精品解析：上海市徐汇中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

上海市徐汇中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷 （时间100分钟 满分150分） 2025．11 出卷人：文娴 审卷人：郑雪芳 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则为（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线平移后发现新抛物线的最高点坐标为，那么新抛物线的表达式为　　 A. B. C. D. 3. 下列两个图形一定相似的是（ ）． A. 两个菱形 B. 两个正方形 C. 两个等腰三角形 D. 两个矩形 4. 如图，在中，点D、E分别在、的反向延长线上，已知，下列条件中能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，二次函数的图像与轴交于、两点，那么下列关于此拋物线的说法：①抛物线的对称轴是直线；②；③；④中，正确的个数有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，将绕点B顺时针旋转，使得点A落在边上，点A、C的对应点分别为D、E，边交于点F，连接．下列两个三角形不一定相似的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 二、填空题（本大题共12题，每題4分，满分48分） 7. 比例尺为的地图上，A、B两地的距离为，那么A、B两地的实际距离为______． 8. 如果点P是线段AB的如黄金分割点，且，，则______． 9. 已知，它们对应中线的比，那么它们的周长比是__________． 10. 将抛物线向右平移4个单位，所得图像相应的函数解析式为__________． 11. 如图，，如果，那么的长是__________． 12. 如果二次函数y=﹣2x2+（m﹣4）x+3图象的对称轴是y轴，那么m=_____． 13. 已知点、在抛物线上，则_____________（填“”、“”或“”）． 14. 如图，已知在中，点D是边AC上一点，且．设，，那么向量______．（用的形式表示，其中x、y为实数） 15. 如图，梯形中，，与相交于点，已知，那么_________． 16. 如图，已知中，是边AB的中点，，垂足为点，若，则__________． 17. 新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，抛物线的顶点为P，且抛物与x轴相交于M、N两点，点P关于x轴的对称点为Q，若四边形是正方形，那么抛物线的表达式为__________． 18. 在菱形中，点E为边的中点．联结，将沿着所在的直线翻折得到，点B落在点F处，延长交边于点G．如果的延长线恰好经过点D，那么的值为__________． 三、（本大题共7题，第19－22题每题10分；第23、24題每题12分；第25题14分；满分78分） 19. 已知，，求的值． 20. 已知：图1、图2中的网格均为边长是1的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G是网格的格点． （1）请利用网格，仅使用无刻度的直尺完成下面的作图（不写画法，保留画图痕迹，写出结论） ①在图1中，作出直线，垂足为点； ②在图2中，作出的重心； （2）利用②的作图结果，求OF的长． 21. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： 0 2 3 4 5 2 2 5 10 （1）根据上表填空： ①这个抛物线的对称轴是__________，抛物线一定会经过点（，__________）； ②抛物线在对称轴左侧部分是__________（填“上升”或“下降”）； （2）如果将抛物线向下平移使它经过点，求平移后的抛物线的表达式． 22. 请根据以下素材，完成探究任务． 视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中相应的“”，并依次编号①、②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动直至从观测点看去，对应顶点、在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同． 素材2 为了加强视力保护意识，小明想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，他想到一个方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿、发出的光线经平面镜MN的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长 任务 （1）若，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． （2）小明的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 23. 如图，在中，是边上的高，点在边上，交于点，且是的平分线，交于点，交于点． 求证： （1）； （2）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于、两点，与轴交于点，点是拋物线的顶点． （1）求抛物线的对称轴及点的坐标； （2）连接，抛物线的对称轴与，交于点，与轴交于点，如果，求抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，已知点是该抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标． 25. 如图1，在梯形中，，，点在上，满足，又，． （1）求证：； （2）如图2，若点是线段上的动点且与点不重合，连接并延长交的延长线于点，设，求与之间的函数关系式，并写出定义域； （3）若点是线段上的动点且与点不重合，连接交于点，当是等腰三角形时，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市徐汇中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷 （时间100分钟 满分150分） 2025．11 出卷人：文娴 审卷人：郑雪芳 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查比例中项的定义，掌握比例中项的定义是解题的关键．根据比例中项的定义，列出比例式即可得出的值，注意线段不能为负． 【详解】解：是 和的比例中项， ， ，， ，解得：， ， 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线平移后发现新抛物线的最高点坐标为，那么新抛物线的表达式为　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式 【详解】解：原抛物线解析式为，的顶点坐标是，平移后抛物线顶点坐标为， 平移后的抛物线的表达式为：． 故选A． 【点睛】本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式． 3. 下列两个图形一定相似的是（ ）． A. 两个菱形 B. 两个正方形 C. 两个等腰三角形 D. 两个矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似图形的判断． 根据相似图形的定义逐一判断即可． 【详解】A． 两个菱形的各边对应成比例，但各角不一定相等，故不一定相似； B． 两个正方形的所有角均为，且各边对应成比例，因此一定相似； C． 两个等腰三角形的顶角可能不等，对应边比例不一定一致，故不一定相似； D． 两个矩形的角均为，但长宽比例可能不同，对应边不一定成比例，故不一定相似； 故选B． 4. 如图，在中，点D、E分别在、的反向延长线上，已知，下列条件中能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，利用相似三角形的判定及性质逐一判断即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：，， A、由，及不能判定，故不符合题意； B、由，不能判定，则错误，故不符合题意； C、， ， ， ， ∴， ，故符合题意； D、由、不能判定，故不符合题意 故选：C 5. 如图，二次函数的图像与轴交于、两点，那么下列关于此拋物线的说法：①抛物线的对称轴是直线；②；③；④中，正确的个数有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟知：对于二次函数，若其图象与轴的两交点分别为、，则对称轴公式为；当时，抛物线开口向上，当，抛物线开口向下；二次函数的对称轴公式为：；在二次函数中，为函数图象与轴交点的纵坐标．根据二次函数图象与轴的交点坐标求出对称轴，再结合二次函数的开口方向、对称轴与轴的交点位置来判断、、的正负性即可． 【详解】解：二次函数的图像与轴交于、两点， 该函数的对称轴是直线，故①正确； 该二次函数图象开口向下， ，故②错误； 根据二次函数的对称轴公式， 可得， ， ，故③正确； 二次函数与轴交于正半轴， ，故④错误； 综上，正确的有①③， 故选：． 6. 如图，将绕点B顺时针旋转，使得点A落在边上，点A、C的对应点分别为D、E，边交于点F，连接．下列两个三角形不一定相似的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定、旋转性质、等腰三角形的性质，根据旋转的性质和相似三角形的判定逐项判断即可．熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键． 【详解】解：如图， 由旋转性质得，，，， ∴， ∴，故选项A不符合题意； ∵，，， ∴， ∴，又， ∴，故选项B不符合题意； ∵，又， ∴，故选项C不符合题意； 根据题意，无法证明与相似，故选项D符合题意， 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每題4分，满分48分） 7. 比例尺为的地图上，A、B两地的距离为，那么A、B两地的实际距离为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，主要利用了比例尺的定义，计算时要注意单位之间的换算． 设、两地间的实际距离是，根据比例尺的定义列式计算即可得解，然后再化为千米即可． 【详解】解：设、两地间的实际距离是，根据题意得： ， 解得， ． 故答案为：2． 8. 如果点P是线段AB的如黄金分割点，且，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则，代入数据求解即可． 【详解】解：由于P是线段AB的黄金分割点， 且AP为较长线段， 则， ， 则． 故答案为4． 【点睛】本题考查了黄金分割点的概念熟记黄金比的值列方程进行计算． 9. 已知，它们对应中线的比，那么它们的周长比是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的对应中线的比等于相似比即可确定正确的答案． 【详解】解：∵，它们对应中线的比， ∴它们的周长比是， 故答案为：． 10. 将抛物线向右平移4个单位，所得图像相应的函数解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键． 先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向右平移4个单位，需将原解析式中的替换为． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 向右平移4个单位后的图象的顶点坐标为， 所以，将抛物线向右平移4个单位，所得图像相应的函数解析式为， 故答案为：． 11. 如图，，如果，那么的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，过点作，交于点，交于点，根据平行线分线段成比例定理可得，由，可得，根据可知，从而可求，根据可求结果． 【详解】解：如下图所示，过点作，交于点，交于点， ， ，， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 12. 如果二次函数y=﹣2x2+（m﹣4）x+3图象的对称轴是y轴，那么m=_____． 【答案】4． 【解析】 【分析】由抛物线的对称轴是y轴，可知对称轴是x＝0，然后根据题目已知条件即可解. 【详解】由抛物线的对称轴是y轴，可知对称轴是x＝0，由题意知，解得m＝4． 故答案为4. 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解题关键是熟记二次函数的性质. 13. 已知点、在抛物线上，则_____________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的解析式得到对称轴为直线，由抛物线开口向下，可得在对称轴左侧，随的增大而增大，即可得到答案． 【详解】解：点、在抛物线上， 对称轴为直线， 抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象及其性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 14. 如图，已知在中，点D是边AC上一点，且．设，，那么向量______．（用的形式表示，其中x、y为实数） 【答案】 【解析】 【分析】先求解，，再根据可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面向量的线性运算，熟练的掌握运算法则是解本题的关键． 15. 如图，梯形中，，与相交于点，已知，那么_________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．根据证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得到答案． 【详解】解：， ． ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，已知中，是边AB的中点，，垂足为点，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，则，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是边AB的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 17. 新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，抛物线的顶点为P，且抛物与x轴相交于M、N两点，点P关于x轴的对称点为Q，若四边形是正方形，那么抛物线的表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线新定义问题，正确理解定义，熟练掌握平行坐标轴直线上两点间距离计算方式是解题的关键．根据定义，得到抛物线的表达式，然后利用公式求出顶点坐标和对称点坐标，根据四边形是正方形求出距离，然后利用两点间距离公式和一元二次方程根与系数的关系求出的值，即可求解． 【详解】解： ， “关联抛物线”为：， 设抛物线的顶点，则 ，， 抛物线的顶点， 点P关于x轴的对称点， 连接交轴于，如图所示， 四边形是正方形， ， ， 设抛物线：与轴交点，，，即为方程的根， 则，， ， 解得， 抛物线的表达式为，即， 故答案为：． 18. 在菱形中，点E为边的中点．联结，将沿着所在的直线翻折得到，点B落在点F处，延长交边于点G．如果的延长线恰好经过点D，那么的值为__________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】延长、交于点，由菱形的性质得，，，则，由折叠得，，则，，而，所以，推导出，可证明，得，则，所以，则，再证明，得，再证明，得，则，而，即可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长、交于点， 四边形是菱形， ，，， ， 由折叠得，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点为边的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值为． 故答案为： 【点睛】本题考查菱形的性质、轴对称的性质、同角的补角相等、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 三、（本大题共7题，第19－22题每题10分；第23、24題每题12分；第25题14分；满分78分） 19. 已知，，求的值． 【答案】44 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，再代入可求出的值，从而可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 20. 已知：图1、图2中的网格均为边长是1的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G是网格的格点． （1）请利用网格，仅使用无刻度的直尺完成下面的作图（不写画法，保留画图痕迹，写出结论） ①在图1中，作出直线，垂足为点； ②在图2中，作出的重心； （2）利用②的作图结果，求OF的长． 【答案】（1） ①如图1，即为所求； ②如图2，点即为所求； （2）． 【解析】 【分析】本题考查应用与设计作图、三角形的重心、解直角三角形、相似三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． (1)①利用网格直接画图即可；②结合三角形的重心的定义，取的中点，的中点，连接，相交于点，则点即为所求； (2)由题可得，结合勾股定理求出的长，再由进而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可得，， 由勾股定理得：， ， ， ． 21. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： 0 2 3 4 5 2 2 5 10 （1）根据上表填空： ①这个抛物线的对称轴是__________，抛物线一定会经过点（，__________）； ②抛物线在对称轴左侧部分是__________（填“上升”或“下降”）； （2）如果将抛物线向下平移使它经过点，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】（1）①，10；②下降 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）①根据表格可知对称轴为直线，然后根据对称性可进行求解；②根据表格可直接进行求解； （2）由表格可知函数过点，由题意易得该抛物线向下平移5个单位长度，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：①由表格可知：点和点关于该抛物线的对称轴对称， ∴对称轴为直线， 根据对称性可知：当时，则该点关于对称轴对称的点的横坐标为， ∴根据表格可知：当时，则； ②根据表格及①可知：抛物线在对称轴左侧部分是下降； 故答案为，10；下降； 【小问2详解】 解：由表格可知函数过点， ∵将抛物线向下平移使它经过点， ∴该抛物线向下平移5个单位长度， 由表可把点，，代入得： ，解得：， ∴， ∴该函数向下平移5个单位长度后所得函数解析式为． 22. 请根据以下素材，完成探究任务． 视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中相应的“”，并依次编号①、②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动直至从观测点看去，对应顶点、在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同． 素材2 为了加强视力保护意识，小明想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，他想到一个方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿、发出的光线经平面镜MN的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长 任务 （1）若，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． （2）小明的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了相似形的综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可． 【详解】解：（1）， ． ，即． ，且，， ，解得． 号“”的测量距离为； （2）如图，延长至，使，延长至，使，连接，作于F，交于E， 则， ， ． ． 由题意得，， ． ，解得 镜长至少为． 23. 如图，在中，是边上的高，点在边上，交于点，且是的平分线，交于点，交于点． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴和为直角三角形， ∴，， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2） 证明：根据解析（1）可知：， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，比例的基本性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）证明，得出，根据，结合三角形内角和定理得出，即可得出答案； （2）证明，得出，证明，得出，，证明，得出，同理得：，得出，即可得出，根据比例的性质得出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于、两点，与轴交于点，点是拋物线的顶点． （1）求抛物线的对称轴及点的坐标； （2）连接，抛物线的对称轴与，交于点，与轴交于点，如果，求抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，已知点是该抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线的对称轴是直线，点B； （2）抛物线的解析式为； （3）点． 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线的对称轴，由抛物线的对称性可求点B坐标； （2）先求出点M，点D坐标，由可列等式，求a的值，即可求解； （3）通过证明，可得，可证点A，点C，点B，点F四点共圆，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵抛物线与x轴交于、B两点， ∴点B； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点， ∵抛物线，与y轴交于点C， ∴点， 又∵点， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：如图， ∵点，点，点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A，点C，点B，点F四点共圆， ∵， ∴， ∴， ∴是直径， ∴点H是圆心， ∴， ∴点． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 25. 如图1，在梯形中，，，点在上，满足，又，． （1）求证：； （2）如图2，若点是线段上的动点且与点不重合，连接并延长交的延长线于点，设，求与之间的函数关系式，并写出定义域； （3）若点是线段上的动点且与点不重合，连接交于点，当是等腰三角形时，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2），定义域 （3）的长度为或 【解析】 【分析】（1）由，，可得，，由得，由得，再由等量代换得，可证，由相似比可得出，即可证明； （2）由得，可得即，化简得，由点是线段上的动点且与点不重合，得，即定义域为； （3）当是等腰三角形时，分三个情况讨论：①当时，由得，得， 从而得，进而得；②当时，由得，由得，代换得，从而得，进而得四边形是平行四边形，得出，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是线段上的动点且与点不重合， ∴，即定义域为； 【小问3详解】 解：分三种情况： ①，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ②，如图， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； ③当时，等腰三角形不存在； 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义及性质，相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，掌握等腰三角形的定义及性质，相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质并分情况讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $