精品解析：辽宁省鞍山市立山区2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2025年11月九年级数学期中质量监测试卷 温馨提示：请每一位考生把所有的答案都答在答题卡上，答案要求见答题卡，否则不给分． （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项即可． 【详解】解：一元二次方程需满足：①一个未知数；②最高次数为2；③整式方程； A.含有两个未知数x和y，不符合①，不是一元二次方程，不符合题意； B.展开得，即，最高次数为3，不符合②，不是一元二次方程，故不符合题意； C.方程可化为，满足所有条件，是一元二次方程，符合题意； D.方程含有分式，不是整式方程，不符合③，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 剪纸艺术是国家级第一批非物质文化遗产，下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念；根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：第一个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形， 第二个图形不是轴对称图形，是中心对称图形， 第三个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形， 第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形， 综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形的是第3个图形共1个． 故选：A． 3. 若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的根，将方程的根代入即可得到等式，正确理解一元二次方程的根的定义是解题的关键 【详解】解：∵关于x的一元二次方程一个根为， ∴将代入方程得 故选：B 4. 如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定定理即可判断． 【详解】解：中，是正方形的对角线， ∴，且，， 即， 要使， 则， 观察图形，只有是正方形的对角线，即， 且，， 即， ∴点符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握“根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键． 5. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，由题意可得3月份的售价为万元，4月份售价为万元，由此列方程即可． 【详解】解：设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x， 由题意得：， 故选：A． 6. 如图，四边形与四边形位似，位似中心是O，若，且四边形的周长为5，则四边形的周长为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．根据相似比等于位似比可得：四边形的周长：四边形的周长，据此解答即可求解． 【详解】解：∵， ， ∵四边形与四边形位似，位似中心是， ∴四边形与四边形的相似比为， ∴四边形的周长：四边形的周长， ∵四边形的周长为5， ∴四边形的周长为， 故选：B． 7. 若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A（－1，y1）、B（2，y2）、C（5，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ） A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y2＞y1＞y3 D. y3＞y1＞y2 【答案】B 【解析】 【分析】二次函数抛物线向下，且对称轴为x=-=3．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小． 【详解】解：∵二次函数y=x2-6x+c， ∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x=-=3． ∵点（-1，y1）、（2，y2）、（5，y3）都在二次函数y=x2-6x+c的图象上， 且， ∴三点横坐标离对称轴x=3的距离按由远到近为： （-1，y1）、（5，y3）、（2，y2）， ∴y1>y3>y2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据函数关系式，找出对称轴． 8. 如图，正方形网格中每个小正方形边长为1，点、、都在格点上，、分别与同一条网格线交于点、，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 取格点，连接得到，再证明，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，取格点，连接 正方形网格中每个小正方形边长为， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 9. 抛物线（）与轴的一个交点坐标为；对称轴是直线，其部分图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x=-1， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0）， ∵抛物线开口向下， ∴当-3＜x＜1时，y＞0． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 10. 如图，在正方形中，为对角线，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接．设，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】当时，过点E作于H，根据勾股定理和旋转的性质以及正方形的性质求出，再根据不同的角度求出，根据即可判断A、B、C；当时，利用勾股定理即可判断D． 【详解】解：当时，过点E作于H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， 当时，则， ∵， ∴，故A不符合题意； 当时，则， ∴， ∵， ∴，故B不符合题意； 当时，则， ∴， ∴ ∵， ∴，故C不符合； 当时，则，即，故D符合题意， 故选D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若方程的两根为、，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系可知，，将算式的值代入中即可求解． 【详解】解：∵方程的两根为、， ∴，， 则原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，能够熟练掌握一元二次方程的根与系数关系是解决本题的关键． 12. 如图，若是由绕一定点按顺时针方向旋转而得，点A、B、C、都在方格纸的格点上，则旋转的角度为___________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是正确的寻找到旋转中心．先利用对应点连线段的垂直平分线的交点确定旋转中心，再连接，则即为旋转角，结合网格图，即可知旋转角度数 【详解】如图所示，连接，结合网格图可知，其垂直平分线分别为直线m，直线n，交于点O，则点为旋转中心，连接，则即为旋转角，由图可知：， 故答案为： 13. 如图，平面直角坐标系中，点B，点D的坐标分别为（0，2）和（0，﹣2），以BD为对角线作▱ABCD，若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质是中心对称图形即可解决问题． 【详解】解：∵点B，点D的坐标分别为（0，2）和（0，-2），以BD为对角线作▱ABCD， ∴点O是平行四边形的性质的对称中心， ∵点A的坐标为（2，1）， ∴点C的坐标为：（-2，-1）． 故答案为：（-2，-1）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． 14. 如图，抛物线与轴相交于，两点，当抛物线与轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，a的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据题意分析出顶点纵坐标越大时，阴影部分面积越小，表示出顶点的纵坐标，然后利用二次函数的图象和性质继续分析即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴取任何数时，抛物线与轴都有两个交点， 根据抛物线的性质的，此时抛物线开口大小固定，抛物线顶点纵坐标为负值， 当抛物线的顶点纵坐标越大时，阴影部分面积越小， ∴顶点纵坐标为， ∴顶点纵坐标可看作关于的二次函数，开口向下，顶点纵坐标为最大值， ∴此二次函数的顶点横坐标为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止，经过_________秒后，与相似． 【答案】或 【解析】 【详解】分两种情况分别计算，①设经过x秒后，得，②设经过x秒后，得，代入用x表示的线段计算即可． 本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 【解答】解：①设经过x秒后， ∵， ∴ ∴ 解得； ②设经过x秒后， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴经过或秒，与相似． 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用完全平方公式和开平方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴或 ∴； 【小问2详解】 解： ∴ ∴． 17. 一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶，若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？ 【答案】每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润为8000元 【解析】 【分析】设每顶头盔的售价为x元，根据商店每月获得的利润为8000元列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设每顶头盔的售价为x元，则， 整理得：， 解得：， ∴每顶头盔的售价为70元时，该商店每月获得的利润为8000元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键． 18. 某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度． 【答案】17米 【解析】 【分析】过点A作，交CD于点G，交EF于点H，根据题意图像可知，根据相似比可解决本题． 【详解】解：过点A作，交CD于点G，交EF于点H． 由题意得：，，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为17米． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，能够熟练掌握相似三角形的性质是解决本题的关键． 19. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中点的对应点分别为点当点落在的延长线上时，过点作，交于点，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，旋转的性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据含角的直角三角形的性质得出边的关系和角的度数，根据旋转和平行线的性质得出角的度数，证明为等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点的坐标是，且过点． （1）求抛物线的解析式； （2）若横坐标为的点是抛物线上位于，之间的一点，连接，，，设的面积为S，请求出S关于的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，求抛物线中三角形的面积，解题的关键是掌握待定系数法． （1）假设顶点式解析式，利用待定系数求解即可； （2）利用待定系数法求直线的解析式，然后表示出三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵顶点的坐标是， ∴设抛物线段解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴抛物线段解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴的垂线，交于点， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入解析式得，， ∴直线的解析式为， ∴，， ∴， ∴． 21. 如图，在四边形中，，，点E，F分别在上，且，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， . ， ， ， ， 又， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形判定，平行线的性质，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上性质． 利用等角得出等边，根据平行线得出相等角，证明得出相等的边和角，然后证明即可． 【详解】略 22. 将绕点顺时针旋转）得到，点，的对应点分别是点，延长交射线于点． （1）如图1，点在线段上，当时，求的度数； （2）如图2，点在线段的延长线上，连接，当时，求的度数（结果用表示）； （3）如图3，，，，，求的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，，，可得； （2）连接，根据“等边对等角”得，由已知可知：，从而得到，根据“等角对等边”得，再根据“”证明，得到：，进而得出结论；过点作于点，连接，延长交于点，由勾股定理求出：，由已知及（2）知：，从而根据“到线段两端距离相等的在这条线段的垂直平分线上”可得：垂直平分，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”证明，得到：，从而得到，根据“等边对等角”得到，由“对顶角相等”得，再根据等角的补角相等即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，设与相交于点， 由旋转的性质得： ， ， ，，， ； 【小问2详解】 解：连接，如图： ， 即， ， ∴在中，， ， ； 【小问3详解】 解：过点作于点，连接，延长交于点，如图： 则， 由勾股定理知：， 解得：， 由已知及（2）知：， ∴点、都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，即有， ， ， 而 ． 23. 如图，已知与交于，两点． （1）求a的值及点的坐标； （2）已知，是上任意两点． ①当直线时，求的值； ②设直线的解析式为，当时，求的取值范围； （3）若，是函数上两点，且，请直接写出的值． 【答案】（1），； （2）①；②； （3）． 【解析】 【分析】（1）将代入，求出，得出．将代入．求出，得出，联立和即可求解． （2）①根据直线，且直线，可设直线，根据是上任意两点，列出方程求出： ②根据直线，且是上任意两点，列出方程组得出．结合，得出，即可求解． （3）根据（1）可得，则函数，画图后分五种情况分情况讨论． 【小问1详解】 解：将代入， 得：， 将代入． 得：， 解得：， ， 当时， 解得：， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：①∵直线，且直线， ∴可设直线， 又 ∵是上任意两点， ， 解得：： ②∵直线， 且是上任意两点， 解得：． ， ∴， ． 【小问3详解】 解：根据（1）可得， ∴函数， 如图： ∵，是函数上的两点，， ①当，即时，， ∴， 解得：（符合题意）； ②当，即时，， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）； 解得：或（不符合题意，舍去）； ③当，即时，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 解得：（不符合题意，舍去）； ④当，即时，， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）； 解得：或（不符合题意，舍去）； ⑤当，即时，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上，． 【点睛】本题考查的利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的最值，解一元二次方程，熟练的利用数形结合的方法解题是关键； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年11月九年级数学期中质量监测试卷 温馨提示：请每一位考生把所有的答案都答在答题卡上，答案要求见答题卡，否则不给分． （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 剪纸艺术是国家级第一批非物质文化遗产，下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（ ） A. B. C. D. 5. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，四边形与四边形位似，位似中心是O，若，且四边形的周长为5，则四边形的周长为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 45 7. 若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A（－1，y1）、B（2，y2）、C（5，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ） A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2 C. y2＞y1＞y3 D. y3＞y1＞y2 8. 如图，正方形网格中每个小正方形边长为1，点、、都在格点上，、分别与同一条网格线交于点、，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 9. 抛物线（）与轴的一个交点坐标为；对称轴是直线，其部分图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，在正方形中，为对角线，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接．设，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若方程的两根为、，则_____． 12. 如图，若是由绕一定点按顺时针方向旋转而得，点A、B、C、都在方格纸的格点上，则旋转的角度为___________． 13. 如图，平面直角坐标系中，点B，点D的坐标分别为（0，2）和（0，﹣2），以BD为对角线作▱ABCD，若点A的坐标为（2，1），则点C的坐标为 _____． 14. 如图，抛物线与轴相交于，两点，当抛物线与轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，a的值为___________． 15. 如图，在中，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止，经过_________秒后，与相似． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶，若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？ 18. 某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度． 19. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中点的对应点分别为点当点落在的延长线上时，过点作，交于点，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点的坐标是，且过点． （1）求抛物线的解析式； （2）若横坐标为的点是抛物线上位于，之间的一点，连接，，，设的面积为S，请求出S关于的函数解析式．（不要求写出自变量的取值范围） 21. 如图，在四边形中，，，点E，F分别在上，且，，求证：． 22. 将绕点顺时针旋转）得到，点，的对应点分别是点，延长交射线于点． （1）如图1，点在线段上，当时，求的度数； （2）如图2，点在线段的延长线上，连接，当时，求的度数（结果用表示）； （3）如图3，，，，，求的度数． 23. 如图，已知与交于，两点． （1）求a的值及点的坐标； （2）已知，是上任意两点． ①当直线时，求的值； ②设直线的解析式为，当时，求的取值范围； （3）若，是函数上两点，且，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $