第一章 数 与 式 课件 2026年中考数学一轮专题复习（河北）

该初中数学中考复习课件系统梳理了实数的分类、相关概念、科学记数法等8大中考核心考点，严格对接中考说明，通过“每年必考”“5年4考”等标注明确考点权重，按“考点清单解读+题型示例+衍生题”归纳7大常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件特色在于“真题训练+应试技巧”深度融合，如链接河北中考突破重难题型，用“易错题警示”强调符号分类讨论等关键，以实数运算中“先定符号后运算”的顺序为例，培养学生运算能力与推理意识，帮助学生掌握答题技巧，为教师中考复习教学提供系统指导。

第三节 代数式与整式 中考考点清单解读 ● 中考考点清单解读 ● 链接河北中考·突破重难题型 目 录 第三节 代数式与整式 ［人教］ 七上第二章 P53～76，八上第十四章 P94～125； ［冀教］ 七上第三、四章 P95～144，七下第八章P68～92，第十一章 P141～156； ［北师］ 七上第三章 P77～104，七下第一章 P1～36，八下第四章 P91～106 对接版本 中考考点清单解读 返回目录 第三节 代数式与整式 ■考点一 代 数 式（5 年 4 考） 1. 代数式：用运算符号连接数和①____ 组成的式子叫做代数式.单独的一个数或一个表示数的字母也是代数式. ①找出题中的数量关系及公式； ②抓住关键词语，如多、少、大、小、增长、下降等. 2. 列代数式 表示数量关系 字母 代 数 式 3. 代数式的意义 ①3+a 的意义是 3 与 a 的和； ②c（a+b）的意义是 c 与 a 与 b 的和的积. 中考考点清单解读 返回目录 第三节 代数式与整式 直接代入法：把已知字母的值直接代入求解. 4. 代数式 求值 代 数 式 整体代入法 利用因式分解或添、去括号，对等式进行恒等变形， 使所求代数式变形成含有已知整式或部分项的形 式，把已知部分的值整体代入求解. 1. 当 x=3 时，代数式-2x+4 的值是 _____. 2.（1）若 3a-2b=10，则-3a+2b+2 的值为 _____； （2）已知 m2=3m+3，则多项式2m2-6m+2 025 的值为 _____. 即学即练 -2 -8 2 031 中考考点清单解读 返回目录 第三节 代数式与整式 ■考点二 整 式（每年必考） 1. 整 式 的 相 关 概 念 整式：单项式和②_______ 统称整式. 由数与字母的③______ 组成的代数式.如：-2a2b3 是单项式. 单独的一个数或一个字母也是单项式，如 5 和 a 都是单项式. 单项式 （1）定义 （2）系数：单项式中的④________ 因数. （3）次数：单项式中所有字母的⑤________ 的和. 多项式 乘积 数字 指数 中考考点清单解读 返回目录 第三节 代数式与整式 1. 整 式 的 相 关 概 念 多项式 （3）次数：一个多项式中，次数最高项的次数叫做这个多项式的次数. （1）定义：几个单项式的⑥_________.如：5ac-2b-1. （2）项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项. （4）常数项：多项式中不含字母的项. 同类项：所含⑦_______ 相同，并且相同字母的⑧_______ 也相同的项.如 2m与 3m 是同类项，2m 与 3m2 不是同类项. 和 字母 指数 中考考点清单解读 返回目录 第三节 代数式与整式 2. 整式的加减 实质：合并同类项 法则：先去括号，再合并同类项 运算 法则 举例 合并同类项 同类项的系数相加之和作为结果的系数，字母和字母的指数⑩_____. 2acb2+5ab2c=⑪_____ 不变 7ab2c 2 中考考点清单解读 返回目录 第三节 代数式与整式 2. 整式的加减 添（去） 括号 括号前面是“+”号，添（去）括号各项都⑫______ 符号； 括号前面是“-”号，添（去）括号各项都⑬______ 符号 （口诀：“-”变“+”不变） a+b-c=+（a+b-c） a+b-c=-（-a-b+c） a+（b-c）=a+b-c a-（b-c）=a-b+c 不改变 改变 中考考点清单解读 返回目录 第三节 代数式与整式 3. 幂的运算（其中 a≠0，b≠0，且 m，n 都为整数） 类别 法则 举例 同底数幂的乘法 底数不变，指数相加，am·an=⑭_____.（m，n 为整数） a4·a-2=⑮_____ 幂的乘方 底数不变，指数相乘， （am）n=⑯_____.（m，n 为整数） （-a4）3=⑰_____ 积的乘方 把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，（ab）n=⑱_____.（n 为整数） （-3a3b）3=⑲________ am+n a2 amn -a12 anbn -27a9b3 中考考点清单解读 返回目录 第三节 代数式与整式 续表 同底数幂的除法 底数不变，指数相减，am÷an=⑳__________.（a≠0，m，n 为整数） a6÷a2=㉑_____ 幂的指数为 1时，“1”常省略不写，在幂的运算过程中不要认为没有指数或指数为 0 易错警示 am-n a4 中考考点清单解读 返回目录 第三节 代数式与整式 （1）（-a）2· a3·（-a）4=_____； （2）（-2）2 025× 2 024=_________； （3） 即学即练 a9 -2 a2n 中考考点清单解读 返回目录 第三节 代数式与整式 4. 整式的乘法 类别 运算法则 举 例 单项式乘 单项式 把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数作为积的一个因式. 如：2a3b2·3ac3=6（a3·a）b2c3=㉒_________. 单项式乘 多项式 用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加. 如：m（a+b）=㉓_________. 多项式乘 多项式 先用多项式中的每一项乘另一个多项式中的每一项，再把所得的积相加. 如：（m+n）（a+b）=㉔___________________. 6a4b2c3 ma+mb ma+mb+na+nb 中考考点清单解读 返回目录 第三节 代数式与整式 续表 乘法公式 平方差公式 （a+b）（a-b）=㉕________ 完全平方公式 （a±b）2=㉖_____________. a2-b2 a2±2ab+b2 中考考点清单解读 返回目录 第三节 代数式与整式 续表 乘法公式 常用恒等变形 ①a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab； ②（a-b）2=（a+b）2-4ab； ③（-a-b）2=（a+b）2； ④（-a+b）2=（a-b）2. 中考考点清单解读 返回目录 第三节 代数式与整式 5. 整式的 除法 （1）单项式除以单项式 将系数、同底数幂分别相除，作为商的一个因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.如：（a2b）3÷a3b=㉛______. （2）多项式除以单项式：用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 a3b2 中考考点清单解读 返回目录 第三节 代数式与整式 6. 因式分解 基本方法 （1）提公因式法：ma+mb+mc=㉙_______________； 定义：把一个多项式化成几个整式㉘_______ 的形式，叫做把这个多项式因式分解. 公因式的确定 系数：取各项系数的最大公约数. 字母：取各项相同的字母. 指数：取各项相同字母的最低指数. 乘积 m（a+b+c） 中考考点清单解读 返回目录 第三节 代数式与整式 6. 因式分解 基本方法 （2）公式法： 一般步骤 （a+b）（a-b） （a±b）2 中考考点清单解读 返回目录 第三节 代数式与整式 6. 因式分解 十字相乘法分解因式 中考考点清单解读 返回目录 第三节 代数式与整式 因式分解与乘法运算互为逆变形，因式分解的结果为积的形式，乘法运算的结果一般为和差形式（有时为单项式）. 满分备考 因式分解： （1）25y2-4x2=________________________； （2）3mx2-6mxy+3my2=_____________； （3）3m2n-3n=____________________. 即学即练 （5y+2x）（5y-2x） 3m（x-y）2 3n（m+1）（m-1） 中考考点清单解读 返回目录 第三节 代数式与整式 一题串考点 如图 1 是一个长为 2a、宽为 2b 的矩形，沿图中虚线剪成四块完全一样的小矩形，然后按图 2 的方式拼成一个正方形． （1）图 2 中阴影部分正方形的边长是_____； a-b 中考考点清单解读 返回目录 第三节 代数式与整式 （2）利用图 2 中阴影部分的面积的两种不同计算方法，写出下列三个代数式（a+b）2，（a-b）2，ab 之间的数量关系是 _______________________； （3）利用（2）中的结论，当 a-b＝2，ab＝ 时，a+b 的值为 _______； （4）图 2 中四个白色小矩形的面积和是 A=_________； （a+b）2-4ab=（a-b）2 （2）中利用面积寻找代数式之间的等量关系，用不同的方法计算阴影部分的面积是解题关键. 方法点拨 4ab 中考考点清单解读 返回目录 第三节 代数式与整式 （5）已知（4）中的 A 和 B=（2a2b+5ab2）÷ab-4ab，A+B=3，则 b 与 a 的关系式是 _______________； （6）在（5）的条件下，则 4a·32b 的值为 ________； （7）如图 3，将正方形 ABCD 和正方形 EFGH 如图所示摆放，点 F 在 BC 边上，EH 与 CD 交于点I，且 ID=1，CG=2，矩形 EFCI 面积为 35，以 CF 边作正方形 CFMN，设 AD=x，则图中阴影部分的面积为 ___________． 8 b=-a+ （6）中可逆用幂的运算法则，然后利用整体代入法求代数式的值. 方法点拨 24 中考考点清单解读 返回目录 ■题型一 代数式及代数式求值（每年必考） 第三节 代数式与整式 例 1 ［25·扬州］ 若 a2-2b+1=0，则代数式 2a2-4b+3 的值是______． 1 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第三节 代数式与整式 ·题型解法· 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 练习一 ［25·邢台一模］ 关于代数式- x，下列选项表述正确的是 （ ） A． 表示- 与-x 的和 B． 表示- 与 x 的乘积 C． 表示- 与 x 的和 D． 表示- 与-x 的乘积 第三节 代数式与整式 B 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 练习二 ［25·石家庄模拟］ 如图，晴晴家有一块长为（4a+b） m，宽为（3a+b） m 的长方形耕地，为响应国家“把饭碗牢牢端在自己手中”的号召，爸爸决定只留一块长为（2a+b） m，宽为（a+b） m 的长方形耕地来种植经济作物，其余耕地用来种植小麦． （1）求种植小麦的耕地面积；（用含 a，b 的代数式表示，要求化简） （2）当 a=200，b=130 时，求种植小麦的耕地面积． 第三节 代数式与整式 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第三节 代数式与整式 解：（1）种植小麦的耕地面积为 （4a+b）（3a+b）-（2a+b）（a+b）=（10a2+4ab） m2； （2）当 a=200，b=130 时，10a2+4ab=10×2002+4×200×130=504 000（m2）． 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 练习三 ［25·秦皇岛模拟］ 如图，A，B，C 三个小桶中分别盛有 2 个、11 个、3 个小球，将 B 小桶中部分小球转移到 A，C 两个小桶中，数量如图所示． （1）求转移后 A，C 两个小桶的小球的数量和（用含 m 的代数式表示）； （2）若转移后 A，C 两个小桶的小球的数量和与 B 小桶中剩余小球的数量相同，求转移后 C 小桶的小球的数量． 第三节 代数式与整式 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第三节 代数式与整式 解：（1）2+2m+3+m=5+3m； （2）根据题意得 5+3m=11-3m，解得m=1， ∴ 转移后 C 小桶的小球的数量为 3+1=4（个）. 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 ■题型二 整式的运算（每年必考） 第三节 代数式与整式 类型一 幂的运算 例 2 ［25·张家口模拟］ 若 a，b 是正整数，且满足 2a×2a×2a×2a= 4b+4b+4b+4b，则下列 a 与 b 关系正确的是 （ ） A． a+b=3 B． a-b=2 C． 2a+b=1 D． 2a-b=1 D 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第三节 代数式与整式 ·题型解法· 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 练习一 ［25·苏州］ 下列运算正确的是 （ ） A． a·a3=a3 B． a6÷a2=a3 C．（ab）2=a2b2 D．（a3）2=a5 第三节 代数式与整式 C 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 练习二［24·河北 8 题］ 若 a，b 是正整数，且满足 则 a 与 b 的关系正确的是 （ ） A． a+3=8b B． 3a=8b C． a+3=b8 D． 3a=8+b 第三节 代数式与整式 A 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 练习三 下列运算结果等于 a3n 的是 （ ） A． a3·an B．（3a）n C． D． 第三节 代数式与整式 D 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 例 3 ［新题推荐］ 下列式子运算结果最小的是 （ ） A． 2002+1 B． 199×201 C． 1992+2×199+1 D． 2012-2×201+1 第三节 代数式与整式 类型二 乘法公式 B 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 练习一 ［25·保定模拟］ 若（x-2）2=x2+ax+b，a，b 均为常数，则 a+b=__________. 第三节 代数式与整式 0 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 练习二 ［25·秦皇岛模拟］ 如图，在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5，点 M 和点 N 分别在 AB 和 BC 边上，并且 AM-CN=1，分别以 BM 和 BN 为边向上、向右作正方形，两个正方形的面积分别为 S1 和 S2，且 S1+S2=50，则图中阴影部分的面积为（ ） A． 15 B． 17 C． 19 D． 21 第三节 代数式与整式 B 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 例 4 ［25·石家庄 27 中模拟］ 有两根长度相同的铁丝，嘉嘉、琪琪两位同学分别用它折成了一个长方形和一个正方形，如图 1，2 所示．设长方形和正方形的面积分别为 S1 和 S2． （1）正方形的边长=___________（用含 a 的式子表示）； （2）比较 S1 ____ S2 （选填“＞”“＜”或“=”）； （3）若 a 为正整数，则长方形与正方形的面积之和可以等于 63 吗？ 若可以，求出 a 的值；若不可以，请说明理由． 第三节 代数式与整式 类型三 整式运算 a-5 ＜ 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第三节 代数式与整式 解：（3）由题知，a2-10a+24+a2-10a+25=63，则 a2-10a-7=0，解得 a1=4 +5，a2=-4 +5．因为 a 为正整数，所以长方形与正方形的面积之和不可以等于 63． 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第三节 代数式与整式 练习一 习题课上，数学老师展示了两位同学进行整式运算的部分过程：化简并求值：［（x+2y）（x-2y）-（x-2y）2］÷（-2y），其中 x=-1，y=- ． 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第三节 代数式与整式 （1）嘉嘉的过程中，第①和②两处中出错的是 _____（填序号），该部分应为 ________________； （2）淇淇的过程运用了因式分解的方法，但其过程不完整，请补全其计算过程． ② x2-4xy+4y2 解：（2）原式=（x-2y）［（x+2y）-（x-2y）］÷（-2y）=（x-2y）·4y÷（-2y）=-2x+4y， 当 x=-1，y=- 时， 原式=-2×（-1）+4× (- )=-4. 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第三节 代数式与整式 练习二 ［原创］ 已知整式 A=k-1，整式 B=2k+3．如图，有一电脑 AI 程序，能处理整式的相关运算，若输入整式 A，B 后，屏幕上自动呈现整式 C，但由于屏幕大小有限，只显示了整式 C 的一部分：C=2k2+ ． （1）求程序自动呈现的整式 C 缺失的部分“ ”； （2）嘉淇发现：若 k 取某个正整数时，整式 B2-2C 的值大于 5，求满足条件的 k 的最小值． 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第三节 代数式与整式 解：（1）∵A=k-1，B=2k+3， ∴C=A·B=（k-1）（2k+3）=2k2+k-3， ∴ 程序自动呈现的整式 C 缺失的部分“ ”为 k-3； （2）∵B2-2C=（2k+3）2-2（2k2+k-3）=4k2+12k+9-（4k2+2k-6）=10k+15，令 10k+15＞5，解得 k＞-1，∵k 为正整数，∴ 最小值为 1． 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第三节 代数式与整式 ■题型二 因式分解（2023 年考查） 例 3 ［25·唐山模拟］ 分解因式 x4-1 得 （ ） A．（x2+1）（x2-1） B．（x+1）2 （x-1）2 C．（x-1）（x+1）（x2+1） D．（x-1）（x+1）3 C 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第三节 代数式与整式 ·题型解法· 公式法分解因式： 1. 能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反. 2. 能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的 2 倍． 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 衍生一 变考法———代数求值 ［25·自贡］ 若 2a+b=-1，则 4a2+2ab-b 的值为 _____． 衍生二 变考向———逆向思维 对于①2x-xy=x（2-y），②（x-3）2=x2-6x+9，从左到右的变形，表述正确的是 （ ） A． 都是因式分解 B． 都是乘法运算 C． ①是因式分解，②是乘法运算 D． ①是乘法运算，②是因式分解 第三节 代数式与整式 1 C 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第三节 代数式与整式 ■题型四 代数推理（5 年 3 考） 例 6 ［25·石家庄模拟］ 规定：若两个数的平方差能被 8 整除，则称这个算式是“如意式”．例如：52-32=2×8；132-112=6×8． （1）验证：212-192 是“如意式”； （2）证明：任意两个连续奇数的平方差都能被 8 整除，这些算式都是“如意式”． 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第三节 代数式与整式 解：（1）∵212-192=（21+19）（21-19）=40×2=80=10×8， ∴212-192 能被8 整除，∴212-192 是“如意式”； （2）证明：设两个连续奇数分别为 2n+1，2n-1，∴（2n+1）2-（2n-1）2=［（2n+1）+（2n-1）］［（2n+1）-（2n-1）］=4n×2=8n，∴ 任意两个连续奇数的平方差都能被 8 整除，这些算式都是“如意式”． 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第三节 代数式与整式 ·题型解法· 代数推理常通过整式的运算、化简或变形（包括因式分解），探索其中蕴含的数学规律，常借助从特殊到一般的推理方式. 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 衍生一 变考向———数字推理 在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算．嘉嘉受其启发，设计了如图 1 所示的“竖式表格算法”，图 1 表示 872，运算结果为 7 569．图 2 表示一个两位数的平方，表格中部分数据被墨迹覆盖，已知 m≠0，根据图 2 中现有数据进行推断，一定正确的是 （ ） A． a=e B． b+m=10+f C． 这个两位数为 m+50 D．（10n+m）2 运算结果小于 3 000 第三节 代数式与整式 C 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第三节 代数式与整式 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 衍生二 变情境———融入数阵 【发现】 如图，嘉嘉在研究如下数阵时，用正方形框任意框住四个数，发现了有趣的数学规律： 方框一：7×14-6×15=8．方框二：11×18-10×19=8． 【验证】 根据【发现】的规律，写出方框三中相应的算式； 【探究】 设被框住的四个数中最小的数为 n，用含 n 的式子证明你所发现的规律． 第三节 代数式与整式 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第三节 代数式与整式 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第三节 代数式与整式 解：［验证］根据题意得 4×11-3×12=8； ［探究］ 设被框住的四个数中最小的数为 n，则有（n+1）（n+8）-n（n+9）=8． 证明：依题意，（n+1）（n+8）-n（n+9）=n2+9n+8-n2-9n=8． 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 $第二节 二次根式 中考考点清单解读 ● 中考考点清单解读 ● 链接河北中考·突破重难题型 目 录 第二节 二次根式 ［人教］ 八下第十六章 P1~20； ［冀教］ 八上第十五章 P89~106； ［北师］ 八上第二章 P33~37，P41~48 对接版本 中考考点清单解读 返回目录 第二节 二次根式 ■考点一 二次根式的有关概念 3. 同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同.如（化简为 3）与 是同类二次根式 1. 定义：一般地，形如（①______）的式子叫做二次根式. （1）被开方数中不含分母（分母中不含根号）； （2）被开方数中不含能③____________ 的因数或因式 两者需 同时满足 2. 最简二次根式 二次根式有意义时，被开方数是②_______ 数. 满分备考 a≥0 非负 开得尽方 中考考点清单解读 返回目录 第二节 二次根式 ■考点二 二次根式的性质（5 年 1 考） 双重非负性 二次根式 如 ，则 x-2≥0， ≥0 两个重要的性质公式 1.（ ）2=a（a≥0）. 2. =|a|= 1.（ ）2=⑥______. 2. =⑦______， =⑧______ 只有当 a 是正数或0的时候， =（ ）2=a 才成立. 易错警示 a -a 7 7 7 中考考点清单解读 返回目录 第二节 二次根式 积的算术平方根 =⑨_______（a≥0，b≥0） 商的算术平方根 =⑩_______（a≥0，b＞0） 用公式时注意 a，b 的取值范围，不能出现=×的错误. 易错警示 续表 · 中考考点清单解读 返回目录 第二节 二次根式 ■考点三 二次根式的运算（5 年 3 考） 1. 加减法：先将各根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式. 2. 乘法： 3. 除法： 4. 混合运算：与实数混合运算顺序相同，运算律（交换律、结合律、 分配律）在二次根式的运算中仍然适用. ＞ 二 次 根 式 的 运 算 中考考点清单解读 返回目录 第二节 二次根式 1. 加减运算的本质：同类二次根式运算.步骤一：化简为最简二次根式；步骤二：合并同类二次根式. 2. 分母有理化的方法：分子、分母同时乘分母的有理化因式. 满分备考 二 次 根 式 的 运 算 5. 分母有理化 1. + ≠（a＞0，b＞0）. 2. 二次根式的最终运算结果必须化为最简二次根式. 易错警示 中考考点清单解读 返回目录 第二节 二次根式 6. 乘法公式在二次根式运算中的应用 二 次 根 式 的 运 算 计算： （1）（ - ）2+10 =_____； （2）（2 - ）（2+ ）=_______. 即学即练 15 1 中考考点清单解读 返回目录 第二节 二次根式 ■考点四 二次根式的估值（2024 年考查） 1. 确定 在哪两个正整数之间 2 3 二 次 根 式 的 估 值 中考考点清单解读 返回目录 第二节 二次根式 2. 确定离哪个正整数最近 3. 确定的整数部分或小数部分 二 次 根 式 的 估 值 3 3 -3 中考考点清单解读 返回目录 第二节 二次根式 一题串考点 已知实数m= . （1）化简- 的结果是 （ ） A． B． 6 C． -6 D． - （2）写出一个可以与 进行合并的二次根式 __________； （3）计算 × 的结果为 _______，这个数落在了数轴上的 ________ 段； C ④ 2 （3）中判断表示这个数的点落在数轴上的哪一段，使用平方法确定即可. 方法点拨 中考考点清单解读 返回目录 第二节 二次根式 （4）若 3 - =a - =b ，则 a+b 的值为 __________； （5）已知 a=+1，①a 的整数部分是 _______； ②代数式 a3-a2-3a+2 025=___________； （6）- 和之间的所有整数之和为 _________； 11 2 2 026 3 （6）中确定两个无理数之间的所有整数，先用相邻整数分别逼近两个无理数，再在数轴上表示出这两个无理数即可观察得出. 方法点拨 中考考点清单解读 返回目录 第二节 二次根式 （7）如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为 9 和 m. ①小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？与哪个整数较接近？ ②求图中阴影部分的面积． 中考考点清单解读 返回目录 第二节 二次根式 解：①∵ 小正方形的面积为 m=6，∴ 小正方形的边长为 ，∵4＜6＜9，∴2＜＜3，∴ 小正方形的边长在 2 和 3 之间， =2.5，2.52=6.25，6<6.25， ∴ 与整数 2 比较接近； ②∵ 阴影部分的面积的和为一个长为，宽为（3-）的矩形面积，∴ 阴影部分的面积= = -6． 中考考点清单解读 返回目录 ■题型一 二次根式的性质与运算（每年必考） 第二节 二次根式 例 1 ［25·邯郸名校模考］ 计算：2 □（- ），若要使计算结果最小，则“□”中的符号是 （ ） A. ＋ B. - C. × D. ÷ C 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第二节 二次根式 ·题型解法· 二次根式的运算结果化简成最简二次根式时需要注意： 1. 被开方数是带分数的先化成假分数. 2. 被开方数是小数的先化成分数. 3. 被开方数是多项式且能进行因式分解的先因式分解. 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 练习一 ［25·河北 3 题］ 计算：（ + ）（ - ）=（ ） A． 2 B． 4 C． 6 D． 8 第二节 二次根式 B 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 练习二 ［25·沧州模拟］ 用三块边长不同的正方形纸片“甲、 乙、丙”和一个面积为 2 的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为 2，则一块“甲”纸片的边长为（ ） A． 2 B． 2+2 C． 3 D． 4+2 第二节 二次根式 B 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 ■题型二 无理数的估值（2024 年考查） 第二节 二次根式 例 2 ［25·邯郸模拟］ 已知 m，n 是连续的两个整数，若 m＜ ＜n， 则 m+n 的值为 _____． 5 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第二节 二次根式 ·题型解法· 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 衍生一 变设问———分析数据 关于 的叙述，下列说法错误的是 （ ） A． 是最简二次根式 B． 是无理数 C． 面积为 8 的正方形的边长为 D． 一定能够在数轴上找到表示 的点 第二节 二次根式 A 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 衍生二 变条件———列式求值 （1）如图，数轴上表示 × -2 的点落在段 ______（填序号），与 × -2 最接近的整数的值是 _____； （2）如图，若数轴上表示实数 x- 的点落在段①，则满足条件的 x 的整数值是 ______. 第二节 二次根式 ④ 3 3 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 衍生三 变考法———化简求值 已知 a 是 的整数部分，b 是 的小数部分，则（b- ）a+1 的值为 __________． 第二节 二次根式 -8 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 $第四节 分 式 中考考点清单解读 ● 中考考点清单解读 ● 链接河北中考·突破重难题型 目 录 目 录 第四节 分 式 ［人教］ 八上第十五章 P127～148； ［冀教］ 八上第十二章 P2～17； ［北师］ 八下第五章 P108～124 对接版本 中考考点清单解读 返回目录 第四节 分 式 ■考点一 分式的有关概念及性质（常考） 最简分式：分子和分母都没有②_________ 的分式. 形如 的代数式叫做分式，其中 A，B 都是整式，且 B 中含有①______，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 分式 1. 概 念 字母 公因式 判断式子是不是分式是从原始形式去看，而不是从化简后的结果去看，如 是分式而不是整式. 易错警示 中考考点清单解读 返回目录 第四节 分 式 2. 与分式有关的几个条件 （1）分式 无意义时，Ｂ③___________； 有意义时，Ｂ④___________； （2）使分式 ÷ 有意义的条件是⑤________________； （3）分式 的值为零时，Ａ⑥________ 且 Ｂ ⑦________； （4）分式 的值为正时，Ａ，Ｂ⑧____，值为负时，Ａ，Ｂ⑨_______. =0 ≠0 B≠0，C≠0，D≠0 =0 ≠0 同号 异号 中考考点清单解读 返回目录 第四节 分 式 3. 分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值⑩__________， 即 = （通分原理）， = （约分原理）（M≠0）. 符号变号法则的依据是分式的基本性质. 满分备考 4. 符号变号法则 分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值⑪_________，即 = =- =- . 不变 不变 中考考点清单解读 返回目录 第四节 分 式 不改变分式的值，下列各式中变形正确的是 （ ） 即学即练 D 中考考点清单解读 返回目录 第四节 分 式 ■考点二 分式的运算（必考） 分式的 加减法 （1）同分母分式相加减： ± =⑫ _________（分母不变，分子相加减）； （2）异分母分式相加减：± =⑬______± = （先通分， 转化为同分母分式的加减法）.（关键是通分） （3）最简公分母 ①分母为多项式，则应先把每个分母分解因式，然后判断最简公分母. ②取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数，取各个因式的最高次幂作为最简公分母的因式. 中考考点清单解读 返回目录 第四节 分 式 1. 分式通分时，注意不要漏乘分子，不要与解分式方程的去分母混淆. 2. 若括号前是“-”号，去括号时要注意括号内各项均改变符号. 易错警示 运算中有整式时，可以将整式看成分母为1 的分式，再进行计算. 满分备考 中考考点清单解读 返回目录 第四节 分 式 分式的 乘除法 （1）乘法：·= ⑭________（分子与分子相乘，分母与分母相乘）. （2）除法：= ⑮________（除以一个数等于乘这个数的倒数）. （3）乘方：（n 为整数）=⑯_______（分子、分母各自乘方）. （4）约分要找公因式 ①分子、分母是多项式的，先分解因式； ②取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数； ③取各个因式的最低次幂作为公因式的因式. 中考考点清单解读 返回目录 第四节 分 式 1. 分式运算时可以因式分解的要先因式分解，再约分. 2. 分式运算的结果要化成整式或最简分式. 易错警示 中考考点清单解读 返回目录 第四节 分 式 ■考点三 分式的化简求值（5 年 3 考） 一般步骤 分式的化简求值，字母的代入值应使分式的分母不等于 0；特别的，当分式运算中含除法运算时，字母的代入值还要使除式不等于 0. 易错警示 中考考点清单解读 返回目录 ■题型一 分式的化简及运算（5 年 4 考） 第四节 分 式 例 1 ［25·秦皇岛一模］ 试卷上一个正确的式子 被小明同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分☆处的代数式为 （ ） B 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第四节 分 式 ·题型解法· 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 练习一 ［25·天津］ 计算 的结果等于 （ ） 第四节 分 式 A 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 练习二 ［原创］ 若分式 的运算结果为 x，则在“□”中添加的运算符号为 （ ） A． + B． - C． -或÷ D． +或× 第四节 分 式 C 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 练习三 下面是小明同学分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 任务一：填空：右面化简步骤中第 _____ 步是进行分式的通分，通分的依据是 _________________；第_______ 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ____________________________________________________________________； 第四节 分 式 二 分式的基本性质 四 括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果． 第四节 分 式 原式= ． 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 ■题型二 分式的化简求值（5 年 3 考） 第四节 分 式 例 2 ［25·河北 8 题］ 若 a=-3，则 （ ） A. -3 B. -1 C. 3 D. 6 B 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第四节 分 式 ·题型解法· 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第四节 分 式 练习一 ［25·沧州模拟］ 已知 a 是方程 x2-2x-2=0 的根，则 的值是 （ ） B 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第四节 分 式 练习二 ［25·保定模拟］ 对于 M= ，N= ，嘉嘉和淇淇给出如下结论：嘉嘉：当 x＞0 时，M-N＞0．淇淇：当 x=2 时，M=N．则下列说法正确的是 （ ） A． 嘉嘉对，淇淇错 B． 嘉嘉错，淇淇对 C． 嘉嘉、淇淇都对 D． 嘉嘉、淇淇都不对 B 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第四节 分 式 练习三 ［25·东营］ 先化简，再求值： ，其中 a 是使不等式 ≤1 成立的正整数． 解： ÷ (a+2+ ) = ÷ [+ ] = ÷ = · = ，解不等式 ≤1 得 a≤3，∵a为正整数，a-2≠0，（3+a）（3-a）≠0， ∴a=1，∴ 当 a=1 时，原式= =- . 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第四节 分 式 练习四 ［25·邢台名校联考］ 观察下面的解题过程． 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第四节 分 式 （1）解题过程中开始出现错误的是步骤 _____（填序号）； （2）若代入求值后的值就是 4，求图中被遮住的 x 的值． ② （2）被遮住的 x 的值是-1． 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 $第一节 实 数 中考考点清单解读 ● 中考考点清单解读 ● 链接河北中考·突破重难题型 目 录 第一节 实 数 ［人教］ 七上第一章 P1~52，七下第六章 P53~62； ［冀教］ 七上第一章 P1~60，七下第八章 P93~95，八上第十四章 P59~88； ［北师］ 七上第二章 P22~76，八上第二章 P21~32，P38~40 对接版本 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 ■考点一 实数的分类 按 定 义 分 有理数 整数 正整数 0 负整数 自然数 分数 正分数 负分数 有限小数或无限①_____小数 无理数 正无理数 负无理数 ②______________ 小数 循环 无限不循环 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 无理数的判断： （1）判断无理数时，不要只看形式，应化简到最终结果再判断； （2）常见无理数的四种形式：a.π 及化简后含 π 的数，如π+3；b.构造型：如 2.101 001 000 100 001…（每相邻两个1之间逐次多一个 0）；c.根式型：如③_____________________ 等开方开不尽的方根；d.含根号的三角函数型：如④_____________________________ 等. 满分备考 ，（答案不唯一） tan30°，sin45°（答案不唯一） 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 按 大小分 正实数 负有理数 负无理数 负实数 正有理数 负有理数 0（既不是正数也不是负数） 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 1. 判断正负数时，要先进行化简，-a 不一定是负数，如-（-6）=6，遇到-a 要进行分类讨论. 2. 非负数、非正数不要忘记包括 0，最小的正整数是⑤_____，最小的自 然数是⑥______，最大的负整数是⑦______. 3. 用正负数表示具有相反意义的量时数量一定要有单位. 易错警示 正负数可以用来表示具有相反意义的量，示例：若向左行走 6 m 记作+6 m，则向右行走 4 m 可记作⑧______；若盈利 100 元记作+100 元，则-50 元表示⑨__________. 1 0 -1 -4 m 亏损 50 元 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 ■考点二 实数的相关概念（每年必考） 数 轴 （2）实数与数轴上的点一一对应. （3）如图，A，B 两点之间的距离为⑭_________________，线段 AB 的中点 C 对应的实数为⑮______ （1）数轴三要素：⑩_______、⑪_________、⑫____________. 原点 正方向 单位长度 ｜a-b｜（或 b-a） 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 1. 已知数轴上两点间的距离和其中一点对应的实数，求另一点对应的实数时，要分情况讨论.如数轴上点 A 对应的实数是 2，AB=3，则点 B 对应的实数是⑬_______. 2. 用数轴上的点表示无理数的核心方法是勾股定理. 满分备考 5 或-1 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 相 反 数 （1）只有⑯_______ 不同的两个数互为相反数. （2）实数 a，b 互为相反数a+b ⑰_______，=⑱_______. （3）几何意义：数轴上两个点表示的数（0 除外）互为相反数表示这两个数的点在数轴原点的⑲_____，且到原点的距离⑳_____,，即这两点关于原点对称. 符号 0 -1 两侧 相等 非零实数 a 的相反数是-a.特别地，0 的相反数是 0. 满分备考 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 绝 对 值 （1）代数意义：|a|= （2）几何意义 数轴上表示一个数 a 的点到原点的距离叫做数 a 的 绝对值，记作㉕________， 离原点越远的点表示的数的绝对值越大. 1. 绝对值最小的实数是 0. 2. 互为相反数的两个数的绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数 易错警示 a 0 -a ｜a｜ |a|具有非负性， 即 a ㉔______ ≥0 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 倒 数 （1）意义：乘积是㉖______ 的两个数互为倒数. （2）ab=㉗______a，b 互为倒数. （3）倒数是其本身的数是㉘_____，㉙____ 没有倒数 非零实数 a 的倒数是㉚_____；分数 的倒数是㉛______；求小数的倒数，要先把小数化为分数.再颠倒分子分母的位置. 满分备考 b a 1 1 ±1 0 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 一题串考点 观察如图所示的数轴，回答下面的问题： （1）点 A，B 所表示的有理数分别为 A：______，B：______； （2）在数轴上，到点 A 的距离为 2 个单位长度的点所表示的数为 ______； （3）经过折叠，点 A 与表示-3 的点重合，则点 B 与表示数 ______ 的点重合； （4）若数轴上 M，N 两点之间的距离为 11 个单位长度（点 M 在点 N 的左侧），且 M，N 两点经过（3）中折叠后重合，则 M，N 两点表示的数分别为 __________； 1 -4 -1 或 3 2 -6.5，4.5 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 （5）数轴上表示互为相反数的两个数的点是 ____________________________； （6）这几个点表示的数的绝对值最大的是点 ________，它表示的数的倒数是 _________； （7）若数轴上有一动点 P，其对应的数为 x．①若点 P 为 GF 的中点，则点 P 对应的数是 ______； ②若点 G、点 F 分别以每秒 2 个单位长度和每秒 0.5 个单位长度的速度同时向右运动，同时点 P以每秒 6 个单位长度的速度从表示数 1 的点向左运动．当点 G 与点 F 之间的距离为 3 个单位长度时，直接写出点 P 对应的数为 _________. 点 A 和点 G、点 C 和点 D B 1 -3 或-27 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 ■考点三 科学记数法（5年4考） 确定 a 的值：a是整数位数只有一位的数. 1. 表示形式：把一个数表示成 a×10n 的形式（1≤ ＜10，n 为整数）. 2.表 示方法 n的确定（设原数为x） 用科学记数法表示： （1）794 000=__________；（2）0.001 23=__________. 即学即练 n=原数的整数位数-1. n=原数变为 a 时，小数点向左移动的位数. |x|≥10 7.94×105 1.23×10-3 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 n>0，a 的小数点向右移动 n 位，如 6.5×105 还原为原数为㉜________. n<0，a 的小数点向左移动|n|位，不够的数位用 0 补齐，如 6.5×10-5 还原为原数为㉝_____________ 2.表 示方法 0＜|x|＜1 ｜n｜ =原数左起第一个非零数字前面所有零 的个数（含小数点前面的零）. ｜n｜ =原数变为 a 时，小数点移动的位数. n的确定（设原数为x） 3.还原用科学记数法 表示的数 650 000 0.000 065 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 1. 对于含有计数（量）单位的数，用科学记数法表示时，应先把计数单位转化为数字，把计量单位转化为题目要求的单位，再用科学记数法表示；也可以根据计数（量）单位间的换算结合同底数幂的乘法表示. 2. 常见计数单位：1 万=㉞_______，1 亿=㉟________.常见计量单位：1 mm=10-3m，1 μm=10-6 m，1 nm=10-9 m 等. 满分备考 104 108 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 ■考点四 近 似 数 求近似数的方法：四舍五入法. 精确度 近 似 数 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到那一位. 如 0.125 3，精确到 0.001，是㊱_______ 求近似数（含计数单位或科学记数法表示）的精确度，要把近似数还原，如近似数 2.23 万精确到㊲_______. 易错警示 0.125 百位 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 ■考点五 平方根、算术平方根、立方根（5 年 3 考） 平方根 算术平方根 立方根 定义 实数 a（a≥0）的平方根为± 实数 a（a≥0）的算术平方根为，0 的算术平方根为0 实数 a 的立方根为 被开方数 大于或等于 0 任意实数 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 续表 根的个数 正数的平方根有两个，且互为㊳_________； 负数没有平方根；0 的平方根是㊴____ 只有一个（非负数） 只有一个，符号与被开方数相同 相反数 0 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 续表 特殊情况 平方根等于本身的数是㊵_____ 算术平方根等于其本身的数是㊷______ 立方根等于其本身的数是㊹________ 举例 16 的平方根为㊶______ 16 的算术平方根为㊸______________ 64 的立方根为㊺_____ 0 0 和 1 -1，0 和 1 ±4 4 4 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 ■考点六 实数的大小比较（2021 年、2024 年考查） 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数㊻______； （最关键的是在数轴上正确表示数） 距离数轴原点越远的数，绝对值越大. 1. 数轴比较法 2. 类别比较法：正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而㊼_______； 3. 作差比较法（常用）：①a-b＞0a＞b；②a-b=0a=b；③a-b＜0a＜b. 4. 平方、立方比较法：a2＞ba＞（a＞0，b＞0）a3＞ba＞ . 大 小 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 5. 作商法：若 a＞0，b＞0，则① ＞1a＞b；② =1a=b；③ ＜1 a＜b.（a＜0，b＜0 时①③结果相反） 6. 倒数法：若 ab＞0（a，b 同号），则 ＜ a＞b. 7. 特殊值法：当含有字母时，给字母取特殊值更加方便快捷. 1. 类别比较法常用于真实情境中数据的大小比较，如某地气温 高低的比较. 2. 平方、立方比较法常用在无理数的估值及含有无理数的大小比较中. 满分备考 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 ■考点七 实数的运算（每年必考） 1. 四则运算 加法 同号两数相加：取相同的符号，再把㊽_______ 相加. 异号两数相加 取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值㊾_______ 较小的绝对值. 互为相反数的两个数相加和为 0；一个数同 0 相加，仍得这个数. =㊿______，表示 n 个 a 相加。 绝对值 减去 na 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 乘法： 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数. 两数相乘，同号得 ______，异号得 _____，并把绝对值相乘. 任何数与 0 相乘都得 ______. 除法：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的 ______.如 a÷b=a× （b≠0）。 减法转化为加法时，减数一定要变符号. 易错警示 正 负 0 倒数 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 （b-c）÷a=b÷a-c÷a（a≠0）能运用分配律，a÷（b-c）不能用分配律. 易错警示 2. 运算律 加法 交换律：a+b=b+a 结合律：（a+b）+c=a+（b+c） 乘法 交换律：ab=ba 结合律：（ab）c=a（bc） 乘法对加法的分配律：a（b+c）=ab+ac 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 3. 常见实数运算 法则 乘方 几个相同因数的积的运算. 表示 n 个 a 相乘， 正数的任何次幂都是正数；0 的任何正数次幂是 0；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数. -1 的 n 次幂（-1）n= 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 续表 零次幂 任何非零实数的零次幂都为 1，即a0=1（a≠0）. 如（π-3）0=1，（-2 025）0=1 负整数指数幂 a-p= （a≠0，p 为正整数），a-1= 去绝对值符号 ±a 绝对值符号具有括号作用. 满分备考 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 续表 常见的开方 特殊角的三角 函数值 详情见第四章第五节. 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 4. 实数混合运算的一般顺序 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 5. 简便运算 （1）凑整法：利用交换律、结合律和分配律把算式中的所有小数或分数凑成整数. （2）凑十、凑百法：应用平方差公式或完全平方公式把个位不为0 的整数凑成整十、整百、整千数等. 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 即学即练 计算： （1） ×13+0.125×27； （2）29 ×（-8）； （3）1992； （4）2 0252-2 027×2 023. =5 =-239 =39 601 =4 中考考点清单解读 返回目录 第一节 实 数 ■考点八 非 负 数 1. 常见的非负数： ｜a｜， （a≥0），a2n（n 为正整数），这里 a 可表示一个数或式子，最小的非负数是 0. 2. 非负数的和 若几个非负数的和为 0，则这几个非负数分别为 0. 如：若 ｜a｜+b2+ =0，则 ｜a｜=b2==0，进而可得 a=b=c=0. 中考考点清单解读 返回目录 ■题型一 实数的有关概念及分类 例 1 ［25·东营］ |-2 025| 的相反数是 （ ） A． 2 025 B． -2 025 C． D． - 第一节 实 数 B 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第一节 实 数 ·题型解法· 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 若 m 与 |-2 025| 互为倒数，则 m 的值为 （ ） A. B. - C. 2 025 D. -2 025 第一节 实 数 衍生一 变条件———相反数改为倒数 A 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 若 |m| = |-2 025| ，则 m=________；若 |-m| = |-2 025| ，则 m=________； 若 |m-2 025| 与 |n+2 024| 互为相反数，则（m+n）2 025=______. 第一节 实 数 衍生二 变设问———已知绝对值求 m 的值 ±2 025 ±2 025 1 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 在数-（-2 025），-|-2 025|，-2 0252，（-2 025）2 中，正数有 _____ 个. 第一节 实 数 衍生三 变考法———融入有理数的分类 2 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 ■题型二 实数与数轴（2021 年、2024 年考查） 第一节 实 数 例 2 ［25·沧州名校联考］如图，M，N 为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知数轴上表示数 2，-1 的两点对应刻度尺上的读数分别为 1 cm，2.5 cm. （1）该数轴以多少厘米为 1 个单位长度？ 直接画出数轴原点O 的位置； （2）若刻度尺左端 N 的刻度为 n cm 且对应数轴上表示数-5的点，右端 M 的刻度为 0.5 cm，求 n 的值及 MN 的长度． 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第一节 实 数 解：（1）该数轴的单位长度为 = =0.5（cm），原点 O 的位置如图； （2）由题意得 =2-（-5），解得 n=4.5，∴MN=4.5-0.5=4（cm）. 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第一节 实 数 ·题型解法· 1. 数轴上两点间的距离可以用“这两点表示的数的差（较大数-较小数）”来表示. 2. 数轴上 A，B 两点的中点 M表示的数为 ． 3. 借助刻度尺画数轴问题，关键是找数轴上单位长度对应的刻度尺上的长度. 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第一节 实 数 拓题一 （3）求（2）中点 M 表示的数. 解：（3）点 M 表示的数为-5+ =3. 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第一节 实 数 拓题二 （4）在（2）的条件下，一个光点从点 N 出发，沿数轴向右运动，到点 M，N 的距离之和大于20 个单位长度时，求此时光点对应的数 x 的最小整数值． 解：（4）根据题意得 x-（-5）+x-3＞20，解得 x＞9， ∴x 的最小整数值为10. 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 ■题型三 科学记数法（5 年 4 考） 第一节 实 数 例 3 ［25·邢台模拟］ 2024 年国庆节假期，全国文化和旅游市场平稳有序，假日 7 天，某地接待游客约 6.93×105 人次，则日均接待游客人次用科学记数法表示约为 （ ） A． 0.99×105 人次 B． 9.9×104 人次 C． 9.9×105 人次 D． 9.9×106 人次 B 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第一节 实 数 ·题型解法· 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第一节 实 数 ［25·河南］ 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有 0.000 074 m/s，比蜗牛爬行的速度还慢.数据“0.000 074”用科学记数法表示为 （ ） A． 0.74×10-4 B． 7.4×10-4 C． 7.4×10-5 D． 74×10-6 衍生一 变考向———较小的数的表示 C 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第一节 实 数 《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合……”可知：6 粟=1 圭，10 圭=1 撮，10 撮=1 抄，10 抄=1 勺，10 勺=1 合，则 8 合为 （ ） A． 4.8×104 粟 B． 4.8×105 粟 C． 8×104 粟 D． 8×105 粟 衍生二 变情境———与数学文化结合 B 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第一节 实 数 若一个整数 20 240…0 用科学记数法表示为 2.024×1010，则原数中“0”的个数为 （ ） A． 7 B． 8 C． 10 D． 11 衍生三 变考法———科学记数法的还原 B 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 ■题型四 平方根、算术平方根、立方根（5 年 3 考） 第一节 实 数 例 4 下列计算错误的是 （ ） A． 4+4- =6 B． 4+40+40=6 C． 4+ =6 D． 4-1÷ +4=6 D 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第一节 实 数 ·题型解法· 1. 只有正数和 0 有平方根，负数没有. 2. 所有的数都有立方根，且与原数同号. 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第一节 实 数 练习一 （1）［25·眉山］ -27 的立方根是 ______； （2）［25·江西］ 化简： =______. -3 2 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第一节 实 数 练习二 与 结果相同的是 （ ） A． 7-6+2 B． 7+6-2 C． 7+6+2 D． 7-6-2 A 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 ■题型五 实数的运算（每年必考） 第一节 实 数 例 5 ［25·河北 18 题］（1）一道习题及其错误的解答过程如下： 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第一节 实 数 请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程； （2）计算： 解：（1）第一步开始出现错误；（-6）× =-6× -6× +6× =-3-4+5=-2； （2）原式=2- -4× =1- . 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第一节 实 数 ·题型解法· 实数运算有“三个关键”. 1． 运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，零指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2． 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3． 运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第一节 实 数 练习一 ［25·沧州模拟］ 下列计算结果最小的是 （ ） A. - -3 B. - +3 C. -3 D. +3 A 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第一节 实 数 练习二 ［25·邯郸 25 中一模］ 计算：（-6）×( - ■) -23．圆圆在做这道题时，发现题中有一个数字被墨水污染了． （1）如果被污染的数字是 ，请计算（-6）×( - )-23； （2）如果计算结果等于 6，求被污染的数字． 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第一节 实 数 解：（1）（-6）×-23 =（-6）× -8=-1-8=-9； （2）设被污染的数字为 x，根据题意得（-6）× -23=6， 解得 x=3，故被污染的数字是 3． 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第一节 实 数 练习三 ［25·唐山模拟］ 嘉嘉和琪琪用下图中的 A，B，C 三张带有运算的卡片做一个“我说你算”的数学游戏，两人约定：一人说数字，并将卡片任意排列；另一人按卡片排列顺序进行计算．例如，嘉嘉说出数字 2，并将卡片按 A→B→C 的顺序排列，则琪琪的运算顺序为：先对 2 进行+3 的运算，接着用求得的和×（-3），最后用所求得的积-2．列式为：（2+3）×（-3）-2=5×（-3）-2=-15-2=-17． 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 第一节 实 数 解：（1）（-5+3）×（-3）-2=（-2）×（-3）-2=6-2=4； （2）根据题意得（x-2）×（-3）+3=12， 解得 x=-1，即 x 的值是-1； （3）根据题意得（a+3-2）×（-3）＜3，解得 a＞-2， ∵a 为负整数，∴a 的值为-1. 链接河北中考·突破重难题型 返回目录 $