精品解析：山东省烟台市龙口市2025-2026学年七年级（五四制）上学期期中数学试卷

2025—2026学年度第一学期期中阶段性测试 初二数学试题（120分钟） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的正确答案字母代号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；做图、添加辅助线时，必须用2B铅笔． 4．保证答题卡清洁、完整．严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．请在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、书写与卷面（3分）书写规范卷面整洁 二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上． 1. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在△中，线段表示的边上的高的图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个六边形形状的木框，为使其稳定，工人师傅至少需要加固（　　）根木条 A. B. C. D. 4. 一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 在中，、、的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为（ ） A. 14 B. 21 C. 28 D. 32 8. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④AC=2CD．其中正确的有（   ） 个 ． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，中，，，是的角平分线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 10 C. 13 D. 26 三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图，M是的平分线上一点，过点M作，垂足为C．若，D是上任意一点，则的最小值为_____． 12. 如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为______米． 13. 在中，的角平分线与边的垂直平分线相交于点，连接，若，则的度数是______． 14. 如图，在中，点P在内部，，于点P，，，求阴影部分的面积为________． 15. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为______时，与有可能全等． 16. 如图，，过点P作，且，得；再过点作且，得；又过点作且，得，依此法继续作下去，得________． 四、解答题（本大题共9个小题，满分69分） 17. 如图，已知，，求证：． 解：在和中， （已知） ________．（_______） （已知） （_______） （________） （_______）（________） ． 18. 如图，点B，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． 19. 如图，在中，D是边上的一点，且．请用尺规作图法在边上找一点M，使得（保留作图痕迹，不写作法）． 20. 如图，在中，边的垂直平分线交于点D，若， （1）求的长； （2）若点P是直线上的动点，直接写出的最小值为_________． 21. 阅读材料，回答问题：中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c，三者之间的数量关系是． （1）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，试说明：． （2）如图3，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 22. 在四边形中， （1）求证：为直角三角形； （2）求四边形的面积． 23. 【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 24. （1）猜想：如图1，已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E试猜想、、有怎样的数量关系，请直接写出； （2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A、E三点都在直线m上，并且有（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点D、E、A互不重合，在运动过程中线段的长度始终为n，连接、，若，试判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中阶段性测试 初二数学试题（120分钟） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的正确答案字母代号，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；做图、添加辅助线时，必须用2B铅笔． 4．保证答题卡清洁、完整．严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．请在题号所指示的答题区域内作答，写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效． 一、书写与卷面（3分）书写规范卷面整洁 二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上． 1. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 如图，在△中，线段表示的边上的高的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 根据三角形高线的定义，即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，且垂足在直线上， 所以正确画出边上的高的是D选项， 故选：D． 3. 如图，一个六边形形状的木框，为使其稳定，工人师傅至少需要加固（　　）根木条 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性，钉上木条后把六边形分成三角形即可． 【详解】解：如图，他至少还要再钉上根木条． 故选：B． 4. 一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最小值． 【详解】设第三边为， 根据三角形的三边关系，得：， 即， ∵为整数， ∴的最小值为6． 故选：B． 5. 在中，、、的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：∵，则， ∴是直角三角形，故 A 选项不符合题意； ∵， ∴可设， ∴， 即， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵，且， ∴， ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 6. 如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后图形全等．借助可得，根据即可求解． 【详解】解：∵沿折叠；使点B落在点处， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为（ ） A. 14 B. 21 C. 28 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】由是的中点可得，由是的中点可得，，从而得到，再由即可得到答案． 【详解】解：是的中点， ， 是的中点， ，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了与中线有关的三角形面积的计算，利用题中所给的条件，将面积进行转化是解此题的关键． 8. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．当直吸管底部在底面圆心处时，罐内部分的长度最短为圆柱形的高；当直吸管底部在底壁处时，罐内部分的长度最长为的长，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图， 当直吸管底部在底面圆心处时，罐内部分的长度最短为圆柱形的高，即， 此时直吸管露在罐外部分a的长度为， 当直吸管底部在底壁处时，罐内部分的长度最长为的长， 由勾股定理可得， 此时直吸管露在罐外部分a的长度为， 即直吸管露在罐外部分a的长度范围是， 故选：B． 9. 如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④AC=2CD．其中正确的有（   ） 个 ． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】①∵BD为△ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△EBC中， BD=BC，∠ABD=∠CBD，BE=BA， ∴△ABD≌△EBC(SAS)， ∴①正确； ②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA， ∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA， ∵△ABD≌△EBC， ∴∠BCE=∠BDA， ∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°， ∴②正确； ③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA， ∴∠DCE=∠DAE， ∴△ACE为等腰三角形， ∴AE=EC， ∵△ABD≌△EBC， ∴AD=EC， ∴AD=AE=EC， ∴③正确； ④因为BD是△ABC的角平分线，且BA>BC,所以D不可能是AC的中点，则AC≠2CD， 故④错误. 故选：C. 【点睛】此题考查角平分线定理，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理、三角形的面积关系等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键. 10. 如图，中，，，是的角平分线，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 10 C. 13 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、轴对称图形的性质、垂线段最短等知识，解题关键是根据轴对称图形及等腰三角形的性质得到最短路径，然后根据面积求解即可．首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，过点作交于点，由轴对称图形的性质及“垂线段最短”的性质可得的最小值为的长，即可获得答案． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴，， ∴点关于对称， 过点作交于点，如下图， 根据是上的动点，是边上的动点，要使取最小值，只需满足三点共线， 由轴对称图形的性质及在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短， 可得的最小值即为的长， ∵的面积为65， ∴， ∴， 即的最小值为10． 故选：B． 三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 如图，M是的平分线上一点，过点M作，垂足为C．若，D是上任意一点，则的最小值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质．根据垂线段最短可知，当时最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解． 【详解】解：如图，作交于点D， 垂线段最短， 当时，最短， 是的平分线，， ， ， ， 即长度最小为3， 故答案为：3． 12. 如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为______米． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质、勾股定理在实际生活中的应用，把求地毯长转化为求两直角边的长是解题的关键．将楼梯表面向下和向右平移，则地毯的总长等于两直角边的和，已知斜边和一条直角边，据勾股定理可求另一直角边． 【详解】解：如图： （米），（米）， （米）， ∴地毯长（米）． 故答案为：7． 13. 在中，的角平分线与边的垂直平分线相交于点，连接，若，则的度数是______． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据角平分线得到，根据垂直平分线得到，从而得到，结合得到，即可得到答案． 【详解】解：∵是的角平分线， ∵是的垂直平分线， ． 故答案为：35． 14. 如图，在中，点P在内部，，于点P，，，求阴影部分的面积为________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，过点A作于点H，先根据，，，利用勾股定理求出，再根据，得到是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得到，再利用勾股定理求出，最后利用即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点H， ∵，，， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为______时，与有可能全等． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角的判定．分两种情况讨论：当，时；当，时，即可求解． 【详解】解：当，时，， 、Q运动的路程和时间相同， 和P的运动速度相同是； 当，时，， ， 运动的时间是， ， 运动的速度是， 当点Q的运动速度为1或时，与全等． 故答案为：1或 16. 如图，，过点P作，且，得；再过点作且，得；又过点作且，得，依此法继续作下去，得________． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、图形的规律运算，找出算式与图形序号之间的关系是解题关键． 先利用勾股定理分别求出，，，，然后找到规律进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， … ∴， ∴． 故答案为：2023． 四、解答题（本大题共9个小题，满分69分） 17. 如图，已知，，求证：． 解：在和中， （已知） ________．（_______） （已知） （_______） （________） （_______）（________） ． 【答案】；公共角；；全等三角形的对应边相等；； 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出，再结合即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】证明：在和中， （已知） （公共角） （已知） （全等三角形的对应边相等） ． 18. 如图，点B，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用平行线的性质求得，利用即可证明． 【详解】略 19. 如图，在中，D是边上的一点，且．请用尺规作图法在边上找一点M，使得（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 如图所示，点M即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——角平分线，作出的角平分线交于，则点到的距离与到的距离相等，根据进而可得，即可求解，熟练掌握尺规作图作角平分线的方法是解题的关键． 【详解】解：作出的角平分线交于， 点到的距离与到的距离相等， ， ， 20. 如图，在中，边的垂直平分线交于点D，若， （1）求的长； （2）若点P是直线上的动点，直接写出的最小值为_________． 【答案】（1）9 （2）9 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可证为等腰三角形，由角度可证为直角三角形，再由线段之间的关系即可求出的长； （2）根据将军饮马原理即可得出的最小值为的长度． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵边的垂直平分线交于点D， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：如图， 取点关于直线的对称点，即点；连接两点，与直线交于点， 根据两点之间线段最短 则即为的最小值，最小值为9 【点睛】本题考查了图形的轴对称，相关知识点有：垂直平分线的性质、将军饮马等，轴对称性质的充分利用是解题关键． 21. 阅读材料，回答问题：中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么a，b，c，三者之间的数量关系是． （1）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，试说明：． （2）如图3，把矩形折叠，使点C与点A重合，折痕为，如果，，求的长． 【答案】（1） 解：，，，且， 整理得，， ； （2）3 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合图形，根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据翻折变换的特点、结合勾股定理列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，， 则， 解得，， 则的长为3． 【点睛】本题考查了勾股定理、翻折变换的性质，正确理解勾股定理、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 22. 在四边形中， （1）求证：为直角三角形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：在中，，， 由勾股定理得：，即 在中，，， 是直角三角形 （2）36 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． （1）由勾股定理求出，进而根据勾股定理逆定理证明即可； （2）根据割补法计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ． 23. 【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为______． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是______．（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3） 【解析】 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 蚂蚁爬行的最短距离为； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 故答案为：． 24. （1）猜想：如图1，已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E试猜想、、有怎样的数量关系，请直接写出； （2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A、E三点都在直线m上，并且有（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点D、E、A互不重合，在运动过程中线段的长度始终为n，连接、，若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）结论成立； 理由如下：∵，， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴； （3）为等边三角形， 理由：由（2）得，， ∴，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据等角的余角相等得到，再证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据条件证明即可得解； （3）根据等边三角形的判定证明即可； 【详解】解：（1）， 理由：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为； （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了三角形综合，结合三角形全等证明、等边三角形的判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $