第5章 三角函数 单元测试（A卷）-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

第5章《三角函数》单元测试（A卷）2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单选题 1．已知α为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．函数的最大值与最小值的和为（    ） A． B． C． D．3 4．已知函数满足，且在上单调，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，（，），，，且在区间上单调，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 6．已知函数的最小正周期为，若，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．函数的值域为 A． B． C． D． 8．的周长为18，若，则的内切圆半径的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D．4 二、多选题 9．下列代数式的值为1的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数在上有最大值，无最小值，则（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．是离轴距离最近的对称轴 D．的最小正周期为 11．已知函数在内的三个零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．设，则 （结果用a表示） 13．已知锐角三角形中，三内角A，，分别对应三边，，．若，则的取值范围为 ． 14．求值：_________ 四、解答题 15．（1）计算：； （2）化简； （3）化简：． 16．已知函数 的部分图象如图所示， （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间． 17．设函数，其中，已知，且. (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若存在，使得，求的取值范围. 18．设，函数，． (1)讨论函数的零点个数； (2)若函数有两个零点，，求证：． 19．“三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系. (1)利用恒等式和，求函数和的最小值. (2)在中，角对应的边为. （i）求证：. （ii）已知实数满足，求二元函数的最大值. 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 1．C 【分析】由条件和α为第二象限角确定值，即可求出. 【详解】解：由可得， 又α为第二象限角，所以. 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查象限角的正切值求法，属于基础题. 2．A 【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再根据时的函数值为正排除余下两个中的一个即得. 【详解】函数的定义域为，， 函数是奇函数，图象关于原点对称，BD不满足； 当时，，则，C不满足，A满足. 故选：A 3．B 【分析】化简，得，再利用正弦函数的性质可求得最大值和最小值，从而可解. 【详解】 因为，所以， 所以，即， 所以当，即时，， 当，即时，， 所以. 故选：B 4．B 【分析】先通过，且在上单调，确定的值，再通过三角函数值域的求法求解在上的值域即可. 【详解】由得，或， 当时在上不单调， 当时在上单调， 所以. 当时，， 所以， 所以在上的值域为. 故选：B . 5．B 【分析】根据函数的单调性确定的取值范围，再由两个函数的值列出方程组，求解后分析即得的最大值. 【详解】设函数的最小正周期为，， 因在区间上单调，则，因，则有， 又，，则得， 消去，可得，即， 因，可得， 故当时，取得最大值为5. 当时，，由可得， 此时，符合题意. 故选：B. 6．D 【分析】根据余弦函数的周期公式和求出，再根据余弦函数的图象可得结果. 【详解】由题意的最小正周期为T，则， 又，可得，即， 又，所以， 在区间上恰有3个零点， 当时，， 结合函数的图象如图所示：      则在原点右侧的零点依次为，，，，…， 所以，解得，即的取值范围为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：根据余弦函数的图象求解是解题关键. 7．D 【分析】先利用同角三角函数的基本关系式化简函数解析式，利用配方法，结合二次函数的性质以及的取值范围，求得函数的值域. 【详解】. 由的定义域：，故，故函数的值域是.故选D. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二次函数的性质，考查正切型函数的定义域的求法，属于中档题. 8．B 【分析】利用三角恒等变换得到，，作出图形，设出边长，的内切圆半径为，得到等量关系，利用基本不等式求出答案. 【详解】由题意得， 因为， 所以， 即， 即，故， 又， 分子分母同除以可得， ， 如下图，的内切圆圆心为，且圆与相切于点，与相切于点， 设的内切圆半径为，， 显然，， 故，即， ，整理可得，， 将代入中得，， 因为， 即， 所以， 故，解得，， 则，当且仅当时，等号成立， 故的内切圆半径的最大值为. 故选：B 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 9．AD 【分析】利用倍角公式，辅助角公式和两角差的正切公式逐项求解可得答案. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B不正确； 对于C， ，C不正确； 对于D，，D正确. 故选：AD. 10．CD 【分析】首先化简函数的解析式，根据函数的形状，确定端点的取值范围，即可求的值，再根据函数的性质，判断选项. 【详解】. 当时，， 因为函数在上有最大值，无最小值， 所以存在，使得 整理得，，所以，解得. 又因为，故，得， A.，所以函数不是奇函数，故A错误； B.当时，，所以函数在上单调递减，故B错误； C.令，，则，，所以离轴距离最近的对称轴方程为，故C正确； D.的最小正周期为，故D正确. 故选：CD 11．BCD 【分析】利用两角和差的正弦公式化简得，可计算出三个零点判断A，B，利用二倍角公式结合积化和差化简计算可判断C，利用诱导公式结合积化和差公式、二倍角公式计算可判断D. 【详解】对于A，B，， 令，因为，所以， 所以，所以， 又，所以，，， 解得，，，故A错误，B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，因为， ， 其中，，. 因为 ， ， 所以，即， 所以，故D正确. 故选：BCD. 12． 【分析】已知等式左边中的角度变形后，利用诱导公式化简表示出，利用同角三角函数间的基本关系求出和的值，原式变形后利用诱导公式化简，将各自的值代入计算即可求出值. 【详解】， 即，且， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了诱导公式以及同角三角函数的基本关系，熟记公式是关键. 13． 【分析】根据三角形内角关系以及三角恒等变换整理得，注意到，结合正弦函数的有界性分析求解. 【详解】因为，则，即， 则 ， 由于为锐角三角形，所以，解得， 则，可知， 所以的取值范围为． 故答案为：. 14． 【分析】原式，然后多次利用二倍角正弦公式及诱导公式化简式子即可求解. 【详解】解： ， 故答案为：． 15．（1）0；（2）（3）答案见解析. 【分析】（1）根据指数对数运算法则即可求解； （2）根据诱导公式即可求解； （3）根据同角三角函数关系即可求解. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式 ， 而，所以，且，结合， 所以当且时，即时，所求为1， 当且时，即所求为. 16．（1）；（2）单调增区间为，；单调减区间为，． 【分析】（1）由图象可得，由周期公式可得，代入点计算可得值，进而可得函数的解析式． （2） 根据正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：（1）由图象可知， 由于， 所以； 所以， 又因为函数图象的一个最高点为， 所以，解得， 又，． 所以． （2）由，，解得，； 由，，解得，； 所以的单调增区间为，； 的单调减区间为，． 17．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由已知不等式及函数的最值，可得周期与的关系，从而建立的等量关系求解可得； （2）结合余弦函数图象与性质，由整体角范围求解单调增区间； （3）先由图象平移关系得的解析析，再由不等式有解，可得，求出函数在上的最值即可得解. 【详解】（1）由知，， 则，又已知， 所以， 故中恰有一个取最大值，而另一个取最小值. 所以有， 则， 故，则. 因为，且，所以，， 则. （2）令， 解得， 故的单调递增区间为. （3）由题意可得. ∵，∴， 此时，， 由题意，要使有解，可得， 即，解得， 故所求的取值范围是. 18．(1)两个 (2)证明见解析 【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数的零点个数； （2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明. 【详解】（1）由题设得． 令，得．设，因为，所以， 所以．      ①当时，无解； ②当时，仅有一解，此时x仅有一解； ③当时，有两解， 此时方程各有一解，所以有两个零点； 综上，时，无零点，时，有一个零点， 时，有两个零点． （2）有两个零点时，今，，则，为的两解， 则，则，则．      由，可得，，所以， 所以．所以．      由可得，，则． 由在递减，可得，则． 【点睛】函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 19．(1)的最小值为：，的最小值为： (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）利用三角换元结合余弦函数的性质可求的最小值，利用三角换元结合距离公式可求的最小值； （2）（i）利用两角差的余弦公式、同角的三角函数基本关系化简可证；（ii）利用（i）中的结论可设，再化简，结合几何意义可求最大值. 【详解】（1）设，则， 因为，所以，所以，所以， 即的最小值为， 当时， ， 表示点到点和的距离之和， 所以. 当时， ， 表示点到点和的距离之差， 所以， 综上，的最小值为：. . （2）（i）因为， 所以 ，证毕. （ii）因为，故， 故，同理. 若， 当为三角形内角时，由（i）可得： ， 若有一个为零或，不妨设或， 若，则， 若，则， 若（i）中可以推广为： 若，则. 在（i）中，令，则且， 故设， 所以. 可得， 则 其表示点到点和的距离之差再加上， 所以， 当且仅当， 即时等号取得，此时满足. 【点睛】思路点睛：对于“即学即用”型的问题，应根据题设给出的方法指引结合函数解析式的特征展开讨论，对于带根号的形式的解析式，注意利用其几何意义来出最值. 答案第10页，共13页 答案第11页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $