精品解析：河北省定州中学2025-2026学年高三上学期11月期中调研考试数学试题

2026届高三上学期中调研考试 数 学 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. 5 C. D. 25 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知样本数据6，5，x，7，9，8的极差为4，则实数x的取值范围为（ ） A. [5，9] B. {5，9} C. {5，6，7，8，9} D. {4，9} 4. 已知双曲线 的实轴长为6，则该双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数 是定义域上的奇函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 6. 若函数（），在 上单调递减，则a的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 如图，实心圆锥 PO的轴截面是一个底边长为12，腰长为10 的等腰三角形，过PO上一点O'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱OO'，若剩下几何体的表面积为，则圆柱的高为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量 则（ ） A. 存在，使得 B. 若，则 C. 的最小值为2 D. 若在上的投影向量的模为2，则 10. 在平面直角坐标系中，已知动圆，动直线，记圆的圆心的轨迹为曲线，则（ ） A. 曲线的方程为 B. 直线l与曲线 相交 C. 若动圆的圆心沿曲线运动一周，则圆 扫过的区域面积为 D. 动直线l上的点不可能覆盖到的区域面积为π 11. 已知函数若曲线在处的切线的斜率等于 ，， 是（是的导函数）的图象上任意两个不同的点.设直线的斜率为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 设等比数列的前项积为，若 ，则的值为________. 13. 已知倾斜角为的直线l过抛物线 的焦点且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线与x轴交于点 D，设点 D 到直线l的距离为d，则 ________. 14. 一般地，若从任意三角形的三边分别向外作等边三角形，则这三个等边三角形的中心连接起来构成一个等边三角形，这个等边三角形称为原三角形的外拿破仑三角形；若从任意三角形的三边分别向内作等边三角形，则这三个等边三角形的中心连接起来也构成一个等边三角形，这个等边三角形称为原三角形的内拿破仑三角形.在 中，已知 的外拿破仑三角形（如图1）的面积为 ，内拿破仑三角形（如图2）的面积为，则 的最大值等于________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差为2，等比数列 的公比为2，且 （1）求数列 的通项公式； （2）求数列的前n项和 . 16. 已知函数 （1）若在上不单调，求的取值范围； （2）当时，若对任意的， 恒成立，求实数a的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，已知平面平面，，，，与的交点为. （1）证明:平面; （2）设为的中点，点在上且平面平面，若，点到平面的距离为，求平面与平面所成二面角的正弦值. 18. 已知集合 （1）若， （i）从集合中任取3个不同的数，记这3个数是连续的正整数为事件M，求P（M）； （ii）是从 中随机抽取3个不同的数进行排列得到的最大的三位数，是从 中随机抽取3个不同的数进行排列得到的最大的三位数，求 的概率. （2）从 中随机抽取一个数记为X，再从X， 中随机抽取一个数记为Y，求Y的数学期望E（Y）. 19. 在平面直角坐标系xOy中，对于椭圆 上任意一点P（x，y），我们称点 为C上点P 的和谐点.设 分别是C 上不同的两点A，B的和谐点，若 ，则称t为椭圆C在A，B两点处的和谐积.已知在平面直角坐标系xOy中，直线与椭圆 交于不同的两点M，N，点 分别是点M，N的和谐点，实数t是C在M，N两点处的和谐积. （1）证明: （2）证明: （3）已知C过点，离心率为若的面积为2，求 的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三上学期中调研考试 数 学 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. 5 C. D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算和模长公式即可求解. 【详解】由，得， 所以， 故选：B 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的补集和交集的定义即可求解. 【详解】由题意可得， 故， 故选：D 3. 已知样本数据6，5，x，7，9，8的极差为4，则实数x的取值范围为（ ） A. [5，9] B. {5，9} C. {5，6，7，8，9} D. {4，9} 【答案】A 【解析】 【分析】利用极差的定义即可求解. 【详解】当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为4，符合题意； 当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，解得,不符合题意； 当时，数据中最大的数是，最小的数是，极差为，解得，不符合题意； 综上所述，的取值范围是． 故选：A. 4. 已知双曲线 的实轴长为6，则该双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实轴可得，即可由离心率公式求解. 【详解】由可得，故，焦点在轴上， 故实轴为，， 因此双曲线为， 故离心率为， 故选：C 5. 已知函数 是定义域上的奇函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用函数是奇函数，通过赋值法计算求解. 【详解】因为函数 是定义域上的奇函数，定义域为 所以 ，所以， 所以函数 ，满足 ，满足题意， 则. 故选：A.   6. 若函数（），在 上单调递减，则a的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简函数解析式，再利用函数单调性求得辅助角的范围，进一步根据三角函数的性质列不等式组求解. 【详解】利用辅助角公式得： （）， 其中， 因为 ，所以， 又因为，所以. 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以为了使得函数在 上单调递减，必须且只需， 所以， 所以,解得. 当时,在 上单调递减，符合题意. 故a的最小值为1. 故选：B 7. 如图，实心圆锥 PO的轴截面是一个底边长为12，腰长为10 的等腰三角形，过PO上一点O'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱OO'，若剩下几何体的表面积为，则圆柱的高为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】结合圆锥表面积、圆柱侧面积公式直接计算求出挖去的圆柱底面半径和高即可. 【详解】根据题意圆锥的底面直径为12和高是， 因为圆锥底面半径与圆锥的高比值为，设圆柱的高，圆柱的底面半径为， 剩下几何体的表面积为圆锥表面积加上挖去的圆柱的侧面积， 圆锥表面积为，圆柱侧面积为， 所以剩下几何体的表面积为，所以. 所以圆柱的高， 故选：C 8. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由切化弦，结合两角和差的正弦公式得到，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量 则（ ） A. 存在，使得 B. 若，则 C. 的最小值为2 D. 若在上的投影向量的模为2，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由平行充要条件即可出关于t的等量关系式，得到t无解即可判断A；时，计算即可判断B；由模长公式结合向量坐标运算即可求解判断C；由投影向量公式结合模长定义即可计算求解判断D. 【详解】若，则无解，故A错误； 若，则向量 ， 则， 所以，故B正确； 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为2，故C正确； 在上的投影向量的模为，故D错误. 故选：BC 10. 在平面直角坐标系中，已知动圆，动直线，记圆的圆心的轨迹为曲线，则（ ） A. 曲线的方程为 B. 直线l与曲线 相交 C. 若动圆的圆心沿曲线运动一周，则圆 扫过的区域面积为 D. 动直线l上的点不可能覆盖到的区域面积为π 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由即可判断，对于B，由圆心到直线的距离为1即可判断，对于C，由圆恒过坐标原点，得到动圆的圆心沿曲线运动一周扫过的区域为以为圆心，以2为半径的圆面，即可判断，对于D，由和圆相切即可判断. 【详解】对于A，圆心坐标为，由， 可得圆心轨迹方程为，A正确， 对于B，的圆心坐标为，半径为1， 圆心到直线的距离， 所以直线l与曲线 相切，B错误， 对于C，由，知其半径为1， 且恒过坐标原点， 所以动圆的圆心沿曲线运动一周扫过的区域为以为圆心，以2为半径的圆面， 则面积为，故C正确； 对于D，由B知，与相切， 所以动直线l上的点不可能覆盖到的区域即为圆的内部， 面积为，故D正确， 故选：ACD 11. 已知函数若曲线在处的切线的斜率等于 ，， 是（是的导函数）的图象上任意两个不同的点.设直线的斜率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出，则得，再结合即可对A判断求解；设，，再结合导数即可求出，从而可对B判断求解；由，令，构造，再结合导数即可求得，从而可对C判断求解；由题可得，由，令，则证，构造函数，再结合导数即可求出，从而可对D判断求解. 【详解】A：由题可得，所以， 又因为，则解得，故A正确； B：设，，则， 令，解得， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 则，故B错误； C：由题，则， 则要证，即证， 即证，令，则证，即证， 设，，因为，则恒成立， 所以在上单调递增，所以，故可证，故C正确； D：由题可得直线的斜率为， 要证，即证，即证， 令，则，则，即，即证， 令，恒成立，则在区间上单调递增， 所以，即，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 设等比数列的前项积为，若 ，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由等比数列通项公式基本量计算，即可求解. 【详解】，可得， 又，所以，所以. 所以公比，则， 故， 所以， 故答案为： 13. 已知倾斜角为的直线l过抛物线 的焦点且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线与x轴交于点 D，设点 D 到直线l的距离为d，则 ________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的方程，再联立直线与抛物线方程，利用抛物线的定义求出，再利用点到直线的距离求出即可求解. 【详解】由题可得抛物线的焦点,准线方程为：，则, 所以直线的方程为：,设, 联立，化简可得：, 则,所以, 点到直线的距离, 所以; 故答案为： 14. 一般地，若从任意三角形的三边分别向外作等边三角形，则这三个等边三角形的中心连接起来构成一个等边三角形，这个等边三角形称为原三角形的外拿破仑三角形；若从任意三角形的三边分别向内作等边三角形，则这三个等边三角形的中心连接起来也构成一个等边三角形，这个等边三角形称为原三角形的内拿破仑三角形.在 中，已知 的外拿破仑三角形（如图1）的面积为 ，内拿破仑三角形（如图2）的面积为，则 的最大值等于________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题目条件，结合等边三角形的性质、正弦定理、余弦定理求出外拿破仑三角形与内拿破仑三角形的边长，使用基本不等式求出的最大值. 【详解】根据题目条件可得， 在外拿破仑三角形中，， 等边三角形中心平分顶角 ，故 ， ，， 故， 在内拿破仑三角形中，， 同理， ，， ， ， ， 在中，， 即， 代入 ，得 ， （当且仅当 时取等号），代入上式得： ， ，， 代入 得： ， 综上， 的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差为2，等比数列 的公比为2，且 （1）求数列 的通项公式； （2）求数列的前n项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差、等比数列的通项公式即可求解； （2）由错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由， 得， 所以， ， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 则， 两式相减可得：， 即， 所以 16. 已知函数 （1）若在上不单调，求的取值范围； （2）当时，若对任意的， 恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，分类讨论的范围，即可求解； （2）将问题转化为，令，结合导数求出的单调性以及最值即可. 【小问1详解】 由题可得：，可知恒成立， 当时，，函数在上单调递增，不符合题意，舍去； 当时，令，解得：， 要使函数在上不单调，则， 解得：或； 所以在上不单调，则的取值范围为 【小问2详解】 当时，， 对任意的， 恒成立，即恒成立， 由于，则恒成立，即，所以 令，则， 所以在上单调递增，则，所以， 则当时，若对任意的， 恒成立，则实数a的取值范围 17. 如图，在四棱锥中，已知平面平面，，，，与的交点为. （1）证明:平面; （2）设为的中点，点在上且平面平面，若，点到平面的距离为，求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】（1）因为，，， 所以，则，得到平分， 由三线合一定理得是的中点，因为，所以，且面， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，即结论得证. （2） 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的性质结合三线合一定理得到是的中点，再结合得到，最后利用面面垂直的性质证明线面垂直即可. （2）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法得到，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，最后利用二面角的向量求法并结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，由（1）可以为原点建立空间直角坐标系， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，因为为的中点，所以是的中点， 因为，所以，， 同理可证，则，得到， 由已知得，可得， 由四边形内角和定理得，设， 而，由余弦定理得，解得（负根舍去）， 则，此时，由勾股定理得， 设，则，，，， 则，，，， 设平面的法向量为， 可得，令，解得，， 则平面的一个法向量为，设C到平面的距离为， 由点到平面的距离公式得， 因为点到平面的距离为，所以， 解得（其他根舍去），此时，， 设平面的一个法向量为， 因为平面平面，所以， 令，解得，，故， 设平面与平面所成二面角为， 则， 而，则，由同角三角函数的基本关系得. 18. 已知集合 （1）若， （i）从集合中任取3个不同的数，记这3个数是连续的正整数为事件M，求P（M）； （ii）是从 中随机抽取3个不同的数进行排列得到的最大的三位数，是从 中随机抽取3个不同的数进行排列得到的最大的三位数，求 的概率. （2）从 中随机抽取一个数记为X，再从X， 中随机抽取一个数记为Y，求Y的数学期望E（Y）. 【答案】（1）（i）,（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据古典概型的概率公式即可求解；（ii）利用全概率公式，即可求解， （2）利用全概率公式求解概率，进而由期望的公式计算，结合等差数列求和公式化简即可得解. 【小问1详解】 （i）从8个不同的数中任取3个不同的数，有种取法， 这3个数是连续的正整数有共有6种不同的取法，故, （ii）由题可知的情况有两类情况，中有9时和中没有9两种情况， 设中有9时记为事件，中没有9时记为事件， 事件“”， 事件“”， 事件“”， ， 若中有9，， 若中没有9，， 此时， 故， 【小问2详解】 由题意可得 的所有可能取值为 由全概率公式可得， ， ……, 所以 19. 在平面直角坐标系xOy中，对于椭圆 上任意一点P（x，y），我们称点 为C上点P 的和谐点.设 分别是C 上不同的两点A，B的和谐点，若 ，则称t为椭圆C在A，B两点处的和谐积.已知在平面直角坐标系xOy中，直线与椭圆 交于不同的两点M，N，点 分别是点M，N的和谐点，实数t是C在M，N两点处的和谐积. （1）证明: （2）证明: （3）已知C过点，离心率为若的面积为2，求 的值. 【答案】（1） 设，因为在椭圆上， 所以，， 根据和谐点的定义可得：，， 则，则， 同理，则， 所以，得证 （2） 由（1）知，， 所以， 由于，， 由柯西不等式可得：， 当且仅当，时等号成立， 则， 所以，即,得证. （3） 【解析】 【分析】（1）设，可得，，利用两点间的距离公式化简即可求解； （2）由题可得，结合柯西不等式即可求解； （3）求出椭圆方程，与直线联立方程，结合韦达定理求出弦长，由面积公式化简可得与的关系，表示出即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由于C过点，离心率为 则，解得：， 所以椭圆， 联立，化简可得：， 则 由韦达定理可得： 所以， 点到直线的距离为， 所以 的面积， 即，化简可得：， 即，则 由于， 所以， 由于， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $