4.1.1 n次方根与分数指数幂（第一课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 2.能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 3.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点) 一、学习目标 自主预习，导学提示 阅读课本104-106页，思考并完成以下问题 (1)n次方根是怎样定义的？ (2)根式的定义是什么？它有哪些性质？ (3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ (4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？ (5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？ 二、新课导入 考古学家推断出银杏于200多万年前就存在 树干化石 树叶化石 这里的幂指数已经不是正整数，而是分数，这些分数指数幂应该如何计算呢？这就是我们下面要研究的指数与指数幂的运算，为此先学习根式相关的知识。 初高衔接——平方根、立方根 如果x2=a，那么x叫做a的平方根， 如果x3=a，那么x叫做a的立方根， (1) 4的平方根是____ (2) 4的算术平方根是____ (3) 8的立方根是____ (4) -8的立方根是____ 根指数 被开方数 思维火花 如果x3=a，那么x叫做a的立方根 如果x2=a，那么x叫做a的平方根 如果x4=a，那么x叫做a的四次方根 …… 如果x5=a，那么x叫做a的五次方根 如果xn=a ，那么x叫做a的n次方根 根指数 被开方数 你能类比得到n次方根的定义吗？ 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 如果xn＝a，那么x叫a的n次方根，其中n＞1且n∈N*. 试一试：快速写出以下式子的结果，对结果进行分析，并尝试得到结论. n次方根的概念 (1)25的平方根等于_________________ (2)27的立方根等于_________________ (3)-32的五次方根等于_______________ (4)16的四次方根等于_______________ (5) 的三次方根等于_______________ (6)0的七次方根等于________________ 三、思——分析n次方根的性质——奇次方根 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，0的n次方根为0，这时，a的n次方根用符号 表示． 例如： 奇次方根 1.正数的奇次方根是一个正数； 2.负数的奇次方根是一个负数； 3.0的奇次方根为0． 思——分析n次方根的性质——偶次方根 4的2次方根 ； 16的4次方根 ；-81的2次方根 ； ±2 ±2 无 当n是偶数时：正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数，这时候，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 表示.正的n次方根和负的n次方根合并写成 ； 例如： 0的n次方根为0. 偶次方根 2.负数没有偶次方根； 1.正数的偶次方根有两个且互为相反数； 3.0的偶次方根为0． (n为奇数) (当n是偶数，且a＞0) 乘方运算 开方运算 一般读作“n次根号a”                   为偶数 为奇数 不存在 根式 被开方数 根指数 根式 根指数 被开方数 根式的概念 式子 叫做 ，这里n叫做 ，a叫做 . 根式的性质探究 问题1 一般地 等于什么？ 结论:an开奇次方根,则有 结论:an开偶次方根,则有 不一定 问题2 口诀：先开方再乘方取本身，先乘方再开方论奇偶 是实数的n次方，在有意义的前提下，实数a的取值由n的奇偶决定，算法是先开方，再乘方，结果恒等于a . 是实数an的n次方根，不受a的正负限制，但是受n的奇偶限制； 算法是先乘方，再开方. 结果不一定等于a， 当n为奇数时，；当n为偶数时， 四、议——典例分析——105页例1 例1 求下列各式的值： (1); (2); (3); (4) (1)=-8; (2)=10; (3)=|3-|=-3; (4)=|a-b|= 解： 注意：偶次根式的非负性（加绝对值） 牛刀小试1： 解：（1） （2） （3） （4） 牛刀小试2： (1) (2) (3) （4） （4）原式== . 牛刀小试3： 解：(1)；(2) . (3)当时， . (4) ； 当时， ；当时， . 牛刀小试4： ∵a≤1，∴3a－3≤0， 让你的大脑燃烧起来吧！ 小结 初高衔接——整数指数幂及运算性质 底数 指数 幂 读作“a的n次方”或“a的n次幂” 整数指数幂 运算性质： 科学家小故事 牛顿是大家所熟悉的物理学家，你知道他在数学上的贡献吗？他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里面说：“因为数学家将<m></m>，<m>，<m</m>等写成<m></m>，<m></m>，<m></m>等，所以可将<m></m>，<m></m>，<m></m>写成<m></m>，<m></m>，<m></m>；将<m></m>，<m></m>，<m>， <m></m> 写成<m>，<m>，<m>，<m></m>.” 探究分数指数幂！ 思——根式与分数指数幂的互化 (1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0) 结论：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时， 根式可以表示为分数指数幂的形式. (2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗? 总结：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式. 25 (3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗? 43的5次方根是 75的3次方根是 a2的3次方根是 a9的7次方根是 结果表明：方根的结果与分数指数幂是相通的. 概念剖析 ——正分数指数幂、负分数指数幂 3. 规定0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义. 1. 正数的正分数指数幂的意义： 2. 正数的负分数指数幂的意义： 议 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 有理数指数幂的运算性质 (a>0 ; r,s∈Q)： ①ar·as=ar+s ②(ar)s=ars ③(ab)r=ar·br(b>0) ④ar÷as=ar－s 口诀：乘相加，除相减，幂相乘； 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 幂的乘方，底数不变，指数相乘 积的乘方，等于积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 同底数幂相除，底数不变，指数相减 概念辨析： √ × √ √ × × 典例剖析 ——课本106页例2——求值 （1） ；（2） . 解： （1）法一； 法二； （2）法一. 法二. 底数：化大为小 牛刀小试（求值） (1) ； (2) . ＝23＝8. 底数：化大为小 典例剖析 ——课本106页例3 用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0) 解：(1) ； (2) . 结构：化根式为分数指数幂 典例剖析 ——根式与分数指数幂的互化 利用指数幂的运算性质化简求值的一般步骤： (1)先化底数：化负为正，化大为小，化小数为分数，化带分数为假分数； (2)再化结构：化根式为分数指数幂，化加减为乘除； (3)后化指数：化繁为简. 对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． 五、展——自信大方的上台展示吧！107页例4 计算下式各式(式中字母均是正数). 解： 小结 (n为奇数) (当n是偶数，且a＞0) 0的任何次方根都是0，记作=0 根式: 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． n次方根定义: 一般地，如果xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*． 37 小结 正数的正分数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义． 指数运算性质： 六、精讲精评——指数幂运算中的条件求值 已知a+a-1=5，求下列各式的值： (a±b)2=a2±2ab+b2 2an·a-n=2 精讲精评——指数幂运算中的条件求值 40 整体代换求分数指数幂的规律方法 1、观察条件与结论的结构特点 → 将所求代数式恰当地变形 → 构造出与已知条件相同的结构 → “整体代换法”求值． 2、利用“整体代换法”求值时常用的变形公式如下： 七、强化训练，巩固提升 解答：(1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4. (2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4. (3)原式＝|x＋2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2，x≥－2.,－x－2，x<－2.)) ＋()4＝－4＋4＝0. ∴＝|3a－3|＝3－3a. (3)＋. ＋＝a＋|1－a|＝ (1)＋()4； (2)(a≤1)； 若eq \r(9a2－6a＋1)＝3a－1，求a的取值范围． [解]　∵eq \r(9a2－6a＋1)＝eq \r(3a－12)＝|3a－1|， 由|3a－1|＝3a－1可知3a－1≥0，∴a≥eq \f(1,3). 正确区分与()n (1)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性. (2)()n已经暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围. 根式的性质 (1)eq \r(n,0)＝ (n∈N*，且n>1)； (2)( eq \r(n,a))n＝ (n∈N*，且n>1)； (3)eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数)； (4)eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0，))(n为大于1的偶数)． 0 a (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意实数的奇次方根只有一个．(　　) (2)当n∈N*时，(eq \r(n,－16))n都有意义．(　　) (3)eq \r((3－π(2)＝π－3.(　　) (4)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．(　　) (5)分数指数幂af (m,n) eq \s\up15( ) 可以理解为eq \f(m,n)个a相乘．(　　) (6)0的任何指数幂都等于0.(　　) ＝－1＝. 已知af(1,2)eq \s\up12() ＋a,2)eq \s\up12(－) ＝4，求下列各式的值： (1)a＋a－1； (2)a2＋a－2. 解：(1)将a)＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14. )＋a (2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194. （1）已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值． （2）已知67x＝27,603y＝81，求eq \f(3,x)－eq \f(4,y)的值． （1） 解　∵a>0，b>0，又ab＝ba， （2）由67x＝33，由603y＝81， ＝eq \f(603,67)＝9＝32，∴eq \f(4,y)－eq \f(3,x)＝2，故eq \f(3,x)－eq \f(4,y)＝－2. $