5.2.1 实际问题的函数刻画（第一课时）教学设计-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

课题 5.2.1实际问题的函数刻画（第一课时） 学科 数学 教材 北师大版（2019）必修第一册 章节 第五章第二部分第一节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1.学习在实际情境中确认与问题相关的因素，把握各因素之间的关系，提高阅读理解的能力． 2. 学习用数学表达实际问题中因素之间的关系，体会数学的应用价值． 教学重、难点： 重点：分析实际问题中各相关因素之间的关系，建立刻画实际问题的函数模型． 难点：建立刻画实际问题的函数模型． 教材分析 本节课是高中数学北师大版（2019）必修第一册第五章《函数应用》中的一部分，本节是一个重要的内容。这一节不仅介绍了函数的基本概念，还强调了如何利用函数来刻画和解决实际问题。教材通过丰富的实例和例题，帮助学生理解函数模型在实际生活中的应用，逐步掌握函数的基本表示方法以及函数的性质等 核心素养 1.数学抽象：通过实际问题的引入，培养学生的数学抽象能力，使学生能够从复杂的现实情境中提取出数学本质，形成数学模型。 2.数学建模：学会将实际问题转化为数学问题，通过列出函数解析式、利用函数图像性质等方法，对实际问题进行数学建模。 3.逻辑推理：在解决问题的过程中，学生需要运用逻辑推理能力，对函数关系进行分析和判断，从而得出正确的结论。 4.应用意识：通过函数模型的应用，让学生体会到数学与现实生活的紧密联系，培养其用数学眼光看待问题的意识和能力。 教学方法和手段 教学方法：启发法、练习法、讨论法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 情境导入 创设问题情境：在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画，函数刻画的方法可以使用图象，但常见的还是使用解析式． 思考：如何用函数刻画实际情况呢？ 通过创设情境，使学生明确函数可以描述客观世界的变化规律，为接下来的讲解铺垫． 探究新知 知识点：实际问题的函数刻画 问题1：某公司投入了15万元，用于研发设计一种新型几何模板．经测算，每件产品的直接成本是130元，市场的合适售价是190元．显然，这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品，另一方面又要争取获得好的收益．当这种新型几何模板畅销时，怎样计算总收益呢？（销售、仓储及维护等环节成本忽略不计） 师生活动： （1） 教师追问：这个问题涉及了哪几个因素？这几个因素之间存在怎样的关系？ （2） 学生自主思考，小组内合作讨论，教师适当进行点拨，做到让每个学生都发言； 预设答案： ①生产总成本（记作元）与产量及单件产品的直接成本、研发费用有关系； ②销售总收入（记作元）与销售量及销售单价有关系； ③总收益（记作元）与生产总成本及销售总收入有关系． 关系：总收益总收入总成本 教师提问：如何用函数表示上述关系？ 学生活动：学生分析题目，首先明确销售单价、单件产品的直接成本和研发费用都是定量；当产品畅销时，销售量等于产量，产量是变量，可以设为件，然后再讨论出它们之间的关系： ①生产总成本与产量的关系为； ②销售总收入与产量的关系为； ③总收益与产量的关系为 ． 关于的函数图象如下图所示． 教师追问：产量在什么范围时，该公司可以盈利？若该公司若想盈利万元，应生产多少件该产品？ 学生活动：学生小组内讨论，发现从上图中可以看出产量件是关键点，若，则要亏损；若，则总收益为；若，则可盈利．如果公司想盈利万元，则令，解得：．故该公司若想盈利万元，应生产件该产品． 问题2：如图，为一台冷轧机的示意图，这台冷轧机由4对减薄率为20%的轧辊组成，所有轧辊周长均为1600 mm，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，轧钢过程中，带钢宽度不变．若第x对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，相邻疵点间距为L(x)，为了便于检修，请完成下表（不考虑损耗）？ 师生活动： （1） 教师追问：带钢宽度不变意味着什么？不考虑损耗意味着什么？ （2） 学生活动：学生思考后回答带钢宽度不变意味着经过轧辊后带钢变长，不考虑损耗意味着带钢的体积不变． 教师提问：若第对轧辊有缺陷，在此处输出的相邻疵点间的带钢体积是多少？ 若第对轧辊有缺陷，则在第对轧辊处输出的相邻疵点间的带钢体积是多少？ 学生活动：学生分析题意，设轧钢初始厚度为，宽度为． 经过第对轧辊后，带钢厚度变为，则有，解得：． 相邻疵点间距为轧辊周长，因此，在此处输出的相邻疵点间的带钢体积为． 通过上面的讨论可知， 若第对轧辊有缺陷，则在第对轧辊处输出的相邻疵点间的带钢体积为． 若第对轧辊有缺陷，则在第对轧辊处输出的相邻疵点间的带钢体积为． … … 可得，若第对轧辊有缺陷，则在该处输出的相邻疵点间的带钢体积为 ，． 教师追问：在冷轧机输出的带钢上，相邻疵点间距为，如何表示最终输出的相邻疵点的带钢体积？ 学生活动：学生自主思考分析，对问题进行仔细思考，说出自己的思路。 预设答案： 因为轧钢初始厚度为，宽度为．经过对轧辊后，厚度变为，宽度不变，相邻疵点间距为，故输出的相邻疵点的带钢体积为． 因为在轧钢过程中，不考虑损耗，所以 即，． 经计算得，，，，．填入表格，可得： 轧辊序号 1 2 3 4 相邻疵点间距 3125 2500 2000 1600 通过生活中常见的成本、利润测算模型，让学生体验实际问题数学化的过程．为后续的学习做铺垫 通过本题，提升学生的阅读能力，帮助学生理解生产实际情境，明确解决问题的价值． 典例精析 例1、网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表，第一行是脚长（新鞋码，单位：），第二行是我们习惯称呼的“鞋号（旧鞋码，单位：号）”． 脚长/ 220 225 230 235 240 245 250 255 260 鞋号/号 34 35 36 37 38 39 40 41 42 （1）脚长和鞋号有什么关系呢？ （2）如果看到一款“号”的女童鞋，你知道对应的脚长估计是多少吗？ （3）一名脚长为的女运动员，又该穿多大号的鞋呢？ 【师生活动】 学生自主思考分析题意，教师适当指导，出示正确答案并总结解题方法。 【解析】 解：（1）观察上表，设脚长（新鞋码）、鞋号（旧鞋码）分别为，，将每一对数，对应的数对用平面直角坐标系的点来表示，如下图： 可以看出，这些点在一条直线上，不妨将这条直线表示为．利用表格中的任意两组数，得，．因此． 这就是鞋号关于脚长的函数模型． （2）当时，，即能穿号鞋的女童的脚长不超过． （3）当时，，即脚长为的女篮球运动员应穿43号的鞋． 通过例题讲解，让学生理解怎样解决问题，提高学生解决问题的能力。 当堂练习 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的核心素养。 课堂总结 回顾本节课知识点，总结概括 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计 一、引入 二、知识精讲 知识点：实际问题的函数刻画（第一课时） 三、例题点拨-通过例题进行讲解，便于理解 四、方法总结-开拓学生解题思路 五、当堂练习 六、课堂小结 七、教学反思 教学设计反思 1.教学重难点的把握：本节课的教学重点在于理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并能运用函数来刻画实际问题。教学难点在于如何从实际问题中抽象出函数关系，以及如何利用函数性质解决实际问题。在教学过程中，应注重引导学生理解函数模型背后的实际意义，培养其数学建模能力。 2.教学方法的选择：采用情境教学法、案例教学法等多种教学方法，通过生动的实例和贴近生活的情境，激发学生的学习兴趣和积极性。同时，注重课堂互动，鼓励学生积极参与讨论和思考，提高其学习效果。 3.教学过程的优化：在导入环节，可以通过实际场景或视频等方式，快速吸引学生的注意力；在感性认识阶段，通过简单的实际问题引导学生进入学习状态；在理性认识阶段，通过逐步深入的问题引导学生思考和解决问题；在总结与归纳环节，通过回顾和巩固帮助学生加深对知识点的理解和记忆。 4.学生反馈的收集：在教学过程中，应及时收集学生的反馈意见，了解学生的学习情况和困难所在，以便及时调整教学策略和方法。同时，鼓励学生提出问题和建议，促进师生之间的良好互动和沟通。 学科网（北京）股份有限公司 $