第二十一章 一元二次方程单元综合教学反馈 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章一元二次方程单元综合教学反馈 一、选择题：本大题共10小题，共30分。 1.方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为    A. 3，，1 B. 3，1， C. 3，， D. 3，4，1 2.方程的根是    A. B. C. ， D. ， 3.用配方法解方程，变形后的结果正确的是    A. B. C. D. 4.方程的根的情况是    A. 有两个相等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 5.两个连续偶数的积为120，若设较小的偶数为x，则可列方程为    A. B. C. D. 6.若是一元二次方程，则m的值为    A. 2 B. C. D. 7.有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有81台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染x台电脑，则下列方程正确的是    A. B. C. D. 8.若是方程的一个根，则c的值为    A. B. C. D. 9.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是    A. B. C. D. 10.在▱ABCD中，AB，BC的长分别等于一元二次方程的两根之和与两根之积，则对角线AC的长的取值范围是    A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，共15分。 11.方程的解为          . 12.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是          . 13.若实数a，b是一元二次方程的两根，则          . 14.若矩形的面积为12，长和宽的比为，则矩形的周长为          . 15.如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数如12，13，14，19，20，21，26，27，若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为161，则这9个数中最小数为          . 三、计算题：本大题共2小题，共6分。 16.解方程： ； 四、解答题：本大题共14小题，共55.5分。 17.已知关于x的方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根． 18.公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． 求该品牌头盔销售量的月增长率． 若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 19.如图1，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成． 要使所围矩形猪舍的面积达到，求猪舍的长和宽； 农户想在现有材料的基础上扩建矩形猪舍，使其面积达到，小红为该农户提出了一个意见：“为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门就行．”如图2，请通过计算求小红设计的猪舍的长和宽． 20.已知关于x的一元二次方程有两个实数根． 求m的取值范围； 设p是方程的一个实数根，且满足，求m的值． 21.如图是一张长12dm、宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒． 无盖长方体纸盒盒底的长为          dm，宽为          dm；用含x的式子表示 若要制作一个底面积是的无盖长方体纸盒，求剪去的正方形的边长 22.【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为…① 解方程①可得， 当时，，； 当时，， 原方程的解为，，， 【解决问题】 在由原方程到方程①的过程中，是利用换元法达到          的目的填“降次”或“消元”，体现了数学的转化思想． 请仿照材料的方法，解下列方程： ①； ② 23.综合与实践：阅读材料，并解答以下问题． 【学习研究】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记录了关于一元二次方程的几何解法，以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图1中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形的面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程表示边长，，即 这种数形结合的方法虽然只能得到原方程的其中一个正根，但是由新方程可以得到原方程的另一个根是          . 【类比迁移】根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根．写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图，标明各边长 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造如图2所示的图形求解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么          ，          ，方程的一个正根为          . 答案和解析 1.【答案】A  【解析】略 2.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程. 直接利用因式分解法即可求解. 【解答】 解：， 即或， 解得， 故选 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法是解题的关键．利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答． 【解答】 解：， ， ， 4.【答案】B  【解析】略 5.【答案】B  【解析】【分析】 此题考查了由实际问题抽象一元二次方程，对于连续偶数之间的关系，在做此类问题时，一定要清楚两个连续偶数之间的关系是相差2，所以明白了这个关系，再根据实际的要求，列出方程即可. 【解答】 解：设较小的偶数为x，则另一个偶数为， 根据题意得： 6.【答案】B  【解析】解：由题意得：， 解得： 故选： 根据一元二次方程的定义进行求解即可． 本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知一元二次方程的定义：一般地，形如、b、c都是常数，的方程叫做一元二次方程． 7.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查的是由实际问题抽象出一元二次方程的有关知识，设每轮感染中，平均一台电脑可以感染x台电脑，根据题意列出方程即可. 【解答】 解：设每轮感染中，平均一台电脑可以感染x台电脑， 由题意得 8.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键.根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和为2，求出另一个根为，再利用两根之积即可求出c的值. 【解答】 解：方程的两根之和是2，所以另一根为， 所以 9.【答案】D  【解析】解：设有x个队参赛，则 故选： 设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程． 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解． 10.【答案】D  【解析】略 11.【答案】，  【解析】略 12.【答案】且  【解析】解：由题意可知：， ， ， 且， 故答案为：且； 根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案． 本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 13.【答案】5  【解析】略 14.【答案】  【解析】略 15.【答案】7  【解析】略 16.【答案】【小题1】 解：配方，得， 由此可得，， 【小题2】 解：整理，得 因式分解，得， 即 于是得，或，，   【解析】 略  略 17.【答案】解：将代入方程，得，解得 原方程为 因式分解，得， 解得， 方程的另一个根为   【解析】略 18.【答案】【小题1】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：，不合题意，舍去 答：该品牌头盔销售量的月增长率为 【小题2】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．   【解析】  本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据6月份销售量月份销售量建立方程，解方程即可得；   设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，根据利润售价-进价销售量建立方程，解方程求出y的值，再选择较小的y的值即可． 19.【答案】【小题1】 解：设矩形猪舍垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为，且，即 依题意，得， 整理，得， 解得不符合题意，舍去， 答：猪舍的长为10m，宽为 【小题2】 设矩形猪舍垂直于墙的一边长为ym，则平行于墙的一边长为，且，即 依题意，得，整理，得， 解得不符合题意，舍去， 答：小红设计的猪舍的长为10m，宽为   【解析】 略  略 20.【答案】【小题1】 解：关于x的一元二次方程有两个实数根 ， 解得； 【小题2】 解：是方程的一个实数根，则，则， 则，即， 解得：舍去或 故m的值为   【解析】  本题考查了方程的根的定义以及根的判别式． 若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．   p是方程的一个实数根，则，则，代入，求得m的值． 21.【答案】【小题1】 【小题2】 依题意，得， 整理，得， 解得，不合题意，舍去 答：剪去的正方形的边长为   【解析】 略  略 22.【答案】【小题1】 降次 【小题2】 ①设， 则原方程可化为 解方程，得， 当时，，； 当时，，此方程无解． 原方程的解为， ②设， 则原方程可化为 解方程，得， 当时，，，； 当时，，此方程无解． 原方程的解为，   【解析】 略  略 23.【答案】【小题1】 【小题2】 将方程变形为， 画四个长为x，宽为的矩形，按如图3所示构造一个“空心”大正方形， 则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形的面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程 表示边长，，即 【小题3】 2   【解析】 略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $