第5章 2.1 实际问题的函数刻画&2.2 用函数模型解决实际问题(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

第五章　函数应用 §2　实际问题中的函数模型 2．1　实际问题的函数刻画 2．2　用函数模型解决实际问题 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 目 录 课前案·自主学习 01 02 CONTENTS 03 课堂案·互动探究 课后案·学业评价 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课前案·自主学习 01 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 导学 用函数模型解决实际问题 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 课堂案·互动探究 02 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 返回目录 第五章　函数应用 数学•必修　第一册(配BSD版) 1 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000,x). 　销售收入R与产量x的关系是什么？ [提示]　销售收入R与产量x的关系R＝500x. ◎结论形成 1．实际问题的函数刻画 在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画. 函数刻画的方法可以使用图象，但最常见的还是使用解析式． 2．几类常见的函数模型 名称 解析式 条件 一次函数模型 y＝kx＋b k≠0 反比例函数模型 y＝eq \f(k,x) k≠0 二次函 数模型 一般式：y＝ax2＋bx＋c 顶点式：y＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2＋eq \f(4ac－b2,4a) a≠0 指数函数型模型 y＝b·ax＋c a>0且a≠1，b≠0 对数函数型模型 y＝mlogax＋n a>0且a≠1，m≠0 幂函数型模型 y＝axn＋b a≠0 3.用函数模型解决实际问题 数学模型是针对或参照某种事物的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，抽象概括地、简化近似地表述出来的一种数学结构．其中，函数模型是应用最广泛的数学模型之一．实际问题一旦被认定是函数关系，就可以通过研究这个函数的性质，使问题得到解决． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的．(　　) (2)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好．(　　) (3)根据收集到的数据作出散点图，结合已知的函数选择适当的函数模型，这样得到的函数模型的模拟效果较好．(　　) (4)利用已知模型计算所得数据与实际问题完全一致．(　　) 解析　(1)对于一个实际问题，可以选择不同的函数模型，只是模拟效果有区别． (2)数据越多，模拟效果越好． (3)根据散点图选择函数模型，针对性较强，得到的函数模型的模拟效果就越好． (4)错误． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．计算机成本不断降低，若每隔2年计算机价格降低eq \f(1,3)，现在价格为8100元的计算机6年后价格可降为(　　) A．3600元　　　　　　 B．2400元 C．900元 D．300元 答案　B 3．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x件时的成本函数为c(x)＝20＋2x＋eq \f(1,2)x2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为(　　) A．18件　 B．36件　 　 C．22件　 D．9件 解析　y＝20x－c(x)＝20x－20－2x－eq \f(1,2)x2 ＝－eq \f(1,2)x2＋18x－20.∴x＝18时，y有最大值． 答案　A 4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区某传染病累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝eq \f(K,1＋e－0.23t－53)，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制该传染病，则t*约为(ln 19≈3)(　　) A．60 B．63 C．66 D．69 解析　∵I(t)＝eq \f(K,1＋e－0.23t－53)， 所以I(t*)＝＝0.95K， 则，所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3， 解得t*≈eq \f(3,0.23)＋53≈66. 答案　C 题型一　利用已知模型解决实际问题 eq \a\vs4\al(自练悟通) 1．(2025·广东江门高一检测)中国高铁发展至今，已经创造了许多世界纪录，高速列车不仅速度比普通列车快而且噪声更小．我们常用强级L＝10×lgeq \f(I,10－12)(L的单位：dB)表示声音的强弱，其中I代表声强(单位：W/m2)．若普通列车的声强级是100 dB，高速列车的声强级是50 dB，则普通列车的声强是高速列车的声强的(　　) A．106倍　　　　　　 B．105倍 C．104倍 D．103倍 解析　设普通列车、高速列车的声强分别为I1，I2，声强级分别为L1，L2. 由题意，L1＝10×lgeq \f(I1,10－12)＝100， L2＝10×lgeq \f(I2,10－12)＝50， 两式相减可得，100－50＝10×lgeq \f(I1,10－12)－10×lgeq \f(I2,10－12)＝10lgeq \f(I1,I2)，即lgeq \f(I1,I2)＝5，所以eq \f(I1,I2)＝105，即普通列车的声强是高速列车的声强的105倍． 答案　B 2．(多选)第31届世界大学生夏季运动会在四川成都举行，大运会吉祥物“蓉宝”备受人们欢迎．某大型超市举行抽奖活动，推出“单次消费满1000元可参加抽奖”的活动，奖品为若干个大运会吉祥物“蓉宝”．抽奖结果分为五个等级，等级x与获得“蓉宝”的个数f(x)的关系式为f(x)＝p＋ekx＋b，已知三等奖比四等奖获得的“蓉宝”多2个，比五等奖获得的“蓉宝”多3个，且三等奖获得的“蓉宝”数是五等奖的2倍，则(　　) A．k＝－ln 2 B．b＝5ln 2 C．p＝3 D．二等奖获得的“蓉宝”数为10 解析　依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f3－f4＝2，,f3－f5＝3，,f3＝2f5，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f3＝6，,f4＝4，,f5＝3，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(p＋e3k＋b＝6，①,p＋e4k＋b＝4，②,p＋e5k＋b＝3.③)) 对于A，①－②得e3k＋b(1－ek)＝2， ②－③得e4k＋b(1－ek)＝1， 所以e－k＝2，所以k＝－ln 2，故A正确； 对于B，由选项A可知ek＝eq \f(1,2)，所以由e3k＋b(1－ek)＝2，得eb＝32，解得b＝5ln 2，故B正确； 对于C，由①及选项A、B可知p＋e3k＋b＝p＋(ek)3·eb＝p＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×32＝6，解得p＝2，故C错误； 对于D，由选项A、B、C可得f(x)＝2＋32×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，即f(x)＝2＋25－x，所以f(2)＝2＋25－2＝10，即二等奖获得的“蓉宝”数为10，故D正确． 答案　ABD 利用已知函数模型解决实际问题 (1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数； (2)利用已知函数模型解决实际问题； (3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用取对数法，代指数运算为对数运算．　 题型二　利用自建函数模型解决实际问题 　(教材例1、例5迁移)某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2. (1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式； (2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值． [解析]　(1)设AM＝y，AD＝x， 则x2＋4xy＝200，∴y＝eq \f(200－x2,4x). 故Q＝4200x2＋210×4xy＋80×2y2 ＝38 000＋4000x2＋eq \f(400 000,x2)(0<x<10eq \r(2))． (2)令t＝x2，则Q＝38 000＋4000eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(100,t)))， 且0<t<200. ∵函数u＝t＋eq \f(100,t)在(0,10]上单调递减，在[10,200)上单调递增， ∴当t＝10时，umin＝20. 故当x＝eq \r(10)时，Qmin＝118 000(元)． [素养聚焦]　通过数学模型的实际应用提升数学应用关键能力、数学建模等核心素养. 自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”． (1)求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务． (2)设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量． (3)列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等． (4)限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．　 [触类旁通] 1．(2025·四川成都高一联考)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过20万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过20万元时，若超出A万元，则超出部分按2log2(A＋5)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)． (1)写出资金y关于销售利润x的关系式； (2)如果业务员老江获得10万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 解析　(1)根据题意可知，当销售利润0≤x≤20时，y＝0.1x； 当销售利润x>20时，y＝0.1×20＋2log2(x－20＋5)＝2＋2log2(x－15)． 所以可得奖金y关于销售利润x的关系式为 y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0.1x，0≤x≤20，,2＋2log2x－15，x>20.)) (2)易知当0≤x≤20时，奖金不可能为10万元，所以令2＋2log2(x－15)＝10， 即log2(x－15)＝4，则x－15＝24，解得x＝31， 即业务员老江的销售利润是31万元． 题型三　利用拟合函数模型解决实际问题 　(教材例2、例4、例6拓展)某医学专家为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的个数与天数的记录如下表： 天数 1 2 3 4 5 6 病毒细胞的个数 1 2 4 8 16 32 已知该病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡，但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%. (1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物(精确到天，lg 2≈0.301 0)? (2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命(精确到天)? [解析]　(1)由题意知，第一次注射药物前病毒细胞个数y关于天数n(n∈N＋)的函数关系式为y＝2n－1(n∈N＋)， 为了使小白鼠在实验过程中不死亡， 则2n－1≤108， ∴n－1≤log2108＝8log210＝eq \f(8,lg 2)， 解得n≤1＋eq \f(8,lg 2)≈27.6，又n∈N＋， ∴第一次最迟应在第27天注射该种药物． (2)由题意知，第一次注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%， 则再经过x天后小白鼠体内的病毒细胞个数为226×2%×2x＝226＋x×2%， 由226＋x×2%≤108，得226＋x≤5×109， ∴(26＋x)lg 2≤lg 5＋9＝1－lg 2＋9＝10－lg 2， 即26＋x≤eq \f(10－lg 2,lg 2)＝eq \f(10,lg 2)－1， ∴x≤eq \f(10,lg 2)－27≈6.2， ∴再经过6天必须注射药物，即第二次最迟应在第27＋6＝33天注射该种药物． 函数拟合与预测的一般步骤 (1)根据原始数据、表格，绘出散点图． (2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线． (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)根据拟合误差要求判断、选择最佳拟合函数． (5)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．　 [触类旁通] 2．(2025·南京高一检测)运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时，500千米/小时，每千米的运费分别为20元、10元、50元．这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为m元(m>0)，运输的路程为s(千米)．设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用(包括运费和损耗费)分别为y1(元)，y2(元)，y3(元)． (1)请分别写出y1，y2，y3的表达式； (2)试确定使用哪种运输工具总费用最省． 解析　(1)y1＝20s＋eq \f(ms,60)，y2＝10s＋eq \f(ms,120)， y3＝50s＋eq \f(ms,500). (2)因为m>0，s>0，故20s>10s，eq \f(ms,60)>eq \f(ms,120)， 所以y1>y2恒成立，故只需比较y2与y3的大小关系即可． 令f(s)＝y3－y2＝40s－eq \f(19ms,3000)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(40－\f(19m,3000)))s， 故当40－eq \f(19m,3000)>0，即m<eq \f(120 000,19)时， f(s)>0，即y2<y3，此时选择火车运输费用最省； 当40－eq \f(19m,3000)<0，即m>eq \f(120 000,19)时，f(s)<0， 即y2>y3，此时选择飞机运输费用最省； 当40－eq \f(19m,3000)＝0，即m＝eq \f(120 000,19)时，f(s)＝0， 即y2＝y3，此时选择火车或飞机运输费用最省． [缜密思维提能区] 易错辨析 忽略了实际情况对函数定义域的限制而致错 [典例]　如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(b<a)，在AB，AD，CD，CB上分别截取AE，AH，CG，CF，且AE＝AH＝CG＝CF＝x. 问：当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？并求出最大面积． [错解]　设四边形EFGH的面积为S， 则S＝ab－2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋\f(1,2)a－xb－x)) ＝－2x2＋(a＋b)x＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a＋b,4)))2＋eq \f(a＋b2,8). 根据二次函数的性质可知， 当x＝eq \f(a＋b,4)时，S有最大值eq \f(a＋b2,8). [正解]　设四边形EFGH的面积为S，则 S＝ab－2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋\f(1,2)a－xb－x)) ＝－2x2＋(a＋b)x ＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a＋b,4)))2＋eq \f(a＋b2,8)，x∈(0，b]． 因为0<b<a，所以0<b<eq \f(a＋b,2). 若eq \f(a＋b,4)≤b，即a≤3b，则 当x＝eq \f(a＋b,4)时，S有最大值eq \f(a＋b2,8)； 当eq \f(a＋b,4)>b，即a>3b时，易知函数在(0，b]上是增函数， 所以当x＝b时，S有最大值ab－b2. 综上可得，当a≤3b，x＝eq \f(a＋b,4)时，S有最大值eq \f(a＋b2,8) ； 当a>3b，x＝b时，S有最大值ab－b2. [纠错心得]　利用函数解决实际问题时，要遵循定义域优先的原则，即必须考虑到自变量的实际意义，否则会出现错解． 知识落实 技法强化 1.应用已知函数模型解决实际问题． 2．借助于指数型、对数型函数模型解决问题. 1.思想方法：化归与转化的思想． 2．常见误区：求定义域时忽略实际问题. $$