学易金卷：九年级数学上学期第三次月考（华东师大版，范围九上全册+九下第26章）

2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B C A D B B C B 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．【答案】 12．【答案】600 13．【答案】6，1，，0 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】 17．【答案】 ； 18．【答案】①③ 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题9分，21-22题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（9分） 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解： （2分） ．（3分） （2）解： （5分） ．（6分） （3）解： （8分） ．（9分） 20．（9分） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【解析】（1）解：∵； ∴， ∴，（2分） 即或， ，．（3分） （2）解：； ，，， ， ， ， ，．（6分） （3）解：∵， ∴， ∴，（8分） 即或， 解得，．（9分） 21．（8分） 【答案】(1)见解析 (2)． 【解析】（1）证明：由作法得，（1分） ，为等边三角形， ，，（2分） ，，（3分） ，，（4分） 而，；（5分） （2）解：为等边三角形，，（6分） ，，（7分） 即，解得．（8分） 22．（8分） 【答案】(1)(2)游戏不公平 【详解】（1）解：小宇抽取一张共有种结果，是等可能性的，抽到甲图片上半部分图片有种结果， ∴小宇抽到甲图片上半部分图片的概率是；（2分） （2）设四张小图片分别用A，a，B，b表示，（同一个字母的大小写表示同一图片的两张小图，）画树状图得：   （5分） ∵共有种等可能的结果，其中摸取的两张小图片恰好合成一张完整图片的有种， ∴小宇获胜的概率为；（6分） 摸取的两张小图片不能合成一张完整图片的有种，∴小辰获胜的概率为；（7分） ∵，∴游戏不公平．（8分） 23．（10分） 【答案】任务：；任务：元/件 【解析】解：任务：设7月份到9月份的月平均增长率为， 由题意得：，（3分） 解得：（舍） 答：7月份到9月份的月平均增长率为．（5分） 任务：设该泥塑的售价应定为元/件， 每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件， 即每件售价每上涨1元，则月销售量将减少件，（6分） 由题意得：，解得：（9分） ∵要尽可能让顾客得到实惠，则， 答：该泥塑的售价应定为元/件．（10分） 24．（10分） 【答案】(1) (2)小亮早到，理由见解析 【解析】（1）解：延长交于，由题意，（1分） 在中，∵米， ∴米，米，（2分） 在中，，，（3分） 米，米，（4分） 米， 答：的长度为米；（5分） （2）解：，∴，， ，，，（6分） 作，在中，米， 米，（7分） 在中，米，米， 米，（8分） 小明沿方向步行且速度为，小亮沿方向步行且速度为， 米，（9分） 小明用时：，米， 小亮用时，，∴小亮早到．（10分） 25．（12分） 【答案】(1)(2)见解析(3)(4)在直线运动的过程中，点的横坐标是一个定值，为 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴，∴，∴抛物线解析式为；（2分） （2）证明：如图所示，过点D作轴于M，交于N， 在中，当时，，解得或，∴；（3分） 设直线解析式为， ∴，∴，∴直线解析式为；（4分） ∵抛物线解析式为，∴，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴；（5分） 在中，当时，，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴；（6分） （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； 在中，当时，， 当时，；（7分） ∵，∴当时，在满足的条件下，函数的最小值为，最大值为， ∴，解得（舍去）或（舍去）；（8分） 当时，在满足的条件下，函数的最小值为，且， ∴函数的最大值为，∴，解得或（舍去）； 综上所述，；（9分） （4）解：设直线的解析式为， ∴，∴，∴直线的解析式为； ∵，∴可设直线的解析式为， 联立得；（10分） 设，，∴，即 设直线的解析式为， ∴，∴，∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为，（11分） 联立得， 解得，∴点H的横坐标为， ∴在直线运动的过程中，点的横坐标是一个定值，为．（12分） 26．（12分） 【答案】（1）是个定值，为；（2）①见解析；②；（3）的长为3或4或 【解析】（1）解：是个定值，理由如下： 四边形是矩形，则，，（1分） ，，，，（2分） ，，，，（3分） ，；（4分） （2）①证明：∵在菱形中，∴，∴，（5分） ∵，∴，∵，∴，∴，（6分） ②∵，，∴即，（7分） ∴，∴，（8分） ∵，∴，∴； （9分） （3）①当点G在边上时，如图所示，延长交的延长线于点M，连接，过点E作于点H， ∵平行四边形中，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴2， ∴， 在中，， 则 ，，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，设，则，，，∴， 解得：或，即或， ②当G点在边上时，如图所示， 连接，延长交的延长线于点M，过点G作，则，四边形是平行四边形， 设，则， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴， 过点E作于点H，在中，， ∴，，∴， 则 ，∴， ∴，， ∵， 又，∴ ∴，∴，即， 解得：，（舍去），即； ③当G点在边上时，如图所示，过点B作于点T， 在中，，， ∴， ∵，∴， ∵，∴G点不可能在边上， ④当G点在上时，，不符合相交，舍去， 综上所述，的长为3或4或．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华东师大版九年级上册第21章--第25章+九年级下册第26章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在中，，那么下列锐角三角比中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）利用位似可以设计有立体感的美术字．如图，是某同学以点为位似中心，设计“”中字母“M”美术字的一种方法．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东德州·期中）下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 5．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．时，y随x增大而减小 7．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，为的中点，，交轴于点，交轴于点，交轴于点，交轴于点，在的左侧以为中心旋转．设的长为，的长为，则下列结论正确的是（　　）. A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 9．（25-26湖南九年级上期中）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交AC于点，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，，若在边上取一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为 ． 12．（24-25九年级·资阳·专题练习）某果园猕猴桃喜获丰收．如图①，矩形种植区域的长为50m，宽为30m，阴影部分种植的是“翠香猕猴桃”，其他则为普通猕猴桃．小明为了知道“翠香猕猴桃”的种植面积，在矩形种植区域内部随机采摘进行检测，经过多次重复的抽取检测，“翠香猕猴桃”出现的频率记录如图②所示．依此估计“翠香猕猴桃”的种植面积约为 ． 13．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”是“回归集”，则n的值为 。 14．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米，则车宽的长度为 米． 15．（25-26上海市虹口区九年级上期中）定义：如果一条直线把一个图形的周长等分成两个部分,称这条直线为“绝美分割线”．如图,在梯形中,, ,一条与平行的“绝美分割线”分别交边、边于点E、F,那么的长是 ． 16．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答：化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = ． 17．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知，，边和分别与交于点F和点G，连接．已知，则 ，若的面积为线段的长为 ． 18．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知抛物线（，t，k是实数），点和在抛物线上，设抛物线的对称轴与x轴的交点为P，现有以下四个结论：①抛物线与轴交点坐标分别为、；②当时，若，，则与的大小关系为；③当时，只有在时才能保证抛物线与y轴交点在负半轴；④当时，若直线经过点P，且，则．其中正确的有 ． 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题9分，21-22题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（9分）（25-26八年级上·山东济南·期中）计算： (1)； (2)； (3) 20．（9分）（25-26九年级上·河北保定·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 21．（8分）（25-26九年级上·北京通州·期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点．，，连接，．若， (1)求证：． (2)若，，求线段的长． 22．（8分）（2025·陕西·模拟预测）华山，古称“西岳”，雅称“太华山”，为中国著名的五岳之一，位于陕西省渭南市华阴市，有着“奇险天下第一山”的美誉．小宇和小辰做游戏：小宇将他去华山游玩时拍的两张风景照片打印出来，如图所示的甲、乙图片，然后把这两张图片从中间剪断，分成4张形状相同的小图片，将其混合在一起洗匀，背面朝上放置在桌面上．小宇先从这4张图片中随机抽取一张（不放回），小辰接着再随机抽取一张．（设4张小图片分别用表示） (1)小宇抽取的图片是甲图片上半部分的概率是_________； (2)若规定：抽取的两张小图片中，能拼成一张完整的图片，则小宇获胜；否则小辰获胜．你认为这个游戏公平吗？请你用列表或画树状图的方法计算说明理由． 23．（10分）（25-26重庆 九年级上期中）根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？ 24．（10分）（25-26九年级上·重庆·阶段练习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，、、、是长安街沿线的四个观看点且位于同一平面内，已知位于的正东方向且位于的西北方向上，位于的北偏东方向上且位于的北偏东方向上，位于的南偏东方向上．经测量，两点相距米．（参考数据：，，）． (1)求的长度（结果保留整数）； (2)小明和小亮同时从出发去往处，小明沿方向步行且速度为，小亮沿方向步行且速度为，请问小明和小亮谁先到达处，并说明理由． 25．（12分）（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，顶点为，点，连接，，，求证：； (3)当时，的取值范围是，且，求的值； (4)已知直线，且与抛物线交于，两点（点在点的左侧）．当直线在直线下方运动时，作直线与直线交于点，在直线运动的过程中，点的横坐标是否是一个定值，若是，请直接写出点的横坐标；若不是，请说明理由． 26．（12分）（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）在综合实践课上，数学老师带领同学们探究了四边形中线段乘积的特殊性，探索过程如下： 【发现问题】老师首先用四边形中比较特殊的矩形给同学们做了示范，如图1所示． （1）在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点．同学们猜想是个定值．老师给予了肯定，请你帮助同学们证明． 【深入探究】同学们分组进行探究，组选用了菱形进行探究，如图2所示． （2）在菱形中，过作交的延长线于点，过作交于点，． ①求证：；②若时，求的值． 【拓展提升】组选用了平行四边形进行探究，如图3和备用图所示，但过程中出现了一些问题，请你试着帮助他们解决． （3）在平行四边形中，，，，点在边上，且，点为边上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出线段的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ------------------------------- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂X1【√1I/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题4分，共40分） 1[AIIBIICIIDI 5.[AJ[BIICIID] 9.AJIBI[CIID] 2.IAIIBIICIIDI 6.IAJIBIICIIDI 10.1AIIBIICIIDI 3.IAIIBIICIIDI 7.AJIBIICIIDI 4.1AJIBIICIIDI 8.[AIIBIICIID] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 12 13 15 17 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(9分) 20.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 24.(10分) 北 西 D C750 东 南 60ò 309 .-/ B ! 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) 珠 珠 A B A B E C D 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) D C 图3 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 12 13. 15 6 17 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共8个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(9分) 20.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 24.(10分) 北 西→东 C75 南 60ò 309 B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) 珠 衣 C C D 图2 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) 图3 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华东师大版九年级上册第21章--第25章+九年级下册第26章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在中，，那么下列锐角三角比中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）利用位似可以设计有立体感的美术字．如图，是某同学以点为位似中心，设计“”中字母“M”美术字的一种方法．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东德州·期中）下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 5．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．时，y随x增大而减小 7．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，为的中点，，交轴于点，交轴于点，交轴于点，交轴于点，在的左侧以为中心旋转．设的长为，的长为，则下列结论正确的是（　　）. A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 9．（25-26湖南九年级上期中）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交AC于点，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，，若在边上取一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为 ． 12．（24-25九年级·资阳·专题练习）某果园猕猴桃喜获丰收．如图①，矩形种植区域的长为50m，宽为30m，阴影部分种植的是“翠香猕猴桃”，其他则为普通猕猴桃．小明为了知道“翠香猕猴桃”的种植面积，在矩形种植区域内部随机采摘进行检测，经过多次重复的抽取检测，“翠香猕猴桃”出现的频率记录如图②所示．依此估计“翠香猕猴桃”的种植面积约为 ． 13．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”是“回归集”，则n的值为 。 14．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米，则车宽的长度为 米． 15．（25-26上海市虹口区九年级上期中）定义：如果一条直线把一个图形的周长等分成两个部分,称这条直线为“绝美分割线”．如图,在梯形中,, ,一条与平行的“绝美分割线”分别交边、边于点E、F,那么的长是 ． 16．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答：化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = ． 17．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知，，边和分别与交于点F和点G，连接．已知，则 ，若的面积为线段的长为 ． 18．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知抛物线（，t，k是实数），点和在抛物线上，设抛物线的对称轴与x轴的交点为P，现有以下四个结论：①抛物线与轴交点坐标分别为、；②当时，若，，则与的大小关系为；③当时，只有在时才能保证抛物线与y轴交点在负半轴；④当时，若直线经过点P，且，则．其中正确的有 ． 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题9分，21-22题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（9分）（25-26八年级上·山东济南·期中）计算： (1)； (2)； (3) 20．（9分）（25-26九年级上·河北保定·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 21．（8分）（25-26九年级上·北京通州·期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点．，，连接，．若， (1)求证：． (2)若，，求线段的长． 22．（8分）（2025·陕西·模拟预测）华山，古称“西岳”，雅称“太华山”，为中国著名的五岳之一，位于陕西省渭南市华阴市，有着“奇险天下第一山”的美誉．小宇和小辰做游戏：小宇将他去华山游玩时拍的两张风景照片打印出来，如图所示的甲、乙图片，然后把这两张图片从中间剪断，分成4张形状相同的小图片，将其混合在一起洗匀，背面朝上放置在桌面上．小宇先从这4张图片中随机抽取一张（不放回），小辰接着再随机抽取一张．（设4张小图片分别用表示） (1)小宇抽取的图片是甲图片上半部分的概率是_________； (2)若规定：抽取的两张小图片中，能拼成一张完整的图片，则小宇获胜；否则小辰获胜．你认为这个游戏公平吗？请你用列表或画树状图的方法计算说明理由． 23．（10分）（25-26重庆 九年级上期中）根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？ 24．（10分）（25-26九年级上·重庆·阶段练习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，、、、是长安街沿线的四个观看点且位于同一平面内，已知位于的正东方向且位于的西北方向上，位于的北偏东方向上且位于的北偏东方向上，位于的南偏东方向上．经测量，两点相距米．（参考数据：，，）． (1)求的长度（结果保留整数）； (2)小明和小亮同时从出发去往处，小明沿方向步行且速度为，小亮沿方向步行且速度为，请问小明和小亮谁先到达处，并说明理由． 25．（12分）（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，顶点为，点，连接，，，求证：； (3)当时，的取值范围是，且，求的值； (4)已知直线，且与抛物线交于，两点（点在点的左侧）．当直线在直线下方运动时，作直线与直线交于点，在直线运动的过程中，点的横坐标是否是一个定值，若是，请直接写出点的横坐标；若不是，请说明理由． 26．（12分）（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）在综合实践课上，数学老师带领同学们探究了四边形中线段乘积的特殊性，探索过程如下： 【发现问题】老师首先用四边形中比较特殊的矩形给同学们做了示范，如图1所示． （1）在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点．同学们猜想是个定值．老师给予了肯定，请你帮助同学们证明． 【深入探究】同学们分组进行探究，组选用了菱形进行探究，如图2所示． （2）在菱形中，过作交的延长线于点，过作交于点，． ①求证：；②若时，求的值． 【拓展提升】组选用了平行四边形进行探究，如图3和备用图所示，但过程中出现了一些问题，请你试着帮助他们解决． （3）在平行四边形中，，，，点在边上，且，点为边上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出线段的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华东师大版九年级上册第21章--第25章+九年级下册第26章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：对于选项A：，∴A错误． 对于选项B：，∴B错误． 对于选项C：，，，∴C正确． 对于选项D：， ∴ D错误．故选C． 2．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在中，，那么下列锐角三角比中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵，∴， A．，故此选项错误；    B．，故此选项错误；     C．，故此选项正确；D．，故此选项错误．    故选：C． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）利用位似可以设计有立体感的美术字．如图，是某同学以点为位似中心，设计“”中字母“M”美术字的一种方法．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形一定是相似图形，利用相似图形的性质，进行求解即可． 【解析】解：由题意，前后两个位置的图形相似， ∴；故选B． 4．（25-26九年级上·山东德州·期中）下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【答案】C 【详解】解：∵交通信号灯红、绿、黄灯时间通常不相等，∴概率不相等，A不是等可能性事件； ∵图钉结构不对称，钉尖朝上和朝下概率不相等，∴B不是等可能性事件； ∵随机抽签方式选择A、B、C，每个被选中的概率均为，∴C是等可能性事件； ∵直角三角形三边长度可能不相等，出现在各边上的概率不相等，∴D不是等可能性事件．故选：C． 5．（2025·安徽黄山·模拟预测）关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：，， 代数式取的最大值是，故选：A． 6．（25-26九年级上·重庆长寿·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．时，y随x增大而减小 【答案】D 【详解】解：∵ 二次函数 中，，∴ 抛物线开口向下，选项A错误． 对称轴，∴ 对称轴是直线 ，选项C错误． 顶点横坐标为，代入得纵坐标， ∴ 顶点坐标为，选项B错误． ∵ 开口向下，对称轴，∴ 当 时，随x增大而减小． ∵ 时，满足，∴ 选项D正确．故选：D． 7．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，为的中点，，交轴于点，交轴于点，交轴于点，交轴于点，在的左侧以为中心旋转．设的长为，的长为，则下列结论正确的是（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，，， ，，，，， 又是的中点，∴． ，．． ，故A选项不符合题意； ，即．；故B选项符合题意； ，不一定等于， 不一定与相似，故选项C不符合题意； ，，故选项D不符合题意．故选：B． 8．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（　　）米．（参考数据：，，，，结果精确到米） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，延长交于，∴， 在中，，∴设，则， ∴，∴，解得， ∴米，米，∴米， 延长交于，过作于，交于， ∵，∴，在中，米，， ∴米，（米）， ∵，∴四边形是矩形， ∴米，米，∴（米）， 在中，，∴，∴（米）， ∵（米），∴（米），故选：． 9．（25-26湖南九年级上期中）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交AC于点，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：，，， 由作图可知：，为的角平分线， ，，， ，，，，，故A正确， ，，，，即， 整理得：，， ，，故C错误，，，， ，，故B正确； ，，，，故D正确．故选：C． 10．如图，在中，，，，，若在边上取一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，以为对称轴，作点的对称点，连接， ∵在中，，∴为等边三角形 作交边于点，∴；∵∴     ∵∴；∴ 当有最小值时，则三点共线时最小， ∴故选：B. 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年6月30日，中国音乐小金钟全国二胡展演河南选拔活动在郑州市虹韵音乐厅成功举行．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处（黄金分割：短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长的比，该比值为）时，奏出来的音调最和谐、悦耳．如图，一把二胡的琴弦的长为，千斤线绑在点处（点为线段上靠近点的黄金分割点），则的长为 ． 【答案】/ 【解析】解：∵点是线段上靠近点的黄金分割点，∴． ∵，∴．故答案为： 12．（24-25九年级·资阳·专题练习）某果园猕猴桃喜获丰收．如图①，矩形种植区域的长为50m，宽为30m，阴影部分种植的是“翠香猕猴桃”，其他则为普通猕猴桃．小明为了知道“翠香猕猴桃”的种植面积，在矩形种植区域内部随机采摘进行检测，经过多次重复的抽取检测，“翠香猕猴桃”出现的频率记录如图②所示．依此估计“翠香猕猴桃”的种植面积约为 ． 【答案】600 【详解】解：矩形种植区域的总面积：． 观察图②可知，随着抽取次数的增加，“翠香猕猴桃”出现的频率稳定在左右，根据频率估计概率的思想，可认为“翠香猕猴桃”种植面积的频率为． ∴“翠香猕猴桃”的种植面积为：．故答案为：． 13．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”是“回归集”，则n的值为 。 【答案】6，1，，0 【解析】解：①当时，，∴6是集合中的元素，则， ②当，且时，，即，，解得或， ③当，且时，，即，解得， 综上所述，n的值为6，1，，0．故答案为：6，1，，0． 14．（25-26九年级上·河北保定·期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米，则车宽的长度为 米． 【答案】 【解析】解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则，设米，由得，， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∴，即，解得，，∴ 15．（25-26上海市虹口区九年级上期中）定义：如果一条直线把一个图形的周长等分成两个部分,称这条直线为“绝美分割线”．如图,在梯形中,, ,一条与平行的“绝美分割线”分别交边、边于点E、F,那么的长是 ． 【答案】 【解析】解：如图所示，过点D作，交于点M，交于点N， ∵，∴四边形是平行四边形, ∴，∴， ∵，，∴，∴,四边形是平行四边形， ∴，，设，则， ∴，即， ∵是在梯形 “绝美分割线”，, ∴,即， 解得，∴ 故答案为： 16．（25-26九年级上·四川遂宁·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答：化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = ． 【答案】 【解析】解：首先将写成，这里，，即，， ∴， ∵，∴．故答案为：． 17．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知，，边和分别与交于点F和点G，连接．已知，则 ，若的面积为线段的长为 ． 【答案】 【解析】解：∵，，∴， ∵，∴设，则， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， 即解得，∴， ∴，，∵∴， ∵，∴， ∴，，即，解得， ∵的面积为∴，即，解得， ∴，故答案为：， 18．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知抛物线（，t，k是实数），点和在抛物线上，设抛物线的对称轴与x轴的交点为P，现有以下四个结论：①抛物线与轴交点坐标分别为、；②当时，若，，则与的大小关系为；③当时，只有在时才能保证抛物线与y轴交点在负半轴；④当时，若直线经过点P，且，则．其中正确的有 ． 【答案】①③ 【详解】解：结论①：令，则， ∵，即，要使等式成立，则或， 由，解得，由，解得， ∴抛物线与x轴交点坐标分别为、，故①正确； 结论②：当时，抛物线的表达式为， 对于抛物线，其对称轴为，∴该抛物线对称轴为， ∵，∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大，且点到对称轴的距离越远，函数值越大，∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， 由题干条件无法确定点A和点B到对称轴的距离大小关系，因此无法比较和的大小，因此和的大小关系不确定，故②错误； 结论③：当时，抛物线，令，则， ∵抛物线与y轴交点在负半轴，∴，即， 又∵，要使不等式成立，则，∴， 要使成立，则t与异号，分两种情况讨论： （i）当且时，解得，此时t的取值没有交集，此时无解； （ii）当且时，解得，∴，故③正确； 结论④：当时，抛物线的对称轴为，则， ∵直线经过点，把代入得：， ∴直线的解析式为， ∵点和既在抛物线上又在直线上， ∴，， 用的表达式减去的表达式可得：， ∵，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和， 解得，即，故④错误；综上所述，正确的结论有①③．故答案为：①③． 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题9分，21-22题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（9分）（25-26八年级上·山东济南·期中）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解： （2分） ．（3分） （2）解： （5分） ．（6分） （3）解： （8分） ．（9分） 20．（9分）（25-26九年级上·河北保定·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【解析】（1）解：∵； ∴， ∴，（2分） 即或， ，．（3分） （2）解：； ，，， ， ， ， ，．（6分） （3）解：∵， ∴， ∴，（8分） 即或， 解得，．（9分） 21．（8分）（25-26九年级上·北京通州·期中）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点．，，连接，．若， (1)求证：． (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【解析】（1）证明：由作法得，（1分） ，为等边三角形， ，，（2分） ，，（3分） ，，（4分） 而，；（5分） （2）解：为等边三角形，，（6分） ，，（7分） 即，解得．（8分） 22．（8分）（2025·陕西·模拟预测）华山，古称“西岳”，雅称“太华山”，为中国著名的五岳之一，位于陕西省渭南市华阴市，有着“奇险天下第一山”的美誉．小宇和小辰做游戏：小宇将他去华山游玩时拍的两张风景照片打印出来，如图所示的甲、乙图片，然后把这两张图片从中间剪断，分成4张形状相同的小图片，将其混合在一起洗匀，背面朝上放置在桌面上．小宇先从这4张图片中随机抽取一张（不放回），小辰接着再随机抽取一张．（设4张小图片分别用表示） (1)小宇抽取的图片是甲图片上半部分的概率是_________； (2)若规定：抽取的两张小图片中，能拼成一张完整的图片，则小宇获胜；否则小辰获胜．你认为这个游戏公平吗？请你用列表或画树状图的方法计算说明理由． 【答案】(1)(2)游戏不公平 【详解】（1）解：小宇抽取一张共有种结果，是等可能性的，抽到甲图片上半部分图片有种结果， ∴小宇抽到甲图片上半部分图片的概率是；（2分） （2）设四张小图片分别用A，a，B，b表示，（同一个字母的大小写表示同一图片的两张小图，）画树状图得：   （5分） ∵共有种等可能的结果，其中摸取的两张小图片恰好合成一张完整图片的有种， ∴小宇获胜的概率为；（6分） 摸取的两张小图片不能合成一张完整图片的有种，∴小辰获胜的概率为；（7分） ∵，∴游戏不公平．（8分） 23．（10分）（25-26重庆 九年级上期中）根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？ 【答案】任务：；任务：元/件 【解析】解：任务：设7月份到9月份的月平均增长率为， 由题意得：，（3分） 解得：（舍） 答：7月份到9月份的月平均增长率为．（5分） 任务：设该泥塑的售价应定为元/件， 每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件， 即每件售价每上涨1元，则月销售量将减少件，（6分） 由题意得：，解得：（9分） ∵要尽可能让顾客得到实惠，则， 答：该泥塑的售价应定为元/件．（10分） 24．（10分）（25-26九年级上·重庆·阶段练习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．如图，、、、是长安街沿线的四个观看点且位于同一平面内，已知位于的正东方向且位于的西北方向上，位于的北偏东方向上且位于的北偏东方向上，位于的南偏东方向上．经测量，两点相距米．（参考数据：，，）． (1)求的长度（结果保留整数）； (2)小明和小亮同时从出发去往处，小明沿方向步行且速度为，小亮沿方向步行且速度为，请问小明和小亮谁先到达处，并说明理由． 【答案】(1) (2)小亮早到，理由见解析 【解析】（1）解：延长交于，由题意，（1分） 在中，∵米， ∴米，米，（2分） 在中，，，（3分） 米，米，（4分） 米， 答：的长度为米；（5分） （2）解：，∴，， ，，，（6分） 作，在中，米， 米，（7分） 在中，米，米， 米，（8分） 小明沿方向步行且速度为，小亮沿方向步行且速度为， 米，（9分） 小明用时：，米， 小亮用时，，∴小亮早到．（10分） 25．（12分）（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，顶点为，点，连接，，，求证：； (3)当时，的取值范围是，且，求的值； (4)已知直线，且与抛物线交于，两点（点在点的左侧）．当直线在直线下方运动时，作直线与直线交于点，在直线运动的过程中，点的横坐标是否是一个定值，若是，请直接写出点的横坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)见解析(3)(4)在直线运动的过程中，点的横坐标是一个定值，为 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴，∴，∴抛物线解析式为；（2分） （2）证明：如图所示，过点D作轴于M，交于N， 在中，当时，，解得或，∴；（3分） 设直线解析式为， ∴，∴，∴直线解析式为；（4分） ∵抛物线解析式为，∴，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴；（5分） 在中，当时，，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴；（6分） （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； 在中，当时，， 当时，；（7分） ∵，∴当时，在满足的条件下，函数的最小值为，最大值为， ∴，解得（舍去）或（舍去）；（8分） 当时，在满足的条件下，函数的最小值为，且， ∴函数的最大值为，∴，解得或（舍去）； 综上所述，；（9分） （4）解：设直线的解析式为， ∴，∴，∴直线的解析式为； ∵，∴可设直线的解析式为， 联立得；（10分） 设，，∴，即 设直线的解析式为， ∴，∴，∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为，（11分） 联立得， 解得，∴点H的横坐标为， ∴在直线运动的过程中，点的横坐标是一个定值，为．（12分） 26．（12分）（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）在综合实践课上，数学老师带领同学们探究了四边形中线段乘积的特殊性，探索过程如下： 【发现问题】老师首先用四边形中比较特殊的矩形给同学们做了示范，如图1所示． （1）在矩形中，为边上一点，连接，若，过作交于点．同学们猜想是个定值．老师给予了肯定，请你帮助同学们证明． 【深入探究】同学们分组进行探究，组选用了菱形进行探究，如图2所示． （2）在菱形中，过作交的延长线于点，过作交于点，． ①求证：；②若时，求的值． 【拓展提升】组选用了平行四边形进行探究，如图3和备用图所示，但过程中出现了一些问题，请你试着帮助他们解决． （3）在平行四边形中，，，，点在边上，且，点为边上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）是个定值，为；（2）①见解析；②；（3）的长为3或4或 【解析】（1）解：是个定值，理由如下： 四边形是矩形，则，，（1分） ，，，，（2分） ，，，，（3分） ，；（4分） （2）①证明：∵在菱形中，∴，∴，（5分） ∵，∴，∵，∴，∴，（6分） ②∵，，∴即，（7分） ∴，∴，（8分） ∵，∴，∴； （9分） （3）①当点G在边上时，如图所示，延长交的延长线于点M，连接，过点E作于点H， ∵平行四边形中，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴2， ∴， 在中，， 则 ，，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，设，则，，，∴， 解得：或，即或， ②当G点在边上时，如图所示， 连接，延长交的延长线于点M，过点G作，则，四边形是平行四边形， 设，则， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴， 过点E作于点H，在中，， ∴，，∴， 则 ，∴， ∴，， ∵， 又，∴ ∴，∴，即， 解得：，（舍去），即； ③当G点在边上时，如图所示，过点B作于点T， 在中，，， ∴， ∵，∴， ∵，∴G点不可能在边上， ④当G点在上时，，不符合相交，舍去， 综上所述，的长为3或4或．（12分） / 学科网（北京）股份有限公司 $