第5章 二次函数（章节复习检测中等卷）-2025-2026学年苏科版数学九年级下册优选题练习卷

2025-2026学年苏科版数学九年级下册章节复习检测中等卷 第5章 二次函数 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.48 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是5 D．当时，y随x 的增大而增大 4．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 5．（2025·湖北·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，顶点为，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2025·山东济南·模拟预测）若二次函数的图象与轴交于，两点，且满足，，则下列说法错误的是（   ） A． B．抛物线开口向上 C．当时，的取值范围为 D．关于的方程的一个解小于 9．（2025·安徽·模拟预测）若抛物线与抛物线在同一个平面直角坐标系中且关于轴对称，则符合条件的、的值为（   ） A． B．， C． ， D．， 10．如图，直角梯形的边在轴上，O为坐标原点，垂直于轴，，．若动点、同时从点O出发，点沿折线运动，到达点时停止；点沿运动，到达点时停止，它们运动的速度都是每秒个单位长度．设运动秒时，的面积为（平方单位），则关于的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（2023·浙江温州·模拟预测）若，，则y的最小值是 ． 12．（2022·河南驻马店·一模）关于的不等式组有解，则关于的二次函数 的顶点所在象限是 ． 13．（24-25八年级下·重庆江北·期末）已知抛物线的顶点在轴上，当时，函数值的取值范围是 ． 14．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是 ． 15．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．有以下结论：①； ②；③；④；⑤．其中正确的序号有 ． 16．（2021·浙江衢州·二模）一个不透明的袋中有四张形状大小质地完全相同的卡片，它们上面分别标有数字、、、随机抽取一张卡片，把上面的数字记为，则恰好使得抛物线的对称轴在轴左侧，且双曲线经过二、四象限的概率是 ． 17．（2022·四川成都·三模）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数，某同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），下列结论正确的有 ．（填序号） ①图象具有对称性，对称轴是直线； ②当或时，函数值y随x值的增大而增大； ③当或时，函数最小值是0； ④当时，函数有最大值是4； ⑤该函数与的图象有四个交点，则m的范围为． 18．（2022·山东日照·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点．若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图象于点，则面积的最大值为 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，顶点为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如果不同的两个点，在这个函数图像上，求的值． 20．（本题6分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 21．（本题8分）（2025·宁夏银川·三模）如图①，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C． (1)求二次函数的关系式及点C的坐标； (2)如图②，若点P是直线上方的抛物线上一点，过点P作轴交AB于点D，轴交AB于点E，求的最大值． 22．（本题8分）（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长． 23． （本题8分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元． 市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设该水果批发商每箱苹果的销售单价为元()． (1)求平均每天销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式？ (3)当每箱苹果的销售单价定为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 24．（本题8分）（2025·江西赣州·一模）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线、攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知，． 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为、水平距离s（水平距离水平速度时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表．守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … 9 12 15 18 21 … … 5 … (1)求h关于s的函数表达式． (2)若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． (3)求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 25．（本题10分）（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）【综合与实践】某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据： （米） 0 1 2 3 4 （米） (1)在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象； (2)若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______，并求与函数表达式； (3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 26．（本题10分）（24-25九年级上·广东中山·期中）抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版数学九年级下册章节复习检测中等卷 第5章 二次函数 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.48 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、在时是二次函数，故该选项不符合题意； C、符合二次函数定义，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C 2．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次函数与一次函数图象和性质，掌握二次函数与一次函数的交点的含义是解题关键．根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点的横坐标，即可得解． 【规范解答】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为， 方程的解是， 故选：B． 3．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是5 D．当时，y随x 的增大而增大 【答案】D 【思路引导】本题考查了二次函数的图象和性质．通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解． 【规范解答】解：∵二次函数，， ∴函数图象的开口向上，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴函数图象的顶点坐标是，该函数有最小值，最小值是，故B、C选项错误，不符合题意； ∴函数图象的对称轴为直线， ∴当时，y随x 的增大而增大，故D选项正确，符合题意； 故选：D 4．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【规范解答】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 5．（2025·湖北·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，顶点为，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象以及顶点坐标找出、、之间的关系是解题的关键．根据二次函数的图象以及顶点坐标，分别找出 、、 之间的关系， 对照 4 条结论判断其正确与否， 由此即可得出结论． 【规范解答】解：抛物线开口向上， ， 对称轴在轴左边， ， 抛物线与轴的交点在轴的上方， ， ， 结论不正确； 二次函数的图象与轴只有一个交点， ， 即， 结论正确； 对称轴， ， ， ， ， 根据函数图象可知， ， 结论正确； 对称轴是，而且时，， 时，， ， 结论正确． 综上分析，正确结论的个数是个． 故选：C． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了平行四边形的性质、动点问题的函数图象、直角三角形的性质以及二次函数和一次函数的性质，熟练掌握分阶段分析动点运动过程并建立函数关系式是解题的关键． 分点在上和点在上两个阶段，分别求出的面积与运动时间的函数关系式，再根据函数关系式判断图象． 【规范解答】解：当点在上时（）： 过点作于点． ，， ． 又，， ． ． 这是一个二次函数，开口向下，顶点在处，但此阶段，函数在上图象不断上升，当时，． 当点在上时（）, ∵四边形是平行四边形， ，点从到用时秒， 此时在上的运动距离为，方向上的高与上的高相同，即（当时，后续在上时，到的距离不变）． ， ． 这是一个一次函数，随的增大而减小，当时，． 综上，当时，是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升；当时，是一次函数，图象不断下降． 故选：A． 7．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据图表在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，根据图象进行判断即可． 【规范解答】解：由图表可知，该二次函数的图象如图， ∴抛物线的开口向下，故①正确； ∵与关于抛物线的对称轴对称 ∴对称轴为直线，故②错误； 由函数图像可知，当时，，故③正确； 二次函数与有两个交点， ∴方程有两个不相等的根，故④错误； 综上所述：①③正确，共2个． 故选B． 8．（2025·山东济南·模拟预测）若二次函数的图象与轴交于，两点，且满足，，则下列说法错误的是（   ） A． B．抛物线开口向上 C．当时，的取值范围为 D．关于的方程的一个解小于 【答案】C 【思路引导】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数与方程的关系是解题的关键．由二次函数与方程的关系可知，是方程的两个根，利用根与系数的关系即可判断A、B；利用抛物线的对称性及增减性可判断C；利用抛物线与直线交点的情况即可判断D． 【规范解答】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴，是方程的两个根， ∴，，故A选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴抛物线开口向上，故B选项说法正确，不符合题意； ∵的对称轴为直线， 当时，， ∴时，， ∴当或时，，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增小， ∵时，，时，， 故直线与抛物线的交点在轴的上方， ∴关于的方程的一个解小于，故D选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 9．（2025·安徽·模拟预测）若抛物线与抛物线在同一个平面直角坐标系中且关于轴对称，则符合条件的、的值为（   ） A． B．， C． ， D．， 【答案】C 【思路引导】本题考查二次函数的图象与性质、轴对称性质，由两抛物线关于轴对称，可知两抛物线的对称轴相同，与轴交点关于轴对称，由此可得二次项系数、一次项系数、常数项均互为相反数，由此可得关于m、的方程组，解方程组即可得． 【规范解答】解：根据两抛物线关于轴对称，则它们的二次项系数、一次项系数、常数项均互为相反数， ∴ 解得：， 故选：C． 10．如图，直角梯形的边在轴上，O为坐标原点，垂直于轴，，．若动点、同时从点O出发，点沿折线运动，到达点时停止；点沿运动，到达点时停止，它们运动的速度都是每秒个单位长度．设运动秒时，的面积为（平方单位），则关于的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了二次函数的动点问题、一次函数的应用、勾股定理，由题意可得，，，再分三种情况：当时，；当点运动到点时，点运动到点时，此时点停止运动，点在上运动，的面积不变；当点运动到点，点在上运动时；分别求解即可，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴，，， ∵动点、同时从点O出发，点沿折线运动，到达点时停止；点沿运动，到达点时停止，它们运动的速度都是每秒个单位长度．设运动秒时， ∴当时，， 如图，作于，于点， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，此时为二次函数； 当点运动到点时，点运动到点时，此时点停止运动，点在上运动，的面积不变，始终为； 当点运动到点，点在上运动时，如图： 此时，， ∴，此时为一次函数； 故选：C． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（2023·浙江温州·模拟预测）若，，则y的最小值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查二次函数的最值，根据题意将代入计算，再根据二次函数的性质即可解答． 【规范解答】解：，， ， ， 当时，y的最小值是． 故答案为：． 12．（2022·河南驻马店·一模）关于的不等式组有解，则关于的二次函数 的顶点所在象限是 ． 【答案】第三象限 【思路引导】此题考查了解不等式组和二次函数的图像和性质，求出不等式组的解集，根据不等式组有解．先求出不等式组的解集，得到a的范围，求出二次函数的顶点的横坐标和纵坐标，即可得到答案． 【规范解答】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集是， ∴， 解得， ∴二次函数的顶点的横坐标为，顶点的纵坐标为， ∴关于的二次函数的顶点所在象限是第三象限， 故答案为：第三象限 13．（24-25八年级下·重庆江北·期末）已知抛物线的顶点在轴上，当时，函数值的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】先根据顶点在轴上求出的值，再分析抛物线的性质，结合给定的的取值范围，确定函数值的取值范围．本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点坐标、对称轴、开口方向以及函数最值的求法是解题的关键． 【规范解答】解：抛物线的顶点坐标为． ∵顶点在轴上，轴上的点纵坐标为 ∴，解得． ∴抛物线解析式为，其对称轴为，开口向上． 当时，有最小值； 当时，； 当时，． ∵在中，时最小为，时最大为 ∴函数值的取值范围是． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是 ． 【答案】2或6 【思路引导】本题主要考查了抛物线的平移，解题关键是正确掌握平移的规律． 根据抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点，即可求解． 【规范解答】解：由抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点， 得或6． 故答案为：2或6. 15．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．有以下结论：①； ②；③；④；⑤．其中正确的序号有 ． 【答案】①②④⑤ 【思路引导】本题考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线开口方向得到，由抛物线的对称轴方程得到，由抛物线与y轴的交点位置得到，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴交点个数得到，则可对②进行判断；利用对称轴可对③进行判断；利用时函数值为正数可对④进行判断；利用结合可对⑤进行判断． 【规范解答】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， 所以③错误； ∵抛物线开口向下，是对称轴，所以对应的y值是最大值， ∴，所以④正确． 当时对应的函数图象在x轴下方，即， ∴， 而， ∴，故⑤正确； 所以，正确的结论是①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 16．（2021·浙江衢州·二模）一个不透明的袋中有四张形状大小质地完全相同的卡片，它们上面分别标有数字、、、随机抽取一张卡片，把上面的数字记为，则恰好使得抛物线的对称轴在轴左侧，且双曲线经过二、四象限的概率是 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，求概率．先根据二次函数的性质，反比例函数的性质求出a的取值范围，进而根据概率公式计算即可． 【规范解答】解：∵恰好使得抛物线的对称轴在轴左侧， ∴， 解得， ∵双曲线经过二、四象限， ∴， 解得， ∴， 、、、中只有、符合要求， ∴概率是． 故答案为：． 17．（2022·四川成都·三模）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数，某同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），下列结论正确的有 ．（填序号） ①图象具有对称性，对称轴是直线； ②当或时，函数值y随x值的增大而增大； ③当或时，函数最小值是0； ④当时，函数有最大值是4； ⑤该函数与的图象有四个交点，则m的范围为． 【答案】①②③⑤ 【思路引导】本题考查了二次函数的图象和性质，绝对值函数，解一元二次方程． 观察图象即可判断①④⑤是否正确，令可得，求出函数与x轴的交点，即可判断②，进而结合函数图象可判断③． 【规范解答】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线，故①正确； 令可得， ∴， ∴， ∴和是函数图象与x轴的交点坐标， 又∵对称轴是直线， ∴当或时，函数值y随x值的增大而增大，故②正确； 由图象可知和是函数图象的最低点，则当或时，函数最小值是0，故③正确； 由图象可知，当时，函数值随x的减小而增大，当时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值， 故当时的函数值4并非最大值，故④错误， 由图象可知，当交函数交于函数顶点下方，x轴上方时，有四个交点， 当时 ∴该函数与的图象有四个交点，则m的范围为，故⑤正确， 故答案为：①②③⑤ 18．（2022·山东日照·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点．若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图象于点，则面积的最大值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义、二次函数的性质，根据三角形面积得到二次函数的解析式是解题的关键． 根据待定系数法求得反比例函数解析式，由题意可得点C的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可． 【规范解答】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数， ∵点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点， ∴，即， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点为线段上的一个动点， 设，其中， ∵轴， ∴， ∴， ∵中边上的高为点到的距离，即点的横坐标， ∴的面积为：， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为． 故答案为： ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，顶点为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如果不同的两个点，在这个函数图像上，求的值． 【答案】(1) (2)2 【思路引导】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）由抛物线的顶点坐标即可求解； （2）由题意知，C、D两个点关于抛物线的对称轴对称，由此即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意知，解得：， ∴； 把点代入上式中，得：， 解得：， ∴； （2）解：∵点，在这个函数图像上，且纵坐标相等， ∴这两个点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴． 20．（本题6分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）2025年我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的纪录，商家推出A、B两款“哪吒”纪念品，已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ (2)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】(1)A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元 (2)；W的最大值为4500元 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【规范解答】（1）解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）解：由题意得， ， ∵，， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 21．（本题8分）（2025·宁夏银川·三模）如图①，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C． (1)求二次函数的关系式及点C的坐标； (2)如图②，若点P是直线上方的抛物线上一点，过点P作轴交AB于点D，轴交AB于点E，求的最大值． 【答案】(1)，点C的坐标为 (2)的最大值为 【思路引导】本题考查了二次函数的性质，考查了待定系数法求二次函数解析式，考查了二次函数与x轴交点坐标，以及二次函数最值的应用．解题的关键在于熟练运用函数交点、待定系数法及二次函数性质，同时能够灵活应用几何图形中的平行关系，将复杂问题转化为基本的数学模型进行求解． （1）先求出一次函数与x轴、y轴交点A、B的坐标，再将A、B代入二次函数解析式，通过解方程组得到b和c的值；之后令二次函数，解一元二次方程得到与x轴的另一个交点C的坐标； （2）对于的最大值，先设出点P的坐标，根据轴得到E点坐标，进而表示出的长度；再结合，建立与的数量关系，将转化为关于P横坐标的二次函数，利用二次函数性质求最大值． 【规范解答】（1）解：令，则，解得， 一次函数与x轴交点A的坐标为， 令，则， 一次函数与y轴交点B的坐标为， 二次函数经过两点， ∴将代入得： 解得， 二次函数关系式为， 令，即， 解得， 点坐标为， 点C的坐标为． （2）设点P坐标并表示的长度 设点（）， 轴，E点横坐标与P相同为m， ， ， 轴， ， ， ， ， ,， ， ， ， 当时，的最大值为． 22．（本题8分）（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，设该抛物线的函数表达式为，再把把代入，进行计算，即可作答． （2）先设，再分别表示，则灯带总长度，再结合二次函数的性质进行分析，即可作答． 【规范解答】（1）解：依题意，， 故设该抛物线的函数表达式为， ∵距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度， 即， 把代入，得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵该抛物线的函数表达式为， ∴设， 则， ∵灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为， ∴， ∴灯带总长度， ∵， ∴当时，灯带总长度有最大值， 即， 故的长为． 23．（本题8分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元． 市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设该水果批发商每箱苹果的销售单价为元()． (1)求平均每天销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售单价（元/箱）之间的函数关系式？ (3)当每箱苹果的销售单价定为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当每箱苹果的销售单价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元 【思路引导】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据价格每提高1元，平均每天少销售3箱，列出一次函数解析式即可； （2）根据总利润等于单箱利润乘以销量，列出二次函数关系式即可； （3）根据二次函数的性质，求最值即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得，即； （2）由题意，得． （3）， ∵， ∴当时，随着的增大而增大， ∵ ∴当=55元时，w的最大值为1125元． ∴当每箱苹果的销售单价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元． 24．（本题8分）（2025·江西赣州·一模）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线、攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知，． 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为、水平距离s（水平距离水平速度时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表．守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … 9 12 15 18 21 … … 5 … (1)求h关于s的函数表达式． (2)若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． (3)求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 【答案】(1) (2)若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由见解析； (3) 【思路引导】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解表格中的数据求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）计算出当时h的值即可得到答案； （3）当守门员刚好接到球时，则，求出此高度下s的值，进而求出球运动的时间，进而求出守门员运动的最小路程，即可求出最小速度． 【规范解答】（1）解：由表格中的数据可知当和当时，h的值相同， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴h关于s的函数表达式为； （2）解：若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由如下： 在中，当时，， ∵， ∴若守门员选择原地接球，不能防守成功； （3）解：当守门员刚好接到球时，则， 把代入中得：， 解得， ∴此时球的飞行时间为， ∴守门员选择面对足球后退，能够防守成功，那么运动员在内肯定要到达能够刚好接球的位置，即守门员在内的路程要大于等于， ∴守门员的速度要大于等于， ∴守门员的最小速度为． 25．（本题10分）（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）【综合与实践】某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据： （米） 0 1 2 3 4 （米） (1)在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象； (2)若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______，并求与函数表达式； (3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)米，见解析 【思路引导】本题属于二次函数的应用，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型． （1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可； （2）根据函数图象可知水柱最高点距离湖面的高度为米，即，设函数表达式为，先由图1得到函数顶点为，再将代入计算即可； （3）根据二次函数图象解析式设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可. 【规范解答】（1）解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示： （2）解：由图1，可得函数顶点为， 水柱最高点距离湖面的高度为米， ， 根据图象可设二次函数的解析式为：， 将代入， 解得， 抛物线的解析式为：； 故答案为：，； （3）解：设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：， ∵已知游船顶棚宽度为3米，抛物线对称轴为直线， ∴顶棚交抛物线轴于， ∵顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米， ∴此时纵坐标的值不小于， ， 解得， 水管高度至少向上调节米， （米）， 公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约米才能符合要求． 26．（本题10分）（24-25九年级上·广东中山·期中）抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)；最大值为 (3)或或 【思路引导】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由题意可知，，，进而可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； （）分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别画出图形，利用平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【规范解答】（1）解：把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：若点的横坐标为，则，， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：①当为平行四边形的边，点在对称轴右侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 又∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设点，则， 解得 或（不合，舍去）， 当时，， ∴ ， ∴； ②当为平行四边形的边，点在对称轴左侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 同理①可证， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 设点，则， 解得或（不合，舍去）， 当时，， ∴， ∴ ③当为平行四边形的对角线时，如图，设的中点为， ∵，， ∴， ∵点在对称轴上， ∴点的横坐标为， 设点的横坐标为，根据中点公式得， ∴， 把代入，得， ∴， ∵， ∴点在轴上， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $