消去所有参数，最终得到步骤2中所求的“疑似定值”，即证明完成。 典型例题（斜率乘积为定值） 例题：已知圆，过点的直线与圆交于M、N两点，证明：（为原点）为定值。 解题步骤： 1.设参数与目标量：设过的直线为（为参数），、，目标量； 2.特殊位置探定值：取直线垂直x轴（不存在），直线为，代入圆方程得，即、，则（疑似定值）； 3.代数消参证明： ①联立直线与圆方程：，整理为； ②韦达定理：，； ③计算； ④目标量：（与参数无关，定值得证）。 三、方法总结与易错点 问题类型 核心方法 易错点提醒 定点问题 特殊值探路+恒成立验证 漏验证斜率不存在的直线；参数整理不彻底 定值问题 特殊位置探值+代数消参 特殊位置选得复杂（如非对称点）；消参时计算错误 【题型八：直线与圆的位置关系与平面向量结合】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）已知圆C：，直线l：，若直线l与圆C交于A，B两点，且满足，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）已知过点和，且圆心在直线上，为的直径，若直线：上存在点满足，则最大值与最小值之和为 ． 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知，点在轴上运动，点在圆上运动，则的模的最小值是 ． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）是半径为5的圆上的定点，是圆上的动弦，且弦长为6，则的最大值为（    ） A．30 B．36 C．54 D．60 【解题策略】 一、向量条件转化核心表（精简版） 向量条件 代数/几何转化结论 （坐标：） （如⇨在圆上） 坐标化：（常与定值结合） 二、通用解题步骤（3步） 1.向量转坐标：设点坐标（圆心、圆上点等），将向量条件转化为坐标等式； 2.联线圆方程：设直线（）或圆方程（标准/一般式），联立得方程或算圆心到直线距离； 3.用性质求解：判位置关系（与、）、求定值（韦达定理消参）、算长度（弦长公式）。 三、高频场景解题示例 场景1：向量垂直→切线判定 例：圆，直线过，对圆上有，判与位置关系。 解： 1.转坐标：，，得； 2.化简方程：结合圆方程消二次项，得； 3.算，故相交。 场景2：向量数量积→定值 例：圆，直线交于$A、B$，证为定值。 解： 1.转目标：； 2.联立：，得； 3.算，故数量积（定值）。 场景3：向量模长→直径性质 例：圆半径2，，圆上$A、B$满足，求到的距离。 解： 1.转弦长：，故为直径； 2.得结论：圆心在上，距离为0。 四、常考结论（高频实用） 1.切线向量结论：若为圆上一点，则切线满足（为上任意点），且切线方程为（坐标：）； 2.直径向量垂直：若为圆直径，则对圆上任意，有（直径所对圆周角为直角）； 3.弦中点向量结论：若为圆弦的中点，则（垂径定理的向量表达，坐标：）； 4.数量积定值结论：设圆，定点，则圆上点满足，结合圆方程化简得定值（含$a、b、r$）； 5.向量模长最值：圆半径，定点，圆上点则，（向量模长即两点距离）。 【题型九：直线与圆的实际应用】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【例题2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【相似题2】（24-25高二上·浙江·期中）某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响. (1)若此人刚好不被台风影响，求的最大值； (2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？ 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A．±2 B． C．2 D．2 2．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则（　　） A．2 B．2 C．2 D．3 3．（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 4．（2024高三·全国·专题练习）过点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B．或 C． D．或 5．（25-26高三上·广东·开学考试）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·福建泉州·模拟预测）已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知是直线l：上一动点，过作圆O：的两条切线，切点分别为，则的大小可能为（    ） A． B． C． D． 10．（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知圆和直线，则下列说法中正确的是（    ） A．直线与圆的位置关系无法判定 B．当时，圆上的点到直线的最远距离为 C．当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时， D．如果直线与圆相交于，两点，则弦的最短长度为 三、填空题 11．（24-25高二上·重庆秀山·阶段练习）若直线与曲线()有一个交点，则实数k的取值范围是 . 12．（25-26高二上·全国·课后作业）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ． 13．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 . 14．（2025高二·全国·专题练习）已知圆，斜率为1的直线与交于，，以为直径的圆过原点，则直线的方程为 ． 15．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知实数、、、满足：，，，则的最小值为 . 四、解答题 16．（24-25高二上·北京顺义·期中）圆（圆心为整数点）经过，，且满足_________ ①与直线相切      ②经过点      ③圆心在直线上． 请从以上三个条件中选择一个条件填到横线上完成下列问题 (1)求圆的方程； (2)过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 17．（2025高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为.求证：直线过定点. 18．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的一般方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高二上学期数学常考题型归纳 【第12讲：直线和圆的位置关系】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、直线与圆的位置关系（教材核心考点） 1.两种判定方法 判定维度 核心原理 操作步骤 优劣势分析 几何法（距离法） 比较圆心到直线的距离与半径的大小 1.求圆心到直线的距离： 2.比较与的关系 计算简洁，优先用于仅判断位置关系的场景 代数法（判别式法） 联立方程后判断一元二次方程解的个数 1.联立直线与圆的方程，消元得一元二次方程 2.计算判别式 可直接求交点坐标，但计算量较大 2.位置关系对应条件 位置关系 公共点个数 几何条件（与） 代数条件（） 相离 0个 相切 1个 相交 2个 二、核心公式推导与应用（含教材例题模型） 1.弦长公式（相交时必用） 推导依据：垂径定理（圆心与弦中点的连线垂直于弦） 核心公式：（为弦长，为圆心到直线距离，为半径） 教材例题模型：已知圆，求直线截圆所得弦长。 解：圆心，，，故 2.切线方程（高考高频考点） （1）过圆上一点的切线方程 标准圆情形：设圆，圆上点，切线方程为： 特殊情形（圆心在原点）：圆上点的切线方程为 教材例题延伸：过圆上点的切线方程为，化简得 （2）过圆外一点的切线方程 解题步骤： 1.设切线斜率为（需考虑斜率不存在的情况），写点斜式方程； 2.利用圆心到切线距离列方程求； 3.若求得两解则对应两条切线，若仅一解则补充斜率不存在的切线。 高考易错点：遗漏斜率不存在的切线（如过点作圆的切线，需补充） 三、定点定值问题（高考重难点，结合真题方法） 1.定点问题解题方法（真题高频模型） 方法名称 操作流程 适用场景 真题案例指引 特殊探路法 1.取参数特殊值（如、）求交点； 2.证明该交点在任意参数下均满足方程 直线系过定点问题 2023年扬州中学考题：通过点特殊位置找到定点 方程恒成立法 1.设直线方程为（为参数）； 2.整理为； 3.解得定点 含参数的直线/圆过定点 2022年芜湖高二期末：将直线方程整理为，解得定点 2.定值问题解题策略 特殊值法：先取特殊位置（如切点为、弦垂直于x轴）求定值，再证明一般性。 代数消参法：设变量参数（如斜率、点坐标），通过运算消去参数得到定值。 高考真题模型：点在圆上，、斜率互为倒数，证明中点在定直线上 四、常考结论与二级结论（省时利器） 1.切线长公式：过圆外点作圆的切线，切线长 2.切点弦方程：过圆外点作圆的两条切线，切点弦方程为（与圆上点切线方程形式一致） 3.定点结论：过直线上动点作圆的切线，切点弦恒过定点（通过两圆方程相减推导） 4.距离定值：圆心到定直线的距离为定值，若直线与圆相交，则弦长为定值（由推导） 5.直径所对圆周角：若直线过圆的直径端点，则直线与圆上任意点（非端点）连线垂直（可用于证明垂直关系） 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：直线和圆相交求弦长及参数】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以所求弦长为. 故选：D 【例题2】（25-26高二上·湖北·期中）已知三点，记的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)若直线与圆交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程为，将三点代入得到方程组，求出，即可得到圆的方程； （2）先求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理求出弦长，即可求出的面积. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 将三点代入上式可得，， 解得， 所以圆的一般方程为 将其化为标准方程为； （2）由（1）可知，圆心，半径. 则圆心到直线的距离为， 所以， 故的面积为. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·上海·阶段练习）若直线与圆 相交于两点，且 (其中O为原点)，则的值为 . 【答案】 【分析】由得是等边三角形，从而得到圆心到直线的距离，然后由点到直线距离公式求解即可. 【详解】易知圆心即坐标原点，半径为，因为且， 所以为边长为的等边三角形， 所以的高线即圆心到直线的距离为，解得. 故答案为： 【相似题2】（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知直线与圆交于两点，写出满足“面积为”的的一个值 ． 【答案】（从中任选一个即可） 【分析】由圆心坐标得到圆心到直线距离。由垂径定理得到弦长与圆心到之间距离的关系，利用三角形面积建立方程，从而解得圆心到直线距离，然后即可解得的值. 【详解】圆心到直线的距离、 由于弦长，所以，解得或， 故或，解得或．因此，从中任选一个即可． 故答案为：（从中任选一个即可）. 【解题策略】 一、直线与圆相交求弦长的三大核心方法（含参数法） 方法1：几何法（垂径定理，最快捷） 核心原理：圆心到直线的垂线平分弦，构成“半径、弦心距、半弦长”的直角三角形，满足勾股定理，推导得弦长公式。 解题步骤： 1.确定圆的圆心和半径（从圆的标准方程/一般方程中提取）； 2.计算圆心到直线的距离（用点到直线距离公式，直线方程为）； 3.代入弦长公式计算，注意验证（确保直线与圆相交）。 例题：求直线截圆的弦长。 解：①圆心，；②；③。 方法2：代数法（联立方程+韦达定理，适用于求交点） 核心原理：联立直线与圆的方程，消元得一元二次方程，利用韦达定理求交点横坐标（或纵坐标）的和与积，再用弦长公式（为直线斜率）。 解题步骤： 1.联立直线与圆的方程：设直线（斜率存在），圆，代入得关于的一元二次方程； 2.计算判别式，确认（相交）； 3.用韦达定理得，； 4.代入弦长公式：若直线斜率为，则；若直线垂直x轴（斜率不存在），则。 例题：求直线截圆的弦长。 解：①联立得，整理为；②；③，；④，。 方法3：参数法（直线参数方程，适用于中点/距离关系） 核心原理：用直线的标准参数方程（具有几何意义：表示直线上动点到定点的距离）联立圆方程，弦长为两交点对应参数、的差的绝对值（）。 关键前提：直线标准参数方程形式为，其中： 是直线上定点； 是直线倾斜角（）； 是参数：表示动点到定点的距离，时动点在定点上方，时在下方。 解题步骤： 1.设直线的标准参数方程：选直线上易求的定点（如与x轴/y轴交点），确定倾斜角（由斜率得），写出参数方程； 2.代入圆的方程：整理为关于的一元二次方程（）； 3.用韦达定理得，； 4.计算弦长：（无需考虑斜率，直接用参数差的绝对值）。 例题：已知直线过点，倾斜角，求其截圆的弦长。 解：①直线标准参数方程：；②代入圆方程：，整理为；③，；④弦长。 二、参数解题的通用注意事项（避坑指南） 1.参数方程形式必须标准：若直线参数方程为（非标准），需先化为标准形式（令，，参数变为），否则无距离意义，弦长需乘以； 2.倾斜角的取值范围：，当直线斜率为负时（如），，而非； 3.韦达定理的符号：整理关于的方程时，需保证二次项系数为正（方便计算），若，可两边乘，避免、符号出错； 4.参数的几何意义延伸：若求弦的中点对应参数，可直接用（无需求交点坐标），适用于中点相关问题。 三、方法选择策略（高效解题） 题目特征 优先方法 原因分析 已知圆心、半径、直线方程 几何法 无需联立，计算量最小 需求交点坐标或斜率未知 代数法 直接关联交点坐标，适用性广 涉及弦中点、定点距离关系 参数法 利用的几何意义，简化计算 【题型二：最短弦长问题】 例题精选 【例题1】【多选】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆必相交 C．圆截轴所得弦长为 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BCD 【分析】由直线过定点判断A，由定点在圆内判断B，由弦长的计算判断CD即可. 【详解】对于A，由直线，整理可得， 令解得则直线过定点，所以A错误； 对于B，圆的圆心为，半径，由定点到圆心的距离为，得直线与圆必相交（当直线经过圆内一点时，直线与圆必相交；当直线经过圆上一点时，直线与圆必有公共点，即相交或相切），所以B正确； 对于C，由圆心为，得圆心到轴的距离为1，所以圆截轴所得弦长为，所以C正确； 对于D，当定点与圆心的连线垂直于直线时，截得的弦是最短的， 此时最短弦对应的弦心距为， 所以最短弦长为，所以D正确. 故选：BCD. 【例题2】（25-26高三上·湖北·开学考试）已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A．2 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心所在直线与垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】由题设即， 令得，所以直线过定点， 而即， 所以，即定点在圆内，且圆心为，半径为3， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心所在直线与垂直，此时. 故选：D 相似练习 【相似题1】【多选】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，下列说法正确的是（    ） A．圆心为 B．圆与轴、轴都相切 C．过点的直线被圆截得的最短弦长为 D．的最大值为 【答案】ABC 【分析】将圆的方程化成标准方程得圆心坐标可判断A；再根据直线与圆的位置关系判断B；先求得圆心到直线的距离的最大值，再用求得最短弦长即可判断C；令，由直线与圆有公共点求得的范围即可判断D. 【详解】列表解析｜直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 由，得，圆心为． B √ 因为圆的半径为2，圆心为，所以圆与轴、轴都相切． C √ 因为，所以点在圆内．设圆心到过点的直线的距离为，则，而被截得的弦长为，则弦长最短为. D × 令，则直线与圆有公共点，所以，解得，所以的最大值为． 故选：ABC. 【相似题2】（24-25高二下·湖南·期末）已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断直线过定点，根据点在圆内，即可判断取到最大以及最小值时的情况，即可求答案. 【详解】依题意，圆，圆心，半径为， 直线过定点，，故点在圆内， 当直线过圆心时，弦长最大，为直径， 当直线与垂直时，弦长最小， 此时的最小值为，故的取值范围为． 故答案为：． 【解题策略】 一、核心依据 弦长公式（为圆半径，为圆心到直线的距离），最短弦长对应最大弦心距。 二、高频场景解题步骤 场景1：过圆内定点的最短弦 1.求圆的圆心、半径； 2.计算到定点的距离（此为，因定点在圆内，过的直线中，与垂直的直线弦心距最大）； 3.代入公式：最短弦长。 例题：圆，过定点，求最短弦长。 解：①圆心，；②；③。 场景2：平行直线系（如）的最短弦 1.求圆心到直线系的距离； 2.确定（若直线系与圆相交，，通常由参数范围或几何意义确定，如直线过某区域时的最大距离）； 3.代入公式求。 例题：圆，直线系（与圆相交），求最短弦长。 解：①圆心，；②相交需，即，（趋近于2）；③趋近于（实际当时直线与圆相切，相交时最短弦长接近0）。 三、关键结论 过圆内定点的最短弦，必与“圆心和定点的连线”垂直；平行直线系的最短弦，对应直线到圆心的最大距离。 【题型三：直线和圆相切求切线方程】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）过点作圆：的切线，则切线方程为 ． 【答案】 【分析】易得点在圆上，则切线必垂直于切点与圆心的连线，进而求解即可. 【详解】因为，所以点在圆上， 故切线必垂直于切点与圆心的连线， 由，则圆心为， 则切点与圆心连线的斜率为，即切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 【例题2】（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）已知圆经过点，圆心在射线上，且直线被圆截得的弦长为. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设出圆的标准方程，根据条件列方程进行求解； （2）先判断点与圆的位置关系，再对过的切线进行有无斜率的分类讨论，进而求出切线方程. 【详解】（1）    因为圆心在射线上，设，其中. 设圆的标准方程为，其中 圆经过点，所以，化简得 圆心到直线的距离. 该直线被圆截得的弦长为，由垂径定理及勾股定理得，，化简得. 故，解得. 故圆的方程为. （2）点距离圆心的距离为，所以点在圆外. 过点作一平行于轴的直线，圆心到该直线的距离为，故此直线是圆的一条切线. 设过点作圆的另一条切线方程为，变形得. 圆心到该直线的距离为，即，解得. 故该切线方程为，即. 综上，过点作圆的切线方程为或. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，结合相切即可求解. 【详解】由于点，线段为的一条直径，故圆心,即，圆的半径为, 由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为， 由相切可得，化简可得， 故是方程的两个根，故 故选：D 【相似题2】（25-26高三上·安徽·开学考试）已知过点与圆相切的两条直线的夹角为α，则tanα＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，得到点到圆心的距离为，从而得到，由正切二倍角公式进行求解即可. 【详解】变形为， 故圆心为，半径为2，所以点到圆心的距离为， 则切线长为，所以，则. 故选：D． 【解题策略】 一、核心原理 切线性质：圆心到切线的距离=半径（），所有解法均基于此推导。 二、分场景解题步骤 场景1：过圆上一点求切线方程 前提：已知圆方程（标准式/一般式）、圆上点 1.写圆的标准式：设圆为（一般式需先化为标准式，求圆心、半径）； 2.代切线公式： 标准圆：切线方程为； 特殊圆（圆心在原点，）：切线方程为； 3.化简方程：整理为形式（可选）。 例：圆，圆上点，切线方程： →→。 场景2：过圆外一点求切线方程 前提：已知圆方程、圆外点（先验证：） 1.分情况设切线方程： 斜率存在：设切线为（整理为）； 斜率不存在：切线为（单独验证，避免遗漏）； 2.用求： 代入点到直线距离公式，解关于的方程； 3.得切线方程： 若方程有两解：对应两条斜率存在的切线； 若方程有一解：补充斜率不存在的切线（需验证是否满足）。 例：圆，圆外点，求切线： 1.斜率存在：设（），由，得，切线为； 2.斜率不存在：，验证（不满足，舍去）； 3.最终切线：、。 三、易错点提醒 1.过圆外点必漏“斜率不存在”的切线，需单独验证； 2.圆的一般式（）需先化为标准式求（）、； 3.验证切线：求出方程后，需确认圆心到直线距离等于半径（避免计算错误）。 【题型四：圆外一点引圆的两条切线，切线过定点问题】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆交于两点，且． (1)求． (2)过上且在圆外的一动点作圆的两条切线，切点分别为． （i）当点的坐标为时，求点的坐标； （ii）证明：直线过定点． 【答案】(1)2 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据圆心到直线距离与弦长，利用勾股定理直接计算即可得半径； （2）（i）结合（1）中结论可知，由点与圆的位置关系，利用对称性可求得点的坐标； （ii）由题意知在以为直径的圆上，其方程为，求出直线方程为，即可得直线过定点. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为． 点到的距离为， 所以． （2）（i）因为分别是过点的两条切线与圆的切点，所以点关于直线对称． 由（1）知点的坐标为， 则， 由得； 则，所以直线的方程为． 设，则； 解得， 即． （ii）设点． 由题意知，所以在以为直径的圆上，如下图所示： 以为直径的圆的方程为， 与作差，可得直线的方程为， 整理得， 由，解得 即直线过定点． 【例题2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求得其中一个切点的坐标，并求出的斜率即可求解. 【详解】由题意，圆的半径为圆的标准方程为． 当斜率不存在时，过点的直线为，与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，， 直线AB的方程为，即． 故选：A. 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为 . 【答案】8 【分析】根据圆的切线的几何性质及四边形面积公式可得四边形的面积，当取得最小值时，四边形的面积取得最小值，此时也取得最小值，再由点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】由题意，得圆的半径为4，， 所以， 四边形的面积， 所以当取得最小值时，四边形的面积取得最小值，此时也取得最小值， 由题意可知，的最小值是圆心到直线的距离， 因为，所以的最小值为2，四边形面积的最小值为8. 故答案为：8 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点记为，若存在四边形的面积为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四边形面积求得切线长，得出，从而得出圆心到直线的距离的范围，再结合点到直线距离公式可得参数范围． 【详解】易得圆心，半径，由图知， 则，此时， 则只需圆心到直线的距离，即存在四边形的面积为， 所以，即，解得． 故选：B．    【解题策略】 一、解题前提 1.定圆：（圆心，半径）； 2.圆外动点：含参数（如，为参数）； 3.目标：证过的切线恒过定点。 二、核心解题步骤（4步） 步骤1：设切线方程 斜率存在：，整理为； 斜率不存在：（后续验证）。 步骤2：用切线性质列等式 圆心到切线距离，代入距离公式： 平方整理为关于的二次方程： ——（*） 步骤3：代入定点并分离参数 在切线上，代入，再代入的参数表达式，分离参数： 例：代入得，整理为： ——() 步骤4：恒成立求定点 方程()对任意参数恒成立，参数系数及常数项均为0，列方程组求解： 例：，结合定圆条件得，验证斜率不存在的切线。 三、典型例题 已知：定圆，动点 求：切线恒过的定点 1.设切线（斜率存在）：； 2.列距离条件：，平方得； 3.代入：； 4.解方程组，得，，结合圆方程得； 5.验证：（斜率不存在的切线）过，且在圆外。 四、避坑要点 1.步骤2展开时注意，防符号错； 2.步骤3需彻底分离参数，否则无法列恒成立方程； 3.必验证斜率不存在的切线是否过定点。 【题型五：直线与圆的位置关系中的最值问题】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）若，求下列各式的取值范围 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1），由几何意义得表示圆弧上的点到距离的平方减1，利用图象求最值即可求解； （2）令，易得与圆弧边界相交时取得最小值，相切时取得最大值，利用圆心到直线的距离等于半径求解即可； （3）由得几何意义，表示圆弧上的点与点的斜率，结合图象求解即可； （4）由，而表示圆弧上的点与点的斜率，结合图象得到的范围即可求解. 【详解】（1）根据题意，表示以为圆心，半径为1的圆弧， ，表示圆弧上的点到距离的平方减1， 又，， 所以的最大值为，最小值为， 故的取值范围为. （2）令， 当直线与圆弧交于点时取得最小值； 当直线与圆弧相切，即圆心到直线距离， 解得或（舍），此时， 所以的取值范围为. （3）表示圆弧上的点与点的斜率， 根据图像可知斜率最小为，最大为， 所以的取值范围为. （4）， 而表示圆弧上的点与点的斜率， 根据图像可知斜率最小值为， 当直线与圆弧相切时取得最大值，设， 圆心到直线的距离，解得或（舍）， 所以的取值范围为. 【例题2】（24-25高三下·北京·阶段练习）已知圆 点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为 C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为 【答案】C 【分析】根据圆的几何性质和切线的条件，结合点到直线距离得出切线长最小值判断A，根据四边形面积计算判断D，C，再根据直线垂直计算得出斜率判断B. 【详解】圆心为 ，半径为.点 满足 ，即 . 设切线方程为 和 ，由圆的切线性质可知， 的最小值，出现在 最小时. 此时圆心到直线距离为：， 代入得 ，A选项错误； 四边形面积的最小值为，D选项错误； 四边形面积的最小值为，所以，C选项正确； 当最小时，，直线的斜率为， 因为此时，所以，弦AB所在直线的斜率为，B选项错误. 故选: C. 相似练习 【相似题1】（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知点P为直线上的一点，过点P作圆的切线PA，切点为A，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图像得到，问题转换成求最小值即可求解； 【详解】解：根据题意，圆其圆心为半径 过点P作圆的切线PA， 则 则 设圆心C到直线l的距离为d， 则 故 所以的最大值为 故选：A 【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）点在曲线上，求的取值范围. 【答案】 【分析】的取值范围转化为点到直线距离的5倍，结合点到直线的距离公式，数形结合即可求解. 【详解】如图， 曲线为圆的上半圆，圆心，半径为2，， 表示点到直线距离的5倍， 点A到直线的距离， 即直线与圆相离， 点B到直线的距离， 故的最小值为，的最大值为， 则的取值范围为. 【解题策略】 一、圆与点相关的最值（3类） 类型1：定点到圆上点的距离最值 核心原理：设定点，圆（为圆心，为半径） 最大距离： 最小距离：（在圆外：；在圆内：） 解题步骤： 1.提取圆心和半径； 2.计算； 3.代入公式求最值。 例：，圆（，）： ，最小距离，最大距离。 类型2：圆上点到两定点的距离和/差最值 （1）距离和最值（，A、B为定点） 核心原理： 若A、B在圆外：作关于圆心的对称点，则； 若在圆内，在圆外：。 解题步骤： 1.判断定点与圆的位置关系； 2.作对称点（或利用圆上点距离的最值公式）； 3.用两点间距离公式计算目标值。 例：圆（，），（圆内），（圆外）： ，，和的最小值取（舍去负结果）。 （2）距离差最值（） 核心原理：利用三角形两边之差小于第三边，最大值为（当在延长线与圆交点时取到）。 解题步骤： 1.计算； 2.验证延长线是否与圆相交，相交则最大值为。 例：圆，，：，差的最大值为。 类型3：圆上点坐标函数的最值（如、） 核心原理： 线性函数（）：转化为“直线与圆有交点”，的最值对应圆心到直线距离时的极值； 二次函数（）：用圆的参数方程、代入化简。 解题步骤（线性函数）： 1.设，整理为直线方程； 2.计算圆心到直线的距离； 3.解绝对值不等式，求的最值。 例：圆，求的最值： ，解得。 二、圆与直线相关的最值（3类） 类型4：直线到圆上点的距离最值 核心原理：设直线，圆心到的距离为： 最大距离： 最小距离： 解题步骤： 1.计算； 2.代入公式求最值。 例：直线，圆（，）： ，最小距离，最大距离。 类型5：圆外一点引切线的切线长最值 核心原理：切线长，的最值由的最值决定。 解题步骤： 1.求的最值（如在定直线上，为圆心到直线的距离）； 2.代入切线长公式求的最值。 例：在直线上，圆（，）： ，切线长最小值。 类型6：直线截圆的弦长最值 核心原理：弦长（为弦心距）： 最大弦长：（直线过圆心），； 最小弦长：最大（为圆心到直线的最大距离，如直线过定点，则）。 解题步骤： 1.求弦心距的取值范围； 2.代入弦长公式求最值。 例：过的直线截圆（，）： ，，最小弦长（切线）。 三、两圆相关的最值（1类） 类型7：两圆上点的距离最值 核心原理：设两圆、，圆心距： 外离/外切/相交：最大距离，最小距离； 内切/内含：最大距离，最小距离（内含时）。 解题步骤： 1.确定两圆圆心、和半径； 2.计算； 3.按两圆位置关系代入公式求最值。 例：圆（），圆（）： ，最大距离，最小距离（相交）。 【题型六：直线与圆相交中韦达定理的应用】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，（在上方），直线与圆交于，（在上方）．原点在圆内．设交轴于点，交轴于点． (1)当，，，时，分别求线段和的长度； (2)①求证：； ②猜想和的大小关系，并证明． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求出各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线和的方程，并求它们与轴的交点坐标，可得和的长度． （2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立；②猜测，分别求出点和点的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立． 【详解】（1）当，，，时， 圆，直线，由解得或， 故，； 直线，由解得或， 故，． 所以直线，令得，即； 直线，令得，即， 所以． （2）①由原点在圆内，知, 由得，即， 则，是上述方程的两个解，由根与系数的关系得， 同理可得， 所以. ②猜测，证明如下： 设点，， 因为三点共线，所以，解得， 又因为点在直线上，所以，点在直线上，所以， 所以， 同理因为三点共线，可得, 由①可知， 所以,即， 所以成立． 【例题2】（24-25高二下·上海崇明·期末）已知圆，直线． (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将圆的一般方程整理成标准方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，即可得解； （2）联立直线方程和圆的方程，根据韦达定理结合向量数量积的坐标运算可得，即可得解. 【详解】（1）由圆的一般方程可得标准方程，则，即. 所以圆心到直线的距离， 因为直线与圆相切，所以，解得，满足. 所以，. （2）由题意，联立可得， 设， 则，解得， 根据韦达定理可得， 则， 所以，满足. 所以，圆的半径满足，故. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）1；（ⅱ）过定点. 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据已知条件代入求即可； （2）（i）由可得，且，根据三角形面积公式和基本不等式求最大值即可；（ⅱ）设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理和斜率公式代入求出与的关系进而可得定点. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 由已知可得：，解得：，，， 所以圆的标准方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，因为，所以， 从而直线经过圆心，是直角三角形，且， 设，，则， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以. （ⅱ）由已知得：直线的斜率必存在， 设直线的方程为，，， 由，消去得：， 当时，，，（※） 又， 即， 代入（※）得：， 即，解得：，或， 当时，此时直线的方程为，过定点（舍去）， 当时，此时直线的方程为，过定点， 故当，动弦过定点. 【相似题2】（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图所示，圆与轴的交点分别为，过点的直线与圆交于两点. (1)记直线的斜率分别为，求的值； (2)设为直线与的交点，△，△的面积分别为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线与圆的方程可得韦达定理，根据圆的性质可得垂直关系，进而可得,即可利用解法一求解，或者直接利用两点斜率公式，代入韦达定理化简求解（解答二），或者设直线的方程为同解法二，代入韦达定理化简求解， （2）根据三角形的面积公式可得，即可根据不等式的性质求解. 【详解】（1）解法一：设由题知，． ①当直线的斜率不存在时，直线方程为，如图所示， 将，代入，解得，∴， ∴，∴． ②当直线的斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为， 设，则， 联立，消去得，， ∴，， 连接，由圆的性质可得，∴， ∴ ． 综上可得，． 解法二：由题知，． ①当直线的斜率不存在时，同法1． ②当直线的斜率存在时，同法1得∴， ∴ ． 综上可得，． 解法三：设直线方程为，则 联立，消去得， ∴，， ∴，整理得， ∴ （2）由（1）知，∴直线和直线方程分别为和， 联立，消去得，∴点在直线上，如图所示， f ∴ ∵，∴，∴． ∴的取值范围范围为． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 【解题策略】 一、核心前提（直线与圆相交的判定） 直线与圆相交⇨联立方程后一元二次方程的判别式，这是应用韦达定理的基础（确保有两个不同交点）。 二、韦达定理应用通用解题步骤（4步核心） 步骤1：联立直线与圆的方程（选合适的方程形式） 直线方程形式： ①斜率存在：设为（斜截式，便于代入消元）； ②斜率不存在：设为（垂直x轴，直接代入圆方程求）。 圆的方程形式： 优先用标准式或一般式（展开后易消元）。 操作示例：圆（一般式），直线（斜截式），联立得： 。 步骤2：消元整理为一元二次方程（关键：统一变量） 若直线为，代入圆方程后消去，整理为关于的一元二次方程： （，否则直线与圆平行或相切，无两交点）； 若直线为，代入圆方程后消去，整理为关于的一元二次方程： 。 操作示例：承接步骤1，展开并整理： ⇒（即，，）。 步骤3：计算判别式，确认相交并应用韦达定理 1.判相交：计算，若，继续；若，直线与圆不相交（无解）； 2.韦达定理：设方程两根为（交点横坐标），则： 若消元变量为，则对应，。 操作示例：承接步骤2，（说明此直线与圆不相交，需换直线，如换直线，重新联立得，，则，）。 步骤4：结合目标问题，代入韦达定理计算（分场景） 根据题目需求（求弦长、中点、交点关系等），用韦达定理的根与系数关系推导，无需直接求交点坐标。 三、三大高频应用场景（含例题步骤） 场景1：求弦长（最常用） 核心公式：弦长（为直线斜率，推导：，代入）。 例题：求直线截圆的弦长。 解题步骤： 1.联立得（，，）； 2.，韦达定理：，； 3.直线斜率，代入弦长公式： 场景2：求交点中点坐标 核心公式：中点横坐标，中点纵坐标（代入直线方程）。 例题：求直线与圆的交点中点。 解题步骤： 1.联立得⇒（，，）； 2.，韦达定理：； 3.中点横坐标，纵坐标，即中点。 场景3：求两交点的代数式值（如、） 核心思路：用代数变形将目标式转化为和的形式（如）。 例题：直线与圆相交于、，求（）。 解题步骤： 1.联立得⇒（，）； 2.由直线方程得，，则： 3.代入韦达定理结果：。 四、易错点总结 1.漏判判别式：直接用韦达定理而不验证，可能导致无解情况仍计算； 2.斜率不存在处理：直线时，弦长公式为，无需乘； 3.变量对应错误：消元后若得到关于的方程，计算弦长时需用（）。 【题型七：直线与圆中的定点定值问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）已知圆，过定点作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点. (1)过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值. (2)设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程;若不是，说明理由. 【答案】(1)7 (2)是， 【分析】（1）根据圆的标准方程写出圆心坐标和半径，设过点的直线l方程及与之垂直的直线的方程，根据点到直线的距离公式及圆截直线的弦长公式，分别写出两个弦长的表达式，再写出四边形面积并根据基本不等式求其最大值即可. （2）联立直线l方程与圆的标准方程，可得韦达定理.再写出的方程，联立并化简解得即可判断. 【详解】（1）已知圆，则圆心为，. 设直线，圆心到直线的距离， 则. 直线与直线垂直，则直线. 当时，. 当且仅当时S取到最大值7. 当时，，， 综上，当时S取到最大值7. （2） 设，记，，直线，. 联立直线和圆，得. 恒成立，，，， 可得直线 ，解得， 所以点N恒在定直线. 【例题2】（2025·湖北襄阳·三模）在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，且定值为 【分析】（1）先计算圆心到直线l的距离，再利用垂径定理计算即可； （2）设，与圆方程联立，利用韦达定理化简即可. 【详解】（1）依题意，得直线，即， 则圆心到直线l的距离，所以． （2）依题意，直线l的斜率存在且不为零，设，， 联立，得， 则，， 所以 ， 所以是定值，且定值为． 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中．点，直线，．圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)当直线与圆相切时，求实数的值． (3)若直线与圆相交于两点，当变化时，是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出一个的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)为点时，为定值 【分析】（1）设圆心坐标为 ，由题意可得，且，可求得圆心坐标与半径，进而可求得圆的方程； （2）由题意可得，求解即可； （3）由题意可得直线经过定点，设过的直线与圆的切点为， 可得，当为定点，符合题意. 【详解】（1）设圆心坐标为 ，因为圆心在直线 上， 则， 因为利用圆经过点和，所以， 两边平方后得， 整理得，又，解得，，所以圆心为， 的以圆的半径， 所以圆的标准方程为； （2）因为， 由题意可得 的距离为，所以 两边平方，化简得，解得或； （3）直线的方程为 即， 由，解得，所以直线经过定点， 又，所以点在圆外， 设过的直线与圆的切点为， 则有，又， 所以 所以当为定点时，为定值. 【相似题2】（22-23高二上·四川南充·阶段练习）已知圆和点． (1)过作圆的切线，求切线的方程； (2)过作直线l交圆于点两个不同的点，且不过圆心，再过点分别作圆的切线，两条切线交于点，求证：点在一条定直线上，并求出该直线的方程． 【答案】(1)和； (2)证明见解析，. 【分析】（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况求切线方程即可； （2）设，，，根据，得到，再结合，得到，同理得到，即可得到直线的方程为，再根据在上，即可得到点的轨迹方程； 【详解】（1）当斜率不存在时，显然与圆相切； 当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， ∴，解得，则，整理得 综上，切线方程为和． （2）设，，，，， ∴由，则，即，又，故, 同理，∴直线为，又在上， ∴，故恒在直线上． 【点睛】关键点点睛：（1）过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况； （2）求动点轨迹时，主要是要利用题目中的条件取列等式，然后利用等式去导出动点横纵坐标的关系； （3）存在，使为定值，关键在于对任意点都要满足，也就是等式的成立跟，的值无关，将等式整理成关于，的等式，让，的系数等于零，同时保证等式成立，解方程，有解则存在，无解则不存在． 【解题策略】 一、定点问题（核心：找“参数无关”的恒过点） 核心原理 定点是指：含参数的直线/圆，无论参数取何值（满足题意），始终经过的某一固定点（坐标不含参数）。解题关键是“消去参数影响”，常用特殊值法（探路）和方程恒成立法（验证）。 解题步骤（通用3步） 步骤1：设含参数的方程（直线/圆） 若为“直线过定点”：设直线方程，含1个参数（如斜率、截距），形式如： 斜截式：（含参数，如）； 一般式：（为参数，A、B为关于的整式）。 若为“圆过定点”：设圆的方程，含参数（如圆心坐标、半径含参数），形式如。 步骤2：用“特殊值法”探定点（快速定位） 取参数的2个特殊值，代入方程得2条特殊直线/圆，求其交点——该交点即为“疑似定点”（排除参数影响的唯一解）。 例：若直线含参数，取（水平直线）、（斜率为1的直线），联立两直线方程求交点。 步骤3：验证“恒成立”（确认定点） 将“疑似定点”代入原含参数的方程，验证方程对任意参数均成立；或直接整理原方程为“参数×整式1+整式2=0”，令“整式1=0”且“整式2=0”，解方程组得定点（无需特殊值探路，更严谨）。 典型例题（直线过定点） 例题：已知圆，圆外动点（为参数），过作圆的切线，证明切线恒过定点。 解题步骤： 1.设切线方程：斜率存在时，设切线为，整理为： （含参数和）； 2.利用切线性质列等式：圆心到切线距离=半径2，即： ，平方得：； 3.整理为恒成立形式：展开并按参数整理： ⇒； （或换思路：设切线过定点，代入切线方程得，整理为）； 4.恒成立求定点：令参数和的系数均为0： ，解得，； 结合切线性质验证，最终得定点（验证：代入切线方程，对任意恒成立）。 二、定值问题（核心：证明“量与参数无关”） 核心原理 定值是指：某个几何量（如距离、斜率乘积、面积、线段比值等），无论参数（如动点位置、直线斜率）如何变化，其值始终为常数。解题关键是“消去参数”，常用特殊位置探路（先求定值）和代数消参法（再证一般性）。 解题步骤（通用3步） 步骤1：设参数，表达目标量 设影响目标量的参数（如动点坐标、直线斜率、参数等）； 用参数表示出目标量（如斜率乘积、面积、距离等），建立目标量与参数的关系式。 步骤2：特殊位置探定值（减少计算量） 取参数的特殊值（如动点为圆的顶点、直线垂直/平行于坐标轴、参数=0等），计算目标量的值，得到“疑似定值”（后续证明此值恒定）。 步骤3：代数消参，证明一般性 利用圆的方程、韦达定理、几何性质（如垂径定理、切线性质）等，对目标量的表达式进行化简，消去所有参数，最终得到步骤2中所求的“疑似定值”，即证明完成。 典型例题（斜率乘积为定值） 例题：已知圆，过点的直线与圆交于M、N两点，证明：（为原点）为定值。 解题步骤： 1.设参数与目标量：设过的直线为（为参数），、，目标量； 2.特殊位置探定值：取直线垂直x轴（不存在），直线为，代入圆方程得，即、，则（疑似定值）； 3.代数消参证明： ①联立直线与圆方程：，整理为； ②韦达定理：，； ③计算； ④目标量：（与参数无关，定值得证）。 三、方法总结与易错点 问题类型 核心方法 易错点提醒 定点问题 特殊值探路+恒成立验证 漏验证斜率不存在的直线；参数整理不彻底 定值问题 特殊位置探值+代数消参 特殊位置选得复杂（如非对称点）；消参时计算错误 【题型八：直线与圆的位置关系与平面向量结合】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）已知圆C：，直线l：，若直线l与圆C交于A，B两点，且满足，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到圆心和半径，根据求出，故点C到直线l的距离为，利用点到直线距离公式得到方程，求出. 【详解】根据题意，圆C的圆心为，半径为4，直线l：， 因为，其中，所以， 解得，可得， 所以点C到直线l的距离为，则， 可得（舍）或. 故选：D. 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）已知过点和，且圆心在直线上，为的直径，若直线：上存在点满足，则最大值与最小值之和为 ． 【答案】 【分析】设，半径为，根据题意可得到圆的方程，由，计算解得，根据圆心到直线的距离，解得答案． 【详解】设，半径为，设圆的方程为， 又过点和，则，解得 所以的方程为． 由，则，解得， 则圆心到直线的距离，解得， 故的最大值与最小值之和为． 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知，点在轴上运动，点在圆上运动，则的模的最小值是 ． 【答案】 【分析】设点、，可得出，则的模可视为圆上的点到直线上一点的距离，数形结合以及利用圆的几何性质可求其最小值. 【详解】设点、，则，，易知圆心为，半径为， 所以， 则， 则的模可视为圆上的点到直线上一点的距离，如下图所示： 由图可知，当直线与直线垂直且为线段与圆的交点时， 取最小值，且其最小值为，故模的最小值为. 故答案为：. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）是半径为5的圆上的定点，是圆上的动弦，且弦长为6，则的最大值为（    ） A．30 B．36 C．54 D．60 【答案】D 【分析】取中点，，由射影可得最大值. 【详解】如图，取中点，则 ． 由图可知，射影． 当时，为最大值， 故选：D. 【解题策略】 一、向量条件转化核心表（精简版） 向量条件 代数/几何转化结论 （坐标：） （如⇨在圆上） 坐标化：（常与定值结合） 二、通用解题步骤（3步） 1.向量转坐标：设点坐标（圆心、圆上点等），将向量条件转化为坐标等式； 2.联线圆方程：设直线（）或圆方程（标准/一般式），联立得方程或算圆心到直线距离； 3.用性质求解：判位置关系（与、）、求定值（韦达定理消参）、算长度（弦长公式）。 三、高频场景解题示例 场景1：向量垂直→切线判定 例：圆，直线过，对圆上有，判与位置关系。 解： 1.转坐标：，，得； 2.化简方程：结合圆方程消二次项，得； 3.算，故相交。 场景2：向量数量积→定值 例：圆，直线交于$A、B$，证为定值。 解： 1.转目标：； 2.联立：，得； 3.算，故数量积（定值）。 场景3：向量模长→直径性质 例：圆半径2，，圆上$A、B$满足，求到的距离。 解： 1.转弦长：，故为直径； 2.得结论：圆心在上，距离为0。 四、常考结论（高频实用） 1.切线向量结论：若为圆上一点，则切线满足（为上任意点），且切线方程为（坐标：）； 2.直径向量垂直：若为圆直径，则对圆上任意，有（直径所对圆周角为直角）； 3.弦中点向量结论：若为圆弦的中点，则（垂径定理的向量表达，坐标：）； 4.数量积定值结论：设圆，定点，则圆上点满足，结合圆方程化简得定值（含$a、b、r$）； 5.向量模长最值：圆半径，定点，圆上点则，（向量模长即两点距离）。 【题型九：直线与圆的实际应用】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【答案】(1)作图见解析 (2)不会有触礁危险，理由见解析 【分析】（1）根据方位角的概念直接在图中标出即可. （2）建立平面直角坐标系，求出航线的直线方程及圆的方程，利用判别式法判断直线与圆的位置关系，即可判断. 【详解】（1） （2）以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为， 轮船所在位置坐标为， 则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线的方程为即， 由，得， 由，可知方程组无解． 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 【例题2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】(1) (2)该船没有触礁的危险． 【分析】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【详解】（1）依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【答案】(1)游客不在该摄像头监控范围内 (2)观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米 【分析】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线方程，判断直线与圆的位置关系即可； （2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点的直线与圆相切时的直线方程即可. 【详解】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系 则，观景直道所在直线的方程为， 依题意得：游客所在点为， 则直线的方程为，化简得， 所以圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所以游客不在该摄像头监控范围内. （2）由图易知：过点的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡， 所以设直线过且恰与圆相切， ①若直线垂直于轴，则不可能与圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 设这两条直线与交于， 由，解得，由，解得， 所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米. 【相似题2】（24-25高二上·浙江·期中）某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响. (1)若此人刚好不被台风影响，求的最大值； (2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？ 【答案】(1)； (2)小时. 【分析】（1）由题设知，骑行路线正好与圆相切时此人不被台风影响，此时角最大，结合已知求最大的正切值即可. （2）写出此人骑行方向为北偏东所在直线的方程，再利用弦心距、圆的半径与弦长的几何关系求该直线被圆所截弦长，即可求此人被台风影响持续时间. 【详解】（1）由题意，如图，圆是以坐标原点为圆心，为半径的圆， 要使此人不被台风影响，骑行路线正好与圆相切时，角最大， 由，，则，知，则最大. （2）由题意，骑行路线所在直线方程为，圆心到直线的距离为， 该直线与圆相交的弦长为， 即此人被台风影响持续时间为.    课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A．±2 B． C．2 D．2 2．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则（　　） A．2 B．2 C．2 D．3 3．（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 4．（2024高三·全国·专题练习）过点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B．或 C． D．或 5．（25-26高三上·广东·开学考试）是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·福建泉州·模拟预测）已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知是直线l：上一动点，过作圆O：的两条切线，切点分别为，则的大小可能为（    ） A． B． C． D． 10．（2025高二·全国·专题练习）（多选）已知圆和直线，则下列说法中正确的是（    ） A．直线与圆的位置关系无法判定 B．当时，圆上的点到直线的最远距离为 C．当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时， D．如果直线与圆相交于，两点，则弦的最短长度为 三、填空题 11．（24-25高二上·重庆秀山·阶段练习）若直线与曲线()有一个交点，则实数k的取值范围是 . 12．（25-26高二上·全国·课后作业）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ． 13．（25-26高二上·江苏常州·阶段练习）已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 . 14．（2025高二·全国·专题练习）已知圆，斜率为1的直线与交于，，以为直径的圆过原点，则直线的方程为 ． 15．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知实数、、、满足：，，，则的最小值为 . 四、解答题 16．（24-25高二上·北京顺义·期中）圆（圆心为整数点）经过，，且满足_________ ①与直线相切      ②经过点      ③圆心在直线上． 请从以上三个条件中选择一个条件填到横线上完成下列问题 (1)求圆的方程； (2)过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 17．（2025高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为.求证：直线过定点. 18．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的一般方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C C A B B AB BCD 1．A 【分析】由直线和圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为， 所以， 化简得，解得. 故选：A. 2．B 【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式求解即可. 【详解】设圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式得， 因为圆的半径为2，所以， 故选：B 3．C 【分析】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【详解】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设圆的半径为，在中利用勾股定理可得， 即，解得； 易知， 在中，易知，即，解得. 故选：C 4．C 【分析】根据两点坐标求距离公式判断在圆上，结合直线与圆的位置关系计算即可求解. 【详解】， ，圆心坐标为， ，即在圆上， 则过点的切线方程为， 整理得. 故选：C 5．C 【分析】利用几何法先判断直线与圆的位置关系，进而利用圆心到直线的距离减去半径即可求解. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径． 因为到直线的距离， 当且仅当时等号成立，所以直线与该圆相离， 所以的最小值为． 故选：C． 6．A 【分析】令，把问题转化为直线与圆的位置关系问题，进而利用点到直线距离公式即可求解. 【详解】因为实数满足，所以点在圆上， 圆心，半径. 设，则点在直线上，所以直线与圆有公共点. 如下图所示：    所以圆心到直线的距离，即，解得， 则的取值范围为. 故选：A 7．B 【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可. 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，则，解得， 即r的取值范围是. 故选：B. 8．B 【分析】的几何意义为直线的斜率，再根据直线与圆得交点即可得出答案. 【详解】设，变形得， 于是的几何意义为圆上点与定点连线的斜率， 圆的圆心为，半径为， 由是圆上任意一点，得圆与直线有公共点， 因此圆心到直线的距离不大于圆的半径， 则，解得， 所以的最小值为. 故选：B 9．AB 【分析】因为，由分析的最大值，结合选项做出判断. 【详解】因为，， 当时，取得最小值，最大，所以也最大. 此时，，解得， 所以最大值为， 所以C，D错误；A，B正确． 故选：AB. 10．BCD 【分析】选项A，通过变形直线方程，得到直线恒过定点，从而判断直线和圆相交；选项B，根据圆的性质即可判断；选项C，由题可得圆心到直线的距离为1，根据点到直线距离公式即得；选项D，当过圆心和定点的直线与直线垂直时，弦的长度最短，即可判断. 【详解】对于A，由直线的方程可得，则直线恒过定点，此点在圆内，所以直线与圆相交．故A错误． 对于B，当时，直线的方程为，圆，即，可知半径． 设圆心到直线的距离为，则， 所以圆上的点到直线的最远距离为．故B正确． 对于C，当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时，圆心到直线的距离为1，由，得．故C正确． 对于D，直线恒过定点，当过圆心和定点的直线与直线垂直时，弦的长度最短，即，故D正确． 故选：BCD． 11． 【分析】利用数形结合思想来判断交点情况，就可以得到斜率的取值范围. 【详解】由曲线平方得：， 可得上述方程曲线表示半圆， 再由直线变形得：，从而可知：直线过定点， 如图    当直线与圆相切时有一个交点，此时由圆心到直线的距离等于半径可得： ，解得：或（由图可知，舍去）， 当直线过点时，可得，解得， 当直线过点时，可得，解得， 由直线可知，表示直线的斜率，结合图形要有一个交点， 则斜率满足或， 故答案为：. 12． 【分析】弦即为点所对应的切点弦，可采用“留一代一”法直接写出方程；也可根据先求出直线AB斜率，再求方程. 【详解】  方法一：直接在一般式方程里用“留一代一”：需注意“Ey”要代成“”，切点弦所在直线方程为，整理得．   方法二：将方程化为标准形式得，根据“留一代一”可知，所求切点弦所在直线方程为，即． 方法三：将方程化为标准形式得，观察圆的方程和点坐标可知， 过点且与圆相切的两条直线中，有一条斜率不存在，此时切线方程为， 将代入圆的方程中得，故此直线与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，，． 又直线过点，直线的方程为，即． 故答案为：． 13． 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定其圆心和半径，再根据两点距离公式，得，再根据圆的切线性质可得，结合二次函数性质即可求得其最小值. 【详解】由圆，得， 故圆心，半径， 又已知直线，点在直线上，设点， 则， 由圆的切线性质可得，，    当且仅当时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 14．或 【分析】先设出直线方程，然后联立直线与圆的方程，得到交点坐标的关系，再根据以为直径的圆过原点得出向量垂直的条件，进而求解直线方程. 【详解】直线的斜率为1，设直线的方程为，联立，得， 设，，则，， 又直线与圆有两个交点，判别式，解得， 以为直径的圆过原点，，，即， ，即，解得或， 符合题意的直线有两条，其方程分别为或． 故答案为：或. 15． 【分析】设，，根据给定条件可得为单位圆上两点，且，再利用的几何意义列式，结合三角函数恒等变换求得最小值. 【详解】设，，由，，可得、在单位圆上， 又，可得，可得. 设直线，则所求即为. 设，，， 结合图象，当时，、在同侧. 先考虑同侧，所求即为 ，而， 取值范围是， 所以所求式最小值在取到，此时最小值为. 再考虑异侧（含或在上），此时， 所求即为 ， 而，取值范围是， 因此所求式最小值为，在或时取到. 故答案为：. 16．(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可得线段的中垂线方程为，设圆心.若选①：结合相切关系列式求解即可；若选②：根据圆的定义列式求解即可；若选③：将代入直线运算即可； （2）求出圆的标准方程得圆心坐标和半径，由弦长求得圆心到直线的距离，分类讨论，斜率存在时设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数值得直线方程，斜率不存在时检验． 【详解】（1）因为，的中点为，且， 则线段的中垂线方程为，即， 可设圆心，则. 若选①：因为圆与直线相切， 注意到位于直线的同侧， 则，解得， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 即圆心，半径， 所以圆的方程为； 若选②：因为圆经过点， 则，解得， 即圆心，半径， 所以圆的方程为； 若选③：因为圆心在直线上， 则，解得， 即圆心，半径， 所以圆的方程为. （2）因为直线l被圆C截得的弦长为6， 则圆心到所求直线的距离为. 当直线l斜率不存在时，直线l方程为，满足题意； 当直线l斜率存在时，设直线l为：，即， 则，解得，此时直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. 17．证明见解析 【分析】设点，根据题意得到和的关系式，并推导出四点共圆，求出该圆的方程，与所在的另一个圆的方程联立，即可得到所在直线的方程，最后求解定点即可. 【详解】设点，则，， 由过点作圆的切线，切点为可知，， 可得四点共圆，为该圆直径， 该圆圆心为中点，半径长为， 因此四点确定的圆的方程为， 即，， 又因为也在圆上，联立可得， 从而圆的切点弦所在直线的方程为， 变形得，得，即， 联立方程，解得， 故直线过定点，定点坐标为. 18．(1) (2)13 【分析】（1）由直线系方程求出定点，再由圆心到直线的距离求出半径即可得解； （2）设过点的直线方程，代入圆的方程，利用韦达定理及弦长公式 即可得解. 【详解】（1）由可得， 当时，解得， 故直线恒过定点， 所以圆心到切线的距离， 即圆的半径为2, 所以圆的方程为：， 故圆的一般方程为 （2）点到圆心的距离，故点在圆外， 如图， 过点的直线与圆相交时斜率存在，故设过点的直线方程为， 代入圆的方程可得， 当时， 设，， 则， 所以 . 即为定值13. 1 学科网（北京）股份有限公司 $