第5章 二次函数（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年苏科版数学九年级下册优选题练习卷

2025-2026学年苏科版数学九年级下册章节复习检测培优卷 第5章 二次函数 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．（本题2分）（2025·河南郑州·模拟预测）二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： 且当时，与其对应的函数值，则下列说法正确的是（   ） A．该二次函数图象的对称轴是直线 B．该二次函数的图象开口向上 C．该二次函数的图象与轴可能没有交点 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则可对选项进行判断；由于当时，，则抛物线的顶点在第四象限，从而得到抛物线开口向上，抛物线与轴有个交点，从而可对B、C选项进行判断；通过比较点和点到对称轴的距离，根据二次函数的性质得到，于是可对D选项进行判断． 【规范解答】解： 抛物线经过，， 抛物线的对称轴为直线，所以选项A不符合题意； 当时，， 抛物线的顶点在第四象限， 抛物线开口向上，所以选项B符合题意； 抛物线与轴有个交点，所以C选项不符合题意； 点到直线的距离大于点到直线的距离， 而抛物线开口向上， ，所以D选项不符合题意． 故选：B． 2．（本题2分）（2024·广东·模拟预测）抛物线的顶点为，与x轴的两个交点分别为B，C，若是等边三角形，则c的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】如图所示，过点A作轴于点D，首先求出，，然后根据等边三角形的性质得到，勾股定理求出，得到，，然后待定系数法求出抛物线表达式，进而求解即可． 【规范解答】解：如图所示，过点A作轴于点D， ∵抛物线的顶点为， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴设抛物线表达式为， 将代入得，， 解得， ∴抛物线表达式为， ∴． 故选：D． 【考点剖析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴交点问题，等边三角形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（本题2分）（2021·辽宁盘锦·一模）如图， 已知抛物线的图象与轴交于、两点， 其对称轴与轴交于点，其中、两点的横坐标分别为和，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【思路引导】本题考查二次函数的图象和性质，重点考查二次函数系数符号与图象的关系，熟记二次函数图象性质是解题的关键．根据开口方向、对称轴、与轴交点即可分别判断符号，进而判断A选项；由两点的横坐标分别为和可得两个方程，判断B选项；由当时判断C选项；由二次函数对称轴及增减性判断D选项． 【规范解答】∵开口向下，与轴交点在正半轴， ∴， ∵两点的横坐标分别为和 ∴， ∴， ∴，故A选项正确，B选项错误； ∵两点的横坐标分别为和 ∴点横坐标为， ∴当时，，故C选项正确； ∵当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，故D选项正确； 故选：B． 4．（本题2分）如图，点Q是圆O直径上一点，，且，动点P从A出发，逆时针沿运动一周，记面积为y，P点的运动路程为x，则对应的函数图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查切线的性质、圆的基本性质、二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握切线的性质、圆的基本性质、二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；通过分析点P在圆上逆时针运动过程中面积的变化情况，结合面积的最值以及面积变化的特点来判断函数图象． 【规范解答】解：由图可知：， ∴， 随着点P在圆上逆时针运动，则当点P与点C重合时，所以，但此时不是面积的最大值； 向下平移直线，得到直线，当与圆O相切于点H时，停止平移， 所以当点P运动到与H重合时，面积达到最大，如图所示，此时排除A、B选项； ∵的面积变化不是随点P的运动成一定确定速度变化的， ∴选项C符合题意； 故选C． 5．（本题2分）（2022·四川德阳·模拟预测）如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是，则以下结论：抛物线的图象的对称轴一定是轴；当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大；直线中，如果发生变化，的长度可以等于；随着的值变化，有可能成为等边三角形；当时，．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一排除即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【规范解答】解：由抛物线，得顶点坐标为，对称轴一定是轴，本结论正确； 根据图象得：直线中随着的增大而增大；抛物线，当时随着的增大而增大， ∴当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大，本结论正确； 点的横坐标是，点的横坐标是，若， ∴直线与轴平行，即， ∴与已知矛盾， ∴不可能为，本结论错误； ∵， ∴直线与轴平行，即， ∴与已知矛盾， ∴，即不可能为等边三角形，本结论错误； 直线与关于轴对称，如图所示： 设直线与抛物线交点横坐标分别为，， 由图象可得：当时，，即，本结论正确； 综上可得正确的结论有． 故选：B． 6．（本题2分）（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，抛物线与交于点，过点A作轴的平行线，分别交两抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点．则下列结论：①；②；③为等腰直角三角形；④当时，．其中结论正确的是（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．把点坐标代入，求出的值，即可判断①；得到函数解析式，将代入中，求出点的横坐标，然后求出点的坐标即可求出和的长，从而判断②；求出、、的长，可判断③；求出两个二次函数图象另一个交点坐标，结合图象即可判断④． 【规范解答】解：抛物线与交于点， ， 解得：，故①正确； 将代入中，得 ， 解得：，， ∴点的坐标为， ， 是抛物线的顶点， ， ， ，故②错误； ∵点是抛物线的顶点， ， ，，， ∴ 不是等腰直角三角形，故③错误； 联立， 解得：或， ∴两个抛物线的交点为和， 由图象可知：当时，，故④错误． 故选：A． 7．（本题2分）（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的结论个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【思路引导】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由图象开口方向判断出的正负，由对称轴和开口方向得出的正负，由抛物线与轴的交点判断的正负，由抛物线与轴交点的个数确定，再结合抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】解：①抛物线开口向下， ， 对称轴直线， 即， 抛物线交的正半轴， ， ， 所以①错误； ②抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间． 由图象知当时，， ， ， ， 所以②正确； ③抛物线顶点坐标为， 抛物线与直线有唯一一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ， ， ， 因此③正确； ④由图象可得时，为最大值， ，即， 所以④错误． 综上所述，正确的结论有②③，共2个， 故选：． 8．（本题2分）（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标． 根据二次函数图象的开口方向，顶点的位置、与轴交点的位置可对的符号进行判断，进而可对结论进行判断；根据抛物线的对称轴及与x轴的交点可对二次函数图象上的点的位置进行判定，进而可对结论进行判断；根据二次函数的图象与轴的两个交点坐标可对结论，结论进行判断，据此可得出此题的答案． 【规范解答】解：二次函数图象的开口向上， ， 二次函数图象的顶点在第三象限， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点在轴的负半轴上， ， ，故结论正确，符合题意； 对于，当时，， 点在二次函数的图象上， 二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 二次函数的图象与轴的另一个交点为， 点在轴下方的抛物线上， ，故结论正确，符合题意； 二次函数的图象与轴的两个交点坐标分别为，， ，消去得：，故结论正确，符合题意； 二次函数图象的开口向上，与轴的两个交点坐标分别为，， 当时，二次函数图象的在轴的下方， ，即：，故结论错误，不符合题意； 综上所述：结论正确， 故选：． 9．（本题2分）（2024·广东·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路引导】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数性质以及二次函数与方程及不等式的关系．根据图象开口向下，对称轴为直线可得抛物线与x轴另一交点坐标在，之间，结合图象从而判断①正确；由对称轴为直线可得，代入即可判断②正确；由抛物线顶点坐标为，得到有两个相等实数根，可得，从而判断③正确；由函数最大值为结合函数图象可得有两个不相等的实数根，可判断④错误． 【规范解答】解：∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵图象与x轴的一个交点在和之间， ∴图象与x轴另一交点在，之间， ∴时，， 即， 故①正确，符合题意； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， 即， 故②正确，符合题意； ∵抛物线顶点坐标为， ∴有两个相等实数根， 即方程有两个相等实数根， ∴， ∴ 故③正确，符合题意； ∵的最大函数值为， ∴有两个不相等的实数根， 故④错误，不符合题意． 故选：B 10．（本题2分）（2025·四川泸州·模拟预测）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为(　　) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【思路引导】本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，理解互为相关函数的定义是解题的关键，本题是选择题使用排除法更简单．求出二次函数的相关函数的解析式，结合图像分析选项中的几个关键点，，再解方程结合图象判断即可． 【规范解答】二次函数的相关函数为， 大致函数图像如下： 如图1所示，当线段与二次函数的相关函数的图象有1个公共点时， ∵二次函数的对称轴为 ， ∴当时，，则 解得， 如图2所示，当线段与二次函数的相关函数的图象有3个公共点时， ∵抛物线与轴交点纵坐标为1， ∴，解得； ∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象有2个公共点； 如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象有3个公共点， ∵二次函数经过点， ∴， 如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象有2个公共点， ∵抛物线y=经过点， ∴，解得 ， ∴时，线段与二次函数的相关函数的图象有个公共点． 综上所述，的取值范围是或． 故选：C． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）一个函数的图象关于轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．若二次函数是“偶函数”，该函数的图象与轴交于点和点，顶点为，则的面积是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了二次函数综合，根据题意可得二次函数关于y轴对称，则对称轴为y轴，根据对称轴计算公式可推出函数解析式，进而可求出点A，点B和点P的坐标，再根据列式求解即可． 【规范解答】解：∵二次函数是“偶函数”， ∴二次函数关于y轴对称， ∴二次函数的对称轴为y轴， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∴顶点P的坐标为， 在中，当时，， ∴（不妨设点A在点B左边）， ∴， 故答案为：． 12．（本题2分）如图所示，抛物线经过、、，则关于x的一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【思路引导】本题考查了求抛物线与x轴的交点问题，根据抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，设另一个交点为，可得，解得x的值即可． 【规范解答】解：设抛物线与的另一个交点坐标为， ∵抛物线与的两个交点到对称轴的距离相等， ∴， 解得， ∴关于x的一元二次方程的根是，． 故答案为：，． 13．（本题2分）已知抛物线（为常数，且），当时，该抛物线对应的函数值有最大值，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查二次函数的图象及其性质，二次函数的最大值． 由二次函数的解析式可得顶点坐标和开口方向，根据的取值范围，对顶点横坐标的取值范围进行分段讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴ 顶点为，开口向下， ∵ ， 若，则抛物线的最大值为，不符合题意， 若，则当时，抛物线取最大值， ∴，， 解得， ∴的值为． 故答案为：． 14．（本题2分）（2023九年级下·安徽宣城·竞赛）已知抛物线，若点，在抛物线上，均有，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次函数的图象和性质，由抛物线的解析式可得抛物线开口向下，对称轴是直线，即得到抛物线上的点离对称轴的距离越小，函数值越大，进而得到，解不等式求出的最大值与最小值即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越小，函数值越大， ∵点，在抛物线上，均有， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的最大值与最小值分别为和， ∴的最大值与最小值的和是， 故答案为：． 15．（本题2分）（2025·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，若随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 由二次函数的图象经过，，可得其对称轴是直线，结合图象开口向下，从而当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，进而可以判断得解． 【规范解答】解：二次函数的图象经过，， 对称轴是直线． 又结合图象开口向下， 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 若y随x的增大而减小，则． 故答案为：． 16．（本题2分）（2023九年级下·全国·竞赛）若二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，，且，图象上有一点在轴下方，则下列说法：①；②是方程的解；③；④；⑤或。其中正确的有 ． 【答案】 【思路引导】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，二次函数图象与轴的交点问题． 根据抛物线与轴有两个不同的交点，可判断，根据二次函数与一元二次方程的关系，可判断，再分和两种情况，可判断，根据轴下方的点的坐标特征，可判断． 【规范解答】解：根据题意可知，二次函数的图象与轴有两个交点， ∴， ∴正确， ∵点在二次函数的图象上， ∴当时，， ∴是方程的解， ∴正确， 当时，二次函数的图象开口向下， ∵二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，，且，图象上有一点在轴下方， ∴或， ∴不正确， ∵二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，， ∴， ∵二次函数的图象上有一点在轴下方， ∴，且， ∴， ∴正确， 当时，二次函数的图象开口向上， ∵二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，，且，图象上有一点在轴下方， ∴， ∴不正确， ∴正确的有． 故答案为：． 17．（本题2分）（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象如图所示，与x轴的交点分别为，，且函数与y轴交点在的下方，现给以下结论：①；②；③；④当时，y的取值范围是．则下列说法正确的是 ． 【答案】①②④ 【思路引导】先根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴交点等信息，确定、、的符号及相关系数关系，再逐一分析各个结论． 【规范解答】解：∵二次函数图象开口向上， ∴． ∵对称轴，， ∴． ∵函数与轴交点在下方， ∴． ∴，故①正确． ∵二次函数与轴交点为，， ∴对称轴， ∴．． ∴． ∵，即， ∴，故②正确． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴， 故③错误． 对称轴（）， 当时，． 当时，． 当时，最小值为，最大值为， ∴，故④正确． 故答案为：①②④ ． 【考点剖析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴交点及函数值取值范围的确定方法是解题的关键． 18．（本题2分）（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，．反比例函数的图象与，交于点，连接，，则当的面积最大时，的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了反比例函数的几何应用，矩形的性质，二次函数的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质得点的坐标为，则，，可得，，进而根据三角形的面积公式得到，最后根据二次函数的性质解答即可求解，掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大， 故答案为： 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（2025·云南·模拟预测）已知关于x的二次函数 (1)若函数图象经过点 ，求m的值． (2)若抛物线与x轴交于两个不同的点，且这两个点的横坐标均为整数，m为负整数，点 与 在抛物线上（点P，Q不重合），且 求代数式 的最小值． 【答案】(1) (2)原式的最小值为 【思路引导】本题考查了二次函数坐标特点，二次函数与x轴交点情况，二次函数对称轴，二次函数最值，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）将点 代入函数解析式求解，即可解题； （2）根据题意先求出m的值，得到二次函数解析式，再结合二次函数对称轴推出，结合对式子 进行整理得到，最后利用二次函数最值情况求解，即可解题． 【规范解答】（1）解：把代入 得， 解得 （2）解：令，则有， 解得或 ∵抛物线与x轴交于两个不同的点，且这两个点的横坐标均为整数，m为负整数， ∴， ∴抛物线为 ∵点 P，Q在抛物线上，且 即 ∴ ∴原式的最小值为． 20．（本题6分）（2024·湖北·模拟预测）某网店销售一款市场上畅销的健身器材壶铃，进价为每个20元，在销售过程中发现，这款壶铃销售单价为30元时，每天卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每天少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． (1)请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价是多少元时，该网店每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价是50元时，该网店每天的销售利润最大，最大利润是1800元 【思路引导】本题主要考查了列一次函数和二次函数解决销售问题和盈利问题，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质． （1）设销售单价为x元，每天销售量为y个，根据题意列出一次函数解析式即可； （2）假设销售利润为，根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设销售单价为x元，每天销售量为y个，根据题意得， ； （2）解：假设销售利润为，根据题意得， ， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下，顶点为最高点，顶点横坐标处取最大值， 此时，， 则（元）， 所以，当销售单价是50元时，该网店每天的销售利润最大，最大利润是1800元． 21．（本题8分）（2024·湖北·一模）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价为m元件（m为常数，且），售价为8元件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价为12元件，售价为20元件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x件）满足关系式． (1)若产销A，B两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出与x的函数关系式； (2)分别求的最大值； (3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．［利润（售价成本）产销数量专利费］ 【答案】(1) (2)的最大值为，的最大值为1420 (3)当时，选A产品；当时，选A产品或B产品均可；当时，选B产品 【思路引导】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题中所给的利润计算公式求解即可； （2）根据（1）中的函数解析式进行求解即可； （3）比较（2）中所求A、B两种产品的最大利润并分情况讨论即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由题意得，， ； （2）解：∵， ∴， 由题意得， ∴当时，最大， ∴ ， 在中，， ∴抛物线开口向下， ∴顶点横坐标， 又∵B产品每日最多产销300件， ∴当时，最大，最大为； （3）解：当时， 解得， ∵， ∴当时，A产品的最大利润更大，选A 产品； 当时， 解得，此时 A、B 产品利润相等，两种产品均可以选择； 当时， 解得， ∵， ∴时，B产品的最大利润更大，选B 产品． 22．（本题8分）如图所示是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐标系上的示意图，点和，点和分别关于轴对称．隧道拱形部分为一段抛物线，最高点离路面的距离为8m，点离路面的距离为6m，隧道宽为16m． (1)求隧道拱形部分的函数解析式； (2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4m，装载设备的顶部离路面的距离7m，问；它能否安全通过这个隧道？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【思路引导】此题考查了待定系数法求解一元二次函数解析式和二次函数的实际应用，中等难度，熟悉二次函数的性质是解题关键. （1）求出B，C的坐标，待定系数法即可解题； （2）利用货车的宽度求出此时允许通过的最大高度进行比较即可解题. 【规范解答】（1）由已知得． 故． 设抛物线对应的函数表达式为， 将B点坐标代入，得 ， 解得， 所以． （2）能．若货车从隧道正中行驶，则其最右边到y轴的距离为． 如图，设抛物线上横坐标为2的点为点D，过点D作于点E． 当时，，即， 所以．　 因为，所以该货车能安全通过这个隧道． 23．（本题8分）（2025·山西长治·二模）阅读下列材料，并完成相应的任务． 用刻度尺测量抛物线的开口大小 用两把有刻度的直尺可以测量抛物线的开口大小（开口大小即抛物线表达式中二次项系数的绝对值）． 具体方法：如图1所示，将直尺水平放置，将直尺与其垂直放置并且有刻度的一边经过抛物线的顶点，测量抛物线的水平跨度和竖直跨度，设的长度为的长度为． ①将所得数据列表：      4 3 2 1 0 8 4.5 2 0.5 0 ②如图2所示，将表格中的点在图2中描出，并用光滑的曲线连接； ③求出与的函数关系式，即可确定抛物线的开口大小． 应用：如图3，利用直尺确定图中抛物线的开口大小． 先测得抛物线的水平跨度，竖直跨度，以抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，确定其函数表达式即可确定其开口大小． 任务： (1)将材料中具体方法部分的函数图象补充在图2中． (2)直接写出材料中应用部分抛物线的开口大小：_____． (3)已知抛物线与抛物线均经过线段，且，抛物线的开口向上，大小为2，两条抛物线的顶点到的距离和为6，请直接写出抛物线的函数表达式中二次项系数的值． 【答案】(1)作图见解析 (2)3 (3)4或 【思路引导】本题主要考查了画二次函数的图象，求二次函数关系式， 对于（1），根据描点，连线可得图象； 对于（2），将点的坐标代入关系式求出a即可； 对于（3），先设，再根据题意可知，然后根据两条抛物线经过点，可得，接下来根据两条抛物线的顶点到的距离和是6可得，即可求出，最后根据抛物线的对称性解答即可. 【规范解答】（1）解：如图所示； （2）解：设抛物线的关系式为， ∵抛物线经过点，得， 解得， 故答案为：3； （3）解：设， 根据题意可知，设两条抛物线经过点， ∴， 即. ∵两条抛物线的顶点到的距离和是6， ∴， 即， 解得. 根据抛物线的对称性可得也符合题意. 所以抛物线的函数表达式中二次项系数为4或. 24．（本题8分）（2025·江苏苏州·模拟预测）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】 一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图． 【解决问题】 已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面．过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【拓展应用】 该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题： （3）如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值． （4）在（3）的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由见解析；（3）的最大值为：20.5m；（4）旋转角的度数为或或 【思路引导】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，旋转的性质． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知得出当时，正好是厢式货车宽度，求出即可； （3）首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出； （4）根据题意，画出符合条件的三角形，根据旋转的性质分三种情况求解即可． 【规范解答】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 代入顶点式得：， ∴， 解得：， ∴； （2）厢式货车能顺利通过隧道，理由如下： 当宽、高的厢式货车从隧道驶过时， ∴， ∴代入解析式得：； ∴， ∴厢式货车能顺利通过隧道； （3）假设，可得， ∴； ∵矩形的周长为l， ∴， ∴当时，l的最大值为：； （4）在（3）的条件下，当矩形周长最大时，，，， ∴，， 过点P作于点M， ∵， ∴，， ∴，， 如图，分以下三种情况： 当时，根据旋转的性质得， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； 当时，； 当时，； 综上所述，旋转角的度数为或或． 25．（本题10分）（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），其顶点为是抛物线第四象限上一点． (1)求点的坐标及线段的长； (2)当时，若的面积与的面积相等，求的值； (3)在（）的条件下，将原抛物线向右平移，使得平移后的抛物线经过点，过点作轴的垂线，已知在直线的右侧，平移前后的两条抛物线都递减，请直接写出的范围． 【答案】(1)，， (2) (3) 【思路引导】（）把代入，求出的值可得点的坐标，进而可求出的长； （）把代入二次函数解析式可得，即得，设 ，可得，再利用待定系数法可得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点，则，可得，由的面积与的面积相等，可得，即可得，过点作于点，最后根据正切的定义即可求解； （）设平移后的抛物线解析式为，可得平移后的抛物线解析式为，再画出函数图象解答即可求解． 本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的几何应用，二次函数图象的平移及性质，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【规范解答】（1）解：把代入，得， ∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴； （2）解：当时，抛物线， ∴， 设 ， 则， 设直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点，则， ∴， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得（不合，舍去）或， ∴， 过点作于点，则，， ∴； （3）解：设平移后的抛物线解析式为， 把代入得，， 解得（不合，舍去）或， ∴平移后的抛物线解析式为， 画函数图象如下： 由函数图象可知，当时，平移前后的两条抛物线都递减． 26．（本题10分）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)或或； (3)，，，． 【思路引导】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与面积的综合、二次函数与矩形的综合、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：过E作轴，交直线于点F，交x轴于点H，设点E的坐标为，根据已知条件可得、、，再求得直线的解析式为，则点F的坐标为，；再根据求得，然后分两种情况求得m的值即可解答； （3）由题意可得对称轴为，设，结合分为矩形的对角线、为矩形的边、为矩形的对角线三种情况，分别根据矩形的对角线相互平分以及一个角为直角的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：∵在抛物线， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图：过E作轴，交直线于点F，交x轴于点H， 设点E的坐标为， ∵，矩形， ∴， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴点F的坐标为， ， ∴ ， ， ∴， ∴， ①时，整理得：， 解得：或， ∴点E的坐标为或． ②时，整理得：， 解得：或（不合题意、舍弃）， ∴点E的坐标为； 综上，点E的坐标为或或． （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 设，， ①如图：当为矩形的对角线， 由中点坐标公式得： ，解得：， 又∵， ∴， ∴， 解得：或4， ∴或 ∴，； ②如图：当为矩形的边时， 由中点坐标公式得： ，解得：， 又∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； ③若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：，， ，解得：， 又∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 综上，点Q的坐标为，，，． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版数学九年级下册章节复习检测培优卷 第5章 二次函数 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.42 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．（本题2分）（2025·河南郑州·模拟预测）二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： 且当时，与其对应的函数值，则下列说法正确的是（   ） A．该二次函数图象的对称轴是直线 B．该二次函数的图象开口向上 C．该二次函数的图象与轴可能没有交点 D． 2．（本题2分）（2024·广东·模拟预测）抛物线的顶点为，与x轴的两个交点分别为B，C，若是等边三角形，则c的值为（   ） A． B． C． D． 3．（本题2分）（2021·辽宁盘锦·一模）如图， 已知抛物线的图象与轴交于、两点， 其对称轴与轴交于点，其中、两点的横坐标分别为和，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D．当时，随的增大而减小 4．（本题2分）如图，点Q是圆O直径上一点，，且，动点P从A出发，逆时针沿运动一周，记面积为y，P点的运动路程为x，则对应的函数图象是（   ） A． B． B． C． D． 5．（本题2分）（2022·四川德阳·模拟预测）如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是，则以下结论：抛物线的图象的对称轴一定是轴；当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大；直线中，如果发生变化，的长度可以等于；随着的值变化，有可能成为等边三角形；当时，．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 6．（本题2分）（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，抛物线与交于点，过点A作轴的平行线，分别交两抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点．则下列结论：①；②；③为等腰直角三角形；④当时，．其中结论正确的是（ ） A． B． C．3 D． 7．（本题2分）（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的结论个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（本题2分）（2024·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（本题2分）（2024·广东·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．（本题2分）（2025·四川泸州·模拟预测）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为(　　) A．或 B．或 C．或 D．或 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）一个函数的图象关于轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．若二次函数是“偶函数”，该函数的图象与轴交于点和点，顶点为，则的面积是 ． 12．（本题2分）（20-21九年级下·黑龙江·开学考试）如图所示，抛物线经过、、，则关于x的一元二次方程的根是 ． 13．（本题2分）已知抛物线（为常数，且），当时，该抛物线对应的函数值有最大值，则的值为 ． 14．（本题2分）（2023九年级下·安徽宣城·竞赛）已知抛物线，若点，在抛物线上，均有，则的最大值与最小值的和为 ． 15．（本题2分）（2025·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，若随的增大而减小，则的取值范围是 ． 16．（本题2分）（2023九年级下·全国·竞赛）若二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，，且，图象上有一点在轴下方，则下列说法：①；②是方程的解；③；④；⑤或。其中正确的有 ． 17．（本题2分）（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象如图所示，与x轴的交点分别为，，且函数与y轴交点在的下方，现给以下结论：①；②；③；④当时，y的取值范围是．则下列说法正确的是 ． 18．（本题2分）（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，．反比例函数的图象与，交于点，连接，，则当的面积最大时，的值为 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（2025·云南·模拟预测）已知关于x的二次函数 (1)若函数图象经过点 ，求m的值． (2)若抛物线与x轴交于两个不同的点，且这两个点的横坐标均为整数，m为负整数，点 与 在抛物线上（点P，Q不重合），且 求代数式 的最小值． 20．（本题6分）（2024·湖北·模拟预测）某网店销售一款市场上畅销的健身器材壶铃，进价为每个20元，在销售过程中发现，这款壶铃销售单价为30元时，每天卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每天少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． (1)请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价是多少元时，该网店每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 21．（本题8分）（2024·湖北·一模）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价为m元件（m为常数，且），售价为8元件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价为12元件，售价为20元件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x件）满足关系式． (1)若产销A，B两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出与x的函数关系式； (2)分别求的最大值； (3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．［利润（售价成本）产销数量专利费］ 22．（本题8分）如图所示是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐标系上的示意图，点和，点和分别关于轴对称．隧道拱形部分为一段抛物线，最高点离路面的距离为8m，点离路面的距离为6m，隧道宽为16m． (1)求隧道拱形部分的函数解析式； (2)现有一大型货车，装载某大型设备后，宽为4m，装载设备的顶部离路面的距离7m，问；它能否安全通过这个隧道？请说明理由． 23．（本题8分）（2025·山西长治·二模）阅读下列材料，并完成相应的任务． 用刻度尺测量抛物线的开口大小 用两把有刻度的直尺可以测量抛物线的开口大小（开口大小即抛物线表达式中二次项系数的绝对值）． 具体方法：如图1所示，将直尺水平放置，将直尺与其垂直放置并且有刻度的一边经过抛物线的顶点，测量抛物线的水平跨度和竖直跨度，设的长度为的长度为． ①将所得数据列表：      4 3 2 1 0 8 4.5 2 0.5 0 ②如图2所示，将表格中的点在图2中描出，并用光滑的曲线连接； ③求出与的函数关系式，即可确定抛物线的开口大小． 应用：如图3，利用直尺确定图中抛物线的开口大小． 先测得抛物线的水平跨度，竖直跨度，以抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，确定其函数表达式即可确定其开口大小． 任务： (1)将材料中具体方法部分的函数图象补充在图2中． (2)直接写出材料中应用部分抛物线的开口大小：_____． (3)已知抛物线与抛物线均经过线段，且，抛物线的开口向上，大小为2，两条抛物线的顶点到的距离和为6，请直接写出抛物线的函数表达式中二次项系数的值． 24．（本题8分）（2025·江苏苏州·模拟预测）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】 一条公路上有隧道，隧道的纵截面为抛物线形状，且该隧道为同向两车道设计，中间标有行车道分隔线，标线宽度忽略不计，车辆不能压线行驶建立如图所示的直角坐标系，画出了隧道截面图． 【解决问题】 已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面．过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为，才能保证车辆安全通过．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）问厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【拓展应用】 该数学兴趣社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计两个问题： （3）如图，在抛物线内作矩形，使顶点，落在抛物线上，顶点，落在轴上设矩形的周长为，求的最大值． （4）在（3）的条件下，如图，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数． 25．（本题10分）（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），其顶点为是抛物线第四象限上一点． (1)求点的坐标及线段的长； (2)当时，若的面积与的面积相等，求的值； (3)在（）的条件下，将原抛物线向右平移，使得平移后的抛物线经过点，过点作轴的垂线，已知在直线的右侧，平移前后的两条抛物线都递减，请直接写出的范围． 26．（本题10分）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $