精品解析：云南省曲靖市麒麟区第十一中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

区十一中2025—2026学年八年级秋季学期期中质量监测 数学试卷题 （全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效. 2.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在中，点，分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 2. 电影《哪吒之魔童闹海》自2025年春节档上映以来，以16天破百亿的惊人速度刷新了中国影史纪录，更以全球约158亿元的票房成绩跻身动画电影全球榜首．15800000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，现添加以下条件仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点D是和角平分线的交点，则（　　） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 如图，在四边形中，，若，则 （ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，直线交于点，则的周长等于（ ） A. 21 B. 24 C. 27 D. 30 10. 如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ） A. ，两边中线的交点处 B. ，两边垂直平分线的交点处 C. ，两边高线的交点处 D. ，两内角平分线的交点处 11. 下列说法中正确的有（ ）． ①．②若a、b互为相反数，则．③．④．⑤若，则a、b互为相反数．⑥的倒数是． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 12. 《孙子算经》中有这样一个问题，其译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人没有车可乘，问共有多少个人？多少辆车？若设共有辆车，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 13. 如图，一艘船在处遇险后向相距100海里位于处的救生船报警．用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置，下列描述最准确的是（ ） A. 南偏西方向上的100海里处 B. 北偏东方向上的100海里处 C. 南偏西方向上的100海里处 D. 北偏东方向上的100海里处 14. 如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连结交于点N，连结、，以下说法：①，②，③，④中，正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分. 15. 已知平面直角坐标系中存在一点，现将平面直角坐标系向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，此时点的坐标为________． 16. 将一个含角的直角三角板与直尺按如图方式放置，三角板的斜边与直尺的一边平行，直尺的上下两边恰好经过0和4刻度．则直尺的宽度是______． 17. 如图，等边三角形，P为上一点，且，则的大小为________． 18. 如图，在三角形中，是边上的高，E为边上一点，P为上一个动点，若，则的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（6分） 19. 计算： 20. （1）解方程组： （2）解不等式组： 21. 如图，，，且，，，四点共线，求证： 22. 已知于E，于F，相交于点D，若．求证：平分． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴对称的和关于轴对称的； （2）写出和的坐标，并计算的面积； （3）在y轴上找一点P使最小，则点P坐标为_______；（在图中保留作图痕迹）． 24. 如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上． （1）求证是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 25. 随着新能源汽车的销售越来越多，小区新能源汽车充电也越来越困难．某小区为了解决业主新能源汽车充电难的问题，准备在小区内修建10个充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建3个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． （1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？ （2）若该小区计划用不超过万元的资金新建充电桩，问共有几种建造方案？并列出所有方案． 26. 已知，和都是等腰直角三角形，，，，点是直线上的一动点（点不与，重合），连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则_______度： （2）如图2，当点在边的延长线上时，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理 （3）如图3中，当点在边的反向延长线上时，试猜想线段，，之间存在的数量关系．直线与直线的位置关系．请补全图形，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 区十一中2025—2026学年八年级秋季学期期中质量监测 数学试卷题 （全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效. 2.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在中，点，分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积先求出，进而可求出阴影部分面积． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：B． 2. 电影《哪吒之魔童闹海》自2025年春节档上映以来，以16天破百亿的惊人速度刷新了中国影史纪录，更以全球约158亿元的票房成绩跻身动画电影全球榜首．15800000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n为正整数，可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：15800000000用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据得，然后根据和等量代换即可求出的度数．解题的关键是掌握：全等三角形的对应角相等 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即的度数为． 故选：D． 4. 如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，现添加以下条件仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理以及发现隐含条件成为解答本题的关键．欲使，已知，，可根据全等三角形判定定理、、添加条件，逐一判断即可． 【详解】解：，， A、添加，利用即可证明； B、添加，为，不能证明，所以此选项不能作为添加的条件； C、添加，利用即可证明； D、添加，利用即可证明． 故选：B． 5. 如图，在中，，点D是和角平分线的交点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠DBC+∠DCB=70°，再利用三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数． 【详解】解：∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点， ，， ∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°， ∴∠DBC+∠DCB=70°， ∴∠BDC=180°-70°=110°， 故选：C． 【点睛】此题主要考查角平分线性质，三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点的坐标，各个象限内点的坐标的特点；第一象限的点的横坐标和纵坐标都是正数；第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数；第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数；第四象限的点的横坐标为正数，纵坐标为负数；分析点P的横坐标和纵坐标的符号即可确定P点所在象限． 【详解】解：的横坐标，是负数，纵坐标，是正数， ∴P点一定在第二象限， 故选：B． 7. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为130°． 【详解】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形， ∵， ∴， 即顶角的度数为48°； ②如图2，等腰三角形为钝角三角形， ∵， ∴． 综上，这个等腰三角形的顶角是或． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．此题难度适中，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解． 8. 如图，在四边形中，，若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．由等腰三角形的性质推出，，得到，求出． 【详解】解：， ，， ， ． 故选：A． 9. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，直线交于点，则的周长等于（ ） A. 21 B. 24 C. 27 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是关键；由题意可知，是的垂直平分线，可得，再结合线段间的代换计算三角形的周长即可. 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， ， ， 的周长， 故选A. 10. 如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ） A. ，两边中线的交点处 B. ，两边垂直平分线的交点处 C. ，两边高线的交点处 D. ，两内角平分线的交点处 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线定理的逆定理：到一条线段的两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．要求到三个小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得． 【详解】解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在两边垂直平分线的交点处． 故选：B． 11. 下列说法中正确的有（ ）． ①．②若a、b互为相反数，则．③．④．⑤若，则a、b互为相反数．⑥的倒数是． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】逐一判断每个说法的正确性：①根据绝对值的性质可知运算错误；②由加法法则可知运算正确；③由合并同类项可知运算错误；④由去括号法则可知运算正确；⑤由相反数定义可知判断错误；⑥先计算乘方，然后由倒数定义可知计算正确． 【详解】解：①，错误； ②由加法法则可知，若a、b互为相反数，则，正确； ③左边化简：，与右边不相等，错误； ④，正确； ⑤，则，但相反数要求，错误； ⑥，其倒数为，正确； 正确说法有②、④、⑥，共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了求绝对值，相反数的定义，合并同类项，去括号，有理数的乘方，求一个数的倒数，熟练掌握各知识点是解题的关键． 12. 《孙子算经》中有这样一个问题，其译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人没有车可乘，问共有多少个人？多少辆车？若设共有辆车，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出两种乘车方式中人数的等量关系，并将其用含未知数的式子表示出来．设共有辆车，根据每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人没有车可乘，列方程即可． 【详解】解：设共有辆车， 依题意，得：． 故选：B． 13. 如图，一艘船在处遇险后向相距100海里位于处的救生船报警．用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置，下列描述最准确的是（ ） A. 南偏西方向上的100海里处 B. 北偏东方向上的100海里处 C. 南偏西方向上的100海里处 D. 北偏东方向上的100海里处 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解方向角的定义是解题关键．直接根据题意得出的长以及的度数，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：，海里， 故遇险船相对于救生船的位置是：南偏西方向上的100海里处， 故选：C． 14. 如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连结交于点N，连结、，以下说法：①，②，③，④中，正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质及，利用全等三角形的性质可得，由折叠可得，于是对①作出判断；可证出，进而对②作出判断；由可得出，再根据，等量代换对③作出判断；由全等三角形和轴对称的性质可得，进而得出是等边三角形，从而对④作出判断． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 由折叠可得，，， ∴， 因此①正确； 由折叠可得，，， 又∵， ∴， ∴，， 因此②正确； ∵，， ∴， 因此③正确； 由和折叠可得，，， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 因此④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分. 15. 已知平面直角坐标系中存在一点，现将平面直角坐标系向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，此时点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的平移规律，根据直角坐标系中点的平移规律求解即可． 【详解】解：将平面直角坐标系向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，相当于将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 点的坐标为， 故答案为：． 16. 将一个含角的直角三角板与直尺按如图方式放置，三角板的斜边与直尺的一边平行，直尺的上下两边恰好经过0和4刻度．则直尺的宽度是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，由含角的直角三角形的性质即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可得：，，， ∴， 作于，则， ∴，即直尺的宽度是， 故答案为：． 17. 如图，等边三角形，P为上一点，且，则的大小为________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质．根据三角形的外角的性质，得出，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， 又， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在三角形中，是边上的高，E为边上一点，P为上一个动点，若，则的最小值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的判定与性质，先证明三角形是等边三角形，连接、，由等边三角形的性质有，所以的最小值是的最小值，根据垂线段最短，求出时的长即可． 【详解】解：∵，， ∴三角形是等边三角形，即：， 如图，连接、， 是等边三角形，， ∴， ， ，即的最小值就是的最小值， 当时，最小， 此时，，， ， 的最小值是10． 故答案为：10． 三、解答题：本题共8小题，共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（6分） 19. 计算： 【答案】2027 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方和绝对值，再进行乘除运算，最后进行加减运算． 【详解】解： ． 20. （1）解方程组： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，熟练掌握加减消元法解方程组以及解不等式组的步骤是解题的关键． （1）观察方程组中两个方程的的系数互为相反数，可采用加减消元法，将两个方程相加消去，进而求解． （2）分别解出每个不等式的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集． 【详解】解：（1） 得， 解得， 把代入①得， 解得， 所以方程组的解为； （2）， 解不等式得， 解不等式得， 所以不等式组的解集为 21. 如图，，，且，，，四点共线，求证： 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，先根据线段的和差可得，再运用SSS证明三角形全等即可．解题的关键是掌握证明一般三角形全等的方法有：、、、；证明直角三角形全等的方法有：、、、、． 【详解】略 22. 已知于E，于F，相交于点D，若．求证：平分． 【答案】 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用是正确解答本题的关键． 先由垂直的定义得到，再证明得到，最后根据角平分线的判定即可证明结论． 【详解】略． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴对称的和关于轴对称的； （2）写出和的坐标，并计算的面积； （3）在y轴上找一点P使最小，则点P坐标为_______；（在图中保留作图痕迹）． 【答案】（1） 解：如图，和即为所求； （2），，； （3） 解：如图，点P即为所求； 可知． 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质． （1）根据要求作轴对称图形即可； （2）根据平面直角坐标系写出和的坐标，根据割补法求面积即可； （3）直接连接交y轴于点P即可，根据平面直角坐标系可知点P坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由平面直角坐标系可知，， 如图， ； 【小问3详解】 略 24. 如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上． （1）求证是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，进而可依据“”判定和全等得，由此即可得出结论； （2）先根据三角形外角性质求出，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出的度数． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：是的外角， ， ，， ， ， 在中，， 由可知：， ， ， ∴． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 25. 随着新能源汽车的销售越来越多，小区新能源汽车充电也越来越困难．某小区为了解决业主新能源汽车充电难的问题，准备在小区内修建10个充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建3个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元． （1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？ （2）若该小区计划用不超过万元的资金新建充电桩，问共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】（1）新建一个地上充电桩需万元，新建一个地下充电桩需万元 （2）一共有3种方案，分别为：①新建地上充电桩8个，则地下充电桩2个；②新建地上充电桩9个，则地下充电桩1个；③新建地上充电桩10个，则地下充电桩0个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式的思想进行求解． （1）设新建一个地上充电桩需万元，新建一个地下充电桩需万元，根据等量关系可列出方程组，解出即可得出答案． （2）设新建地上充电桩个，则地下充电桩个，根据投资金额不超过万元，可得出不等式组，解出即可得出答案． 【小问1详解】 解：设新建一个地上充电桩需万元，新建一个地下充电桩需万元，根据题意，得 ， 解得， 答：新建一个地上充电桩需万元，新建一个地下充电桩需万元． 【小问2详解】 解：设新建地上充电桩个，则地下充电桩个， 根据题意，得， 解得：． 整数的值为8，9，10， 一共有3种方案，分别为：①新建地上充电桩8个，则地下充电桩2个； ②新建地上充电桩9个，则地下充电桩1个； ③新建地上充电桩10个，则地下充电桩0个． 26. 已知，和都是等腰直角三角形，，，，点是直线上的一动点（点不与，重合），连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则_______度： （2）如图2，当点在边的延长线上时，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理 （3）如图3中，当点在边的反向延长线上时，试猜想线段，，之间存在的数量关系．直线与直线的位置关系．请补全图形，并说明理由． 【答案】（1）； （2）， 理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴； （3） 补全图形（点在延长线上，在下方，连接）， ，，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（），通过角的转化证明三角形全等是解题的关键． （1）通过证明三角形全等，得出角的关系，进而求出的度数． （2）证明三角形全等，得到线段相等关系，从而推出、、之间的数量关系． （3）先补全图形，再证明三角形全等，分析线段关系和位置关系． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $