5.2 二次函数的图像和性质(2) 导学案 2025-2026学年苏科版（2012）数学九年级下册

该初中数学导学案聚焦二次函数y=ax²的图像和性质，引导学生通过观察上节课所画y=0.5x²、y=2x²等函数图像，比较共同点与不同点，构建前后知识联系，以学习支架形式逐步抽象出函数性质。 资料突出数形结合思想，通过图像观察与对比分析，培养学生几何直观与抽象能力，练习设计从基础到实际应用，如刹车距离问题提升模型意识，自主总结性质过程发展推理意识，助力学生高效掌握知识并提升数学素养。

5 .2二次函数的图像和性质 【学习目标】 1. 经历探索二次函数y=ax²性质的过程，进一步.体验数形结合的思想方法. 2. 能说出二次函数y=ax² 的图像的开口方向、顶点坐标、对称轴及函数的增减性性质. 【学习过程】 活动1: 观察上节课所画的二次函数 y=0.5x2、y=2x²与y=-0.5x2 、y=-2x² 的图像有哪些共同点和不 同点? (两个角度) 相同点 不同点 若函数表达式为y=ax²呢，列举出a取值不同时函数图像的情况 我得出的结论 数学认识： 课 时 练 习 1. 分别说出这些函数的开口方向、对称轴、顶点坐标： y=x2,y=-3x²,y=5x2²,y=x2 2. 填 空 ： ( 1 )当x>0时，函数y=-7x2的值随着自变量x的增大而 ; 当x 时 ， 函 数 值 最 , 最值是 ( 2 )当x<0时 ，数 y=x2的值随着自变量x的增大而 ;当x 时，函数值最 , 最 值 是 . 课 堂 小 结 ： 谈谈你这 一 节课学到了什么? 课后练习 1.在同一平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图像： (1)y=3x²; (2)y=x2 2.根据第1题所画的函数图像填空： (1)二次函数y=3x² 的图像的顶点坐标是 ,对称轴是 , 当x= 时，函数值最 , 最 值 是 ; (2)二次函数 y=x2的图像的开口向 , 当x= 时，函数值最 最 值是 , 当x<0 时，二次函数y=x2的值随自变量x的增大而 3.不画图像，分别写出二次函数y=-4x2和y=0.25x2的图像的开口方向、顶点坐标和对称轴. 4.已知二次函数y=ax²的图像经过点(- 1,3),试确定它的开口方向，并求出a的值 . 5.已知点A(-1,y₁)、B(-2,y₂)、C(- ,y₃) 都在二次函数y=4x²的图像上，试比较y1、y2、y3 的大小关系. 6.研究表明，某汽车晴天在公路上行驶时，速度v(km/h) 与汽车的刹车距离s(m) 之间的关系可用函数表达 s=v² 表示. (1)当v分别为50 km/h 、100km/h时，求相应的刹车距离s; (2)画出s=v²的图像. 7.在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数y=x² 、y=0.5x2 y=3x² 的图像(如图).其中图像①相应的函数表达式是 , 图像②相应的函数表达式是 , 图像③相应的函 数表达式是 .你能根据观察图像所得的结论，说明y=x²(a>0) 的系数a 对图像形状的影响吗? 活动1：二次函数y=ax2图像的共同点与不同点 相同点 图像均为抛物线，顶点坐标均为(0,0)，对称轴均为y轴（直线x=0）。 不同点 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。 开口宽窄：|a|越大，抛物线开口越窄；|a|越小，抛物线开口越宽。 结论（y=ax2的性质） 课时练习 1. 画图或根据函数表达式可知函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标 2. 填空题 （1）观察函数表达式可知当x>0时，函数y=−7x2的值随着自变量x的增大而减小；当x=0时，函数值最大，最大值是0。 （2）观察函数表达式可知当x<0时，函数的值随着自变量x的增大而减小；当x=0时，函数值最小，最小值是0。 课后练习 1. 2. 根据图像填空 （1）二次函数y=3x2的顶点坐标是(0,0)，对称轴是y轴，当x=0时，函数值最小，最小值是0。 （2）二次函数的开口向下，当x=0时，函数值最大，最大值是0；当x<0时，函数值随x的增大而增大。 3. 不画图直接写出性质 观察函数表达式可知 y=−4x2：开口向下，顶点坐标(0,0)，对称轴y轴。 y=0.25x2：开口向上，顶点坐标(0,0)，对称轴y轴。 4. 确定二次函数的开口方向及a的值 将点(−1,3)代入y=ax2，得3=a(−1)2，解得a=3。 ∵ a=3>0，∴ 开口向上。 5. 比较函数值大小 点A(−1,y1)、B(−2,y2)、C(−2,y3)在y=4x2（a>0，对称轴右侧y随x增大而增大，左侧反之）上： 计算各点横坐标绝对值：|-1|=1，|-2|=2，。 ∵ 2>1.414>1，且a>0时，|x|越大，y值越大，∴ y2>y3>y1​。 6. 刹车距离问题 （1）当v=50 km/h时，； 当v=100 km/h时，。 （2）图像略 7. 图像与函数表达式的对应关系 图像①：y=3x2（开口最窄，|a|最大）； 图像②：y=x2（开口中等，|a|=1）； 图像③：y=0.5x2（开口最宽，|a|最小）。 结论：当a>0时，|a|越大，抛物线y=ax2开口越窄；|a|越小，开口越宽。 学科网（北京）股份有限公司 $