精品解析：贵州省遵义市区县一中2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题

高二联考数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至选择性必修第一册第一章1.2.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是空间的一组基底，则下列向量可以与向量，构成空间的另一组基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，拨动十二支招福游戏盘的指针，黑色的指针会等可能地随机指向十二支中的某一支.当黑色的指针指向辰或巳时，可获得“福气满满”的称号.甲、乙分别拨动指针一次，且甲、乙参加游戏的结果相互独立，则至少有一人获得“福气满满”的称号的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在四棱锥中，底面是平行四边形，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，几何体为长方体，且，，，是轴上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. D. 10. 在空间直角坐标系中，点，，，，则（ ） A. 点到轴的距离为 B. 三棱锥在平面上的正投影的图形为梯形 C. 三棱锥在平面上的正投影的图形为三角形 D. 三棱锥在平面上的正投影图形的面积为8 11. 已知奇函数的定义域为，当时，，则（ ） A. B. 有且只有两个零点 C. D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的最小值为___________． 13. 若，，，则向量在向量上的投影向量的模长为___________. 14. 设函数.若为偶函数，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在空间直角坐标系中，点，，. （1）求平面的一个法向量的坐标； （2）若是平面的一个法向量，且平面垂直平面，求； （3）若是直线的一个方向向量，且平面，求. 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）判断是锐角三角形还是钝角三角形，并说明理由. （2）已知的面积为. ①求的周长； ②求外接圆的半径. 17. 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，将成绩整理后，分为五组（，，，，）. （1）求图中的值. （2）若根据这次成绩，年级准备淘汰80％的同学，仅留20％的同学进入下一轮竞赛，则成绩至少要达到多少分才可以晋级？ （3）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的2人恰好来自同一小组的概率. 18. 如图，在三棱锥中，，，，是的中点，为线段上靠近的三等分点，是的中点. （1）用向量，，表示向量； （2）求； （3）求. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，上的动点，且. （1）证明：. （2）已知直线与平面所成角的正弦值为. ①求； ②证明：异面直线与所成的角大于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二联考数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至选择性必修第一册第一章1.2.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的运算求解即可． 【详解】集合，，则． 故选：D． 2. 已知是空间的一组基底，则下列向量可以与向量，构成空间的另一组基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共面向量的性质逐个选项去排除，即可得到正确判断. 【详解】由于基底必是非零向量，故A错误； 由于是空间的一组基底，则与不共面， 若，与共面，则， 化简得，可得， 解得，则，与共面， 同理可证，与共面，则，与不共面， 所以,,可以构成空间的一组基底，故B正确； 由已知得，一定与共面，所以C，D错误； 故选：B 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦二倍角公式直接计算即可． 【详解】． 故选：A． 4. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量数量积坐标运算即可求解. 【详解】由于， 故选：A. 5. 已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆柱的体积公式和侧面积公式即可求解. 【详解】设圆柱的高为，底面半径为1，由圆柱的体积为可得：， 所以该圆柱的表面积为， 故选：C. 6. 如图，拨动十二支招福游戏盘的指针，黑色的指针会等可能地随机指向十二支中的某一支.当黑色的指针指向辰或巳时，可获得“福气满满”的称号.甲、乙分别拨动指针一次，且甲、乙参加游戏的结果相互独立，则至少有一人获得“福气满满”的称号的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对立事件和相互独立事件乘法公式即可求解. 【详解】在一次游戏中，可获得“福气满满”的称号的概率为， 则甲、乙参加游戏，两人都没有获得“福气满满”的称号的概率是， 所以至少有一人获得“福气满满”的称号的概率为， 故选：B. 7. 在四棱锥中，底面是平行四边形，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理即可求解. 【详解】由，得， ， 故选：A 8. 笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，几何体为长方体，且，，，是轴上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作点关于轴的对称点，由对称性得，当、、三点共线时，取最小值，结合空间中两点间的距离公式求解即可. 【详解】作点关于轴的对称点，易知点， 由对称性知， 所以. 当且仅当为线段与线段的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数概念及模的运算和除法运算即可求解. 【详解】复数的虚部为，故A错误； 复数的共轭复数为，故B正确； 复数的模为，故C正确； ，故D正确； 故选：BCD. 10. 在空间直角坐标系中，点，，，，则（ ） A. 点到轴的距离为 B. 三棱锥在平面上的正投影的图形为梯形 C. 三棱锥在平面上的正投影的图形为三角形 D. 三棱锥在平面上的正投影图形的面积为8 【答案】BC 【解析】 【分析】空间点到坐标轴的距离公式：点到轴的距离公式：，几何体在坐标平面上的正投影规则：投影到平面：，投影到平面：，投影到平面：，根据投影分析判断选项即可. 【详解】对于A选项，点到轴的距离：，A选项错误； 对于B选项，平面正投影：所有点坐标变0，， 投影图形是四边形，，且，是梯形，B选项正确； 对于C选项，在平面上的正投影：所有点坐标变0， 与重合在，，投影图形构成三角形，C选项正确； 对于D选项，在平面上的正投影：所有点坐标变0，， ，，与重合，， 投影图形：点重合，所以正投影图形是三角形， 坐标：， 在平面（即坐标平面）上，， 向量法：，D选项错误. 故选：BC 11. 已知奇函数的定义域为，当时，，则（ ） A. B. 有且只有两个零点 C. D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据奇偶性求值即可；对于B，根据奇偶性及单调性确定零点个数即可；对于C，根据函数单调性比较大小即可；对于D，根据奇偶性及单调性解不等式即可． 【详解】对于A，由为上的奇函数， 所以，故A正确； 对于B，当时，， 又在 上单调递增，且， 所以时，有且仅有一个零点， 又是上的奇函数， 所以时，也有一个零点，且， 则有三个零点，故B错误； 当时，单调递增，又， 所以，故C正确； 对于D，因为时，单调递增，且， 则时，，时，， 由对称性可知，时，，时，， ， 或， 即或，解得或， 不等式的解集为，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式求最值即可． 【详解】，， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为． 故答案为：． 13. 若，，，则向量在向量上的投影向量的模长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查向量投影向量的模长的计算，解题思路是先求出向量、的坐标，再根据向量投影向量的模长公式进行计算 【详解】由题可得 向量在向量上的投影向量的模长为， 故答案为： 14. 设函数.若为偶函数，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，解得，结合即可求解． 【详解】由题知，且为偶函数， 所以， 解得， 又，所以． 故答案为：3． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在空间直角坐标系中，点，，. （1）求平面的一个法向量的坐标； （2）若是平面的一个法向量，且平面垂直平面，求； （3）若是直线的一个方向向量，且平面，求. 【答案】（1）（答案不唯一） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面法向量的求解方式求解即可； （2）由题可知，即可求解； （3）根据题意，即，再列式求解即可． 【小问1详解】 设面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， 所以平面的一个法向量的坐标为； 【小问2详解】 由（1）知平面的一个法向量为， 是平面的一个法向量，且平面垂直平面， 则，即， 解得； 【小问3详解】 由（1）知平面的一个法向量为， 是直线的一个方向向量，且平面， ，即， ，解得． 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）判断是锐角三角形还是钝角三角形，并说明理由. （2）已知的面积为. ①求的周长； ②求外接圆的半径. 【答案】（1）钝角三角形，理由如下： 由，结合正弦定理可得： ， 设，可知角为最大角， 所以， 所以角为钝角， 即是钝角三角形. （2）①18，② 【解析】 【分析】（1）设，由余弦定理即可求解； （2）①由（1）结合三角形面积公式即可求解；②由正弦定理即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）可得， 所以， 解得，即， 所以的周长为； ②由正弦定理可得：. 即外接圆半径为. 17. 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，将成绩整理后，分为五组（，，，，）. （1）求图中的值. （2）若根据这次成绩，年级准备淘汰80％的同学，仅留20％的同学进入下一轮竞赛，则成绩至少要达到多少分才可以晋级？ （3）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的2人恰好来自同一小组的概率. 【答案】（1）0.032； （2）78分； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小矩形面积和为1求出. （2）利用频率分布直方图求出第80百分位数即可. （3）求出抽取的6人中每个小组的人数，再利用列举法求出古典概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，所以. 【小问2详解】 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 则第80百分位数，因此，解得 ， 所以成绩至少要达到78分才可以晋级. 【小问3详解】 由频率分布直方图得成绩在的频率比为， 因此成绩在内抽取人，记为，成绩在内抽取2人，记为， 设“抽到的两位同学来自同一小组”， 样本空间，共15个样本点， 则，共7个样本点， 所以选出的2人恰好来自同一小组的概率． 18. 如图，在三棱锥中，，，，是的中点，为线段上靠近的三等分点，是的中点. （1）用向量，，表示向量； （2）求； （3）求. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用中线向量公式，结合向量的线性运算即可求解； （2）利用基底表示向量，先求基底的数量积，问题即可求解； （3）利用基底的数量积运算即可求向量的模. 【小问1详解】 因为是的中点，所以， 又因为为线段上靠近的三等分点，所以， 又因为是的中点，所以， 则； 【小问2详解】 因为，，， 所以， ， 所以 【小问3详解】 19. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，上的动点，且. （1）证明：. （2）已知直线与平面所成角的正弦值为. ①求； ②证明：异面直线与所成的角大于. 【答案】（1） 如图，以的方向分别为轴的正方向建系如图， 所以, 设，则， 所以 所以， 所以. （2）①1； ②设异面直线与所成的角为， 又，， 则， 所以，得证. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由即可求证； （2）①建系，由线面夹角公式即可求解，②建系，由异面直线夹角公式即可求证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①，， 设平面的法向量为， 则， 设，则， 即， 所以直线与平面所成角的正弦值， 又， 解得，即； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $