2025-2026学年 山东省青岛市西海岸新区自主招生考试数-专题十一、二次函数（1）（适中版）

2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题十一、二次函数（1）（适中版） 一、单选题 1．已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或．则如下四个值中有可能为的是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征． 由当时，的取值范围为或可得抛物线对称轴为直线，从而可得与的关系，将代入解析式，用含代数式表示，进而求解． 【详解】解：当时，的取值范围为或， ∴为抛物线上的点，， ∴抛物线对称轴为直线， ， ， ， 根据题意可得， 解得：， 将代入解析式得， ， ， ， 四个值中有可能为的是1， 故选：A． 2．如图是抛物线的一部分图象，它的对称轴为直线，与x轴交于点．下列说法：①；②若与是抛物线上两个点，则；③若点是抛物线上一点，则；④若抛物线与y轴的交点为C，且，则．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用图象的信息即可判断①；利用二次函数的对称性和增减性即可判断②；利用二次函数的最值即可判断③；利用直角三角形函数求得，列出交点式，整理成一般式，即可求得，代入求得a的取值即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口方向向下， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴． ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴， ∴， ∴①的结论错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线对称的对称点为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小． ∵， ∴． ∴②的结论正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴函数的最大值为， ∵点是抛物线上一点， ∴，即， ∴③的结论正确； ∵． ∴， ∵若抛物线与y轴的交点为C，且， ∴，即， ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， ∴抛物线一定经过点， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴④的结论不正确； 综上，结论正确的有：②③， 故选：B． 3．如图，抛物线交 x轴于A、B两点，交y轴于C点，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数解析式，含30度的直角三角形等知识，根据题意结合图形求得与坐标轴的交点，即可求得的长，由含30度的直角三角形的性质可得出，进而得到求解再化简即可得出答案． 【详解】解：令，则， ， ， ， 即， 化为， 故选C． 4．对于函数，下列说法正确的有（　　）个 ①图象关于轴对称； ②有最小值； ③当方程有两个不相等的实数根时，； ④直线与的图象有三个交点时， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、含绝对值的函数图象和性质．本题的关键是通过讨论自变量的取值范围将绝对值号去掉，即转化成二次函数进行求解． 分别求出当和时的函数值，从而可判断图象是否关于y轴对称，可判断①．当和时两种情况，去掉绝对值号，从而可分别求出函数的最小值，从而可求出最小值，可判断②．画出函数的图象，当函数图象与直线有两个交点时，即求出m的取值范围，可判断③．构造函数，画出函数图象，则可求出b的范围使得该函数和直线有三个交点，可判断④． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴当时和当时，对应的函数值相等， ∴图象关于轴对称，故①正确； 当时，， ∴当时，y有最小值， 当时，， ∴当时，y有最小值， 综上所述，函数有最小值，故②正确； 画出函数图象如图， 观察图象得：当或时，函数的图象与直线有两个交点， 即当方程有两个不相等的实数根时，或，故③错误； ∵直线与的图象有三个交点， ∴有三个不相等的实数根， 设， 当时，， 当时，， 画出函数图象如下： 观察图象得：当或时，函数的图象与直线有三个交点，故④错误； 故选：B 5．二次函数，当取值为时，有最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值．先把二次函数化为顶点式，然后对函数图像的对称轴位置进行分类讨论，即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为， ∵， ∴该函数的最大值为2， 当时，即时，函数在处取得最大值，最大值为，根据题意，最大值为，则，解得。在范围内，故是符合题意的一个解； 当时，此时当时，函数取得最大值，最大值为，符合题意； 当时，此时当时，函数取得最大值，最大值为，不符合题意； ∴当取值为时，有最大值，的取值范围为． 故选：C 6．小梦同学观察下表数列的前五个数时，发现是n的二次函数．设，下列说法正确的是（ ） n 1 2 3 4 5 … n 数列 0 1 1 … A．S有最大值 B．当时， C．S有最小值为 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式. 设二次函数的表达式为：，根据待定系数法求出，根据得到，进而作答即可. 【详解】解：设二次函数的表达式为：， 将、、代入上式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：； 则， 当时， 故选：D. 7．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于，我们称为这个函数的不动点，如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题以新定义为背景，考查了二次函数图象和一次函数图象的交点与系数间的关系，本题亦可以转化为方程的解来解题． 由题意得不动点的横坐标相等，即在直线上，故二次函数与直线有两个交点，且横坐标满足，可以理解为时，一次函数的值大于二次函数的值． 【详解】解：由题意得：不动点在一次函数图象上， ∴一次函数与二次函数的图象有两个不同的交点， ∵两个不动点，满足， 时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值， ， ． 故选：C． 8．已知点D与点，，是一平行四边形的四个顶点，则长的最小值为（   ） A． B． C．13 D．12 E． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值的应用，平行四边形性质，解题的关键是利用分类讨论思想解答． 分两种情况：若为一边，若为对角线，结合平行四边形的性质以及二次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， 若为一边，此时； 若为对角线，此时和互相平分， 设点D的坐标为， ∵，，， ∴， 解得：， ∴D的坐标为， ∴， ∵， ∴该二次函数开口向上，当时，取得最小值，为， 即此时的最小值为； ∵， ∴， ∴长的最小值为． 故选：A 二、填空题 9．抛物线与轴的两个交点间的距离等于的值为 ． 【答案】0或2 【分析】本题主要考查二次函数与x轴的交点问题及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握二次函数与x轴的交点问题及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；根据抛物线与x轴的两个交点间的距离得到，然后解方程即可． 【详解】解：由题意：令时，则有，设为该方程的两个根， ∵， ∴， ∴抛物线与x轴的两个交点间的距离为， 解得：， 故答案为：0或2． 10．已知抛物线，若点，在抛物线上，均有，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由抛物线的解析式可得抛物线开口向下，对称轴是直线，即得到抛物线上的点离对称轴的距离越小，函数值越大，进而得到，解不等式求出的最大值与最小值即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越小，函数值越大， ∵点，在抛物线上，均有， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的最大值与最小值分别为和， ∴的最大值与最小值的和是， 故答案为：． 11．二次函数的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 16 【分析】本题考查二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质． 先求出对称轴为，顶点坐标，由判断出函数的增减性，再结合给定的t的取值范围，分别求出、和时的函数值，通过比较确定函数的最值． 【详解】 ∴该二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，对称轴为． 时，S随的增大而增大，时，S随的增大而减小， 在内， 当时，S取得最大值，最大值为16． 当时，； 当时，． ∵， ∴的最小值为． 故答案为：16，． 12．如图，，，…，是抛物线上的20个点，它们的横坐标分别为1，2，…，20，分别作这些点到x轴的垂线，垂足分别为，，…，，分别在这些点的左侧作一个以1为一边长、以，，…，为另一边的矩形，这些矩形的面积分别为，，…，，则的值为 ．（参考公式：） 【答案】2780 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，根据解析式求得各个点的纵坐标，进一步求得，…，，然后即可求得的值． 【详解】解：依题意得，，，，…，， ， 故答案为：2780． 13．如图，分别过点（，，）作轴的垂线，交二次函数于点，交直线于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，规律探索，找出题中的规律是解本题的关键．先求出，再将各项分别表示出来，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ， ． 故答案为：． 14．若二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，，且，图象上有一点在轴下方，则下列说法：①；②是方程的解；③；④；⑤或。其中正确的有 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，二次函数图象与轴的交点问题． 根据抛物线与轴有两个不同的交点，可判断，根据二次函数与一元二次方程的关系，可判断，再分和两种情况，可判断，根据轴下方的点的坐标特征，可判断． 【详解】解：根据题意可知，二次函数的图象与轴有两个交点， ∴， ∴正确， ∵点在二次函数的图象上， ∴当时，， ∴是方程的解， ∴正确， 当时，二次函数的图象开口向下， ∵二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，，且，图象上有一点在轴下方， ∴或， ∴不正确， ∵二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，， ∴， ∵二次函数的图象上有一点在轴下方， ∴，且， ∴， ∴正确， 当时，二次函数的图象开口向上， ∵二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，，且，图象上有一点在轴下方， ∴， ∴不正确， ∴正确的有． 故答案为：． 三、解答题 15．抛物线与y轴交于点A，顶点为D．    (1)若抛物线过点，求抛物线顶点D和点A坐标； (2)如图，在（1）的条件下，连接，点N为线段下方抛物线上一点，求面积的最大值； (3)已知点，，若线段与抛物线恰有一个交点，求m的取值范围． 【答案】(1)顶点， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一次函数的综合、二次函数与不等式的综合等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键． （1）将代入求得，进而求得抛物线解析式；然后求得抛物线的对称轴即可求得顶点坐标；再将代入得解析式可得，即可确定A的坐标； （2）先用待定系数法求得直线的解析式，进而可得；设，，，则，然后求得的最值即可； （3）由则抛物线恒过且；再说明恒在二次函数上方，在直线上；进而说明P在E点和C点的左侧，或在C点和E点的右侧（可以和E点或C点重合），则有或，最后解不等式组即可解答． 【详解】（1）解：∵将代入，得 ，解得； ∴， ∴，代入得：， ∴顶点， ∵将代入得：， ∴． （2）解：设直线为， 将，代入可得： ，解得：， ∴直线为， ∵过点N作轴，交直线于M， ∴， ∵设，，， ∴=， ∵，开口向下，有最大值， ∴当时，有最大值， ∴此时有最大值， ． （3）解：∵， ∴抛物线恒过且， ∴恒在二次函数上方，在直线上， ∵点C关于对称轴的对称点为， 又∵线段与抛物线恰有一个交点， ∴P在E点和C点的左侧，或在C点和E点的右侧（可以和E点或C点重合）， ∴或， ∴或． 16．通过改变的值得到动态函数，并且探索函数图象的相关性质． 规定：当，此时函数解析式为，且记点的坐标分别为． (1)当函数解析式为，且，则___________； (2)若点的坐标分别为，函数的图象与轴有两个交点时的取值范围； (3)若点的坐标为，点在点的右边，且满足，且此时函数的最小值为2，求出此函数的解析式． 【答案】(1)4或0； (2)或 (3)或 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出点的坐标分别为，再由两点之间的距离得出绝对值方程求解即可； （2）根据题意得出，再由二次函数与坐标轴的交点与一元二次方程的关系求解即可； （3）根据题意得或，代入二次函数关系式，利用最值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点的坐标分别为． ∵， ∴， 解得：或， 故答案为：4或0； （2）解：∵点的坐标分别为， ∴， ∴函数解析式为， ∵函数的图象与轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴， 解得：或； （3）解：∵点的坐标为，点在点的右边， ∴， ∵， ∴或， ∴或， ∵函数的最小值为2， ∴或， 解得：或（舍去）或或2（舍去）， ∴函数的解析式为：或． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，其中，抛物线与x轴交于另一点D． (1)求m，n的值及该抛物线的解析式； (2)如图2．若点P为线段上的一动点(不与A、D重合)．分别以为斜边，在直线的同侧作等腰直角和等腰直角，连接，试确定面积最大时P点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）先求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，设，将的面积转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， 把代入，得： ，解得， ∴； （2）当时，解得， ∴， ∴， 设，则：， ∵等腰直角和等腰直角， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，最大， ∴， ∵， ∴． 18．求常数的最大值，使得对任意整数，，不等式恒成立． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的性质、不等式的性质、配方法的应用，令，可得，解得，从而将问题转化为证明，配方可得，进而转化为，令，再结合二次函数的性质分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：令，可得，解得， 下面证明不等式对任意整数，恒成立，即证明， 配方可得， 即证， 令，当时，，当时，，当时，， 由二次函数知识可知其开口向上，且当或当时大于0， 设，则， ∵为任意整数， ∴可知当或时，，当且时，与同号， 所以，即原不等式在时成立， 综上所述，的最大值为3． 19．已知函数的图象与轴交于两点，且． (1)当时，设表示的最小值，求的最大值； (2)若，证明：或． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质和反证法． （1）根据函数的图象与性质得到该函数的最小值m在顶点处取得，把代入即可表示出最小值m的函数关系式，再根据关于a的函数关系式即可求出结果； （2）利用反证法，分三种情况得出与条件矛盾；进而即可得证． 【详解】（1）解：由题意可知，函数的图象开口方向向上， 函数的最小值m在顶点处取得，顶点横坐标为，代入函数得： ， ， ， ， 此为关于a的开口向下的抛物线，最大值在顶点处，代入得，； （2）若或不成立， 假设，则， 抛物线的对称轴为直线， 得， 当时，， 得， ， ， ， 与已知条件矛盾； 假设则， 此时， 即，， ，， 导致，与已知条件矛盾； 假设且， 当时，， 当时，， ， ， ， ， 与已知条件矛盾； 综上，所以假设情况均与已知条件矛盾，故假设不成立， 原命题或成立． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)当时，的最小值是，求的最大值； 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，顶点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出对称轴，再把把代入，求出，即可作答． （2）先得出抛物线的开口方向向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，再根据对称轴为，且，的最小值是，把代入，求出，再进一步分析，得出的最大值，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 把代入得 ∴抛物线的顶点坐标为 （2）解：∵抛物线的， ∴抛物线的开口方向向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， 由（1）得对称轴为， ∵，的最小值是， ∴把代入，得， 解得， ∴， ∵， 则把代入， 得， 即的最大值为． 试卷第20页，共21页 试卷第1页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题十一、二次函数（1）（适中版） 一、单选题 1．已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或．则如下四个值中有可能为的是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图是抛物线的一部分图象，它的对称轴为直线，与x轴交于点．下列说法：①；②若与是抛物线上两个点，则；③若点是抛物线上一点，则；④若抛物线与y轴的交点为C，且，则．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，抛物线交 x轴于A、B两点，交y轴于C点，，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．对于函数，下列说法正确的有（　　）个 ①图象关于轴对称； ②有最小值； ③当方程有两个不相等的实数根时，； ④直线与的图象有三个交点时， A．1 B．2 C．3 D．4 5．二次函数，当取值为时，有最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．以上都不对 6．小梦同学观察下表数列的前五个数时，发现是n的二次函数．设，下列说法正确的是（ ） n 1 2 3 4 5 … n 数列 0 1 1 … A．S有最大值 B．当时， C．S有最小值为 D．当时， 7．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于，我们称为这个函数的不动点，如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知点D与点，，是一平行四边形的四个顶点，则长的最小值为（   ） A． B． C．13 D．12 E． 二、填空题 9．抛物线与轴的两个交点间的距离等于的值为 ． 10．已知抛物线，若点，在抛物线上，均有，则的最大值与最小值的和为 ． 11．二次函数的最大值是 ，最小值是 ． 12．如图，，，…，是抛物线上的20个点，它们的横坐标分别为1，2，…，20，分别作这些点到x轴的垂线，垂足分别为，，…，，分别在这些点的左侧作一个以1为一边长、以，，…，为另一边的矩形，这些矩形的面积分别为，，…，，则的值为 ．（参考公式：） 13．如图，分别过点（，，）作轴的垂线，交二次函数于点，交直线于点，则的值为 ． 14．若二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，，且，图象上有一点在轴下方，则下列说法：①；②是方程的解；③；④；⑤或。其中正确的有 ． 三、解答题 15．抛物线与y轴交于点A，顶点为D．    (1)若抛物线过点，求抛物线顶点D和点A坐标； (2)如图，在（1）的条件下，连接，点N为线段下方抛物线上一点，求面积的最大值； (3)已知点，，若线段与抛物线恰有一个交点，求m的取值范围． 16．通过改变的值得到动态函数，并且探索函数图象的相关性质． 规定：当，此时函数解析式为，且记点的坐标分别为． (1)当函数解析式为，且，则___________； (2)若点的坐标分别为，函数的图象与轴有两个交点时的取值范围； (3)若点的坐标为，点在点的右边，且满足，且此时函数的最小值为2，求出此函数的解析式． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，其中，抛物线与x轴交于另一点D． (1)求m，n的值及该抛物线的解析式； (2)如图2．若点P为线段上的一动点(不与A、D重合)．分别以为斜边，在直线的同侧作等腰直角和等腰直角，连接，试确定面积最大时P点的坐标． 18．求常数的最大值，使得对任意整数，，不等式恒成立． 19．已知函数的图象与轴交于两点，且． (1)当时，设表示的最小值，求的最大值； (2)若，证明：或． 20．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)当时，的最小值是，求的最大值； 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $