精品解析：陕西省神木中学2025-2026学年高二上学期第三次检测数学试题

神木中学2025~2026学年度第一学期第三次检测考试 高二数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分（不含附加题20分），时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的斜率不存在直接求解即可. 【详解】因为点，所以直线的斜率不存在，即轴， 故直线的倾斜角为． 故选：C． 2. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离 【答案】A 【解析】 【分析】根据两圆圆心距等于半径和判定两圆外切. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以，所以，所以两圆外切． 故选：A． 3. 下列结论中，正确的是（ ） A. 数列和数列是相同的数列 B. 数列的通项公式的形式是唯一的 C. 数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D. 数列不存在通项公式 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的定义判断AC；根据数列通项公式的概念举例判断BD. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，数列和数列是不同的数列，A错误； 对于B，数列的通项公式可以为，也可以为， 该数列通项公式不唯一，B错误； 对于C，由数列定义知，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，C正确； 对于D，该数列的通项公式可以为，错误． 故选：C 4. 设等差数列的前项和为，若，则等于（ ） A. 30 B. 50 C. 60 D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，由也成等差数列求解. 【详解】由等差数列的性质得：也成等差数列， ， ，解得． 故选：B． 5. 已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据焦半径公式求得，再将点的坐标代入求解即可. 【详解】，得， ∴抛物线的方程为， 再将点的坐标代入，得． 故选：A． 6. 已知分别为双曲线的左､右焦点，点是双曲线上的一点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义结合，求得，再在中，利用勾股定理求得之间的关系，从而得解. 【详解】因为在双曲线中，因为，所以， 则，    在中，，， 所以，即，所以， 所以，则， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D 7. 在数列中，，则数列的前32项和为（ ） A. 625 B. 646 C. 674 D. 992 【答案】C 【解析】 【分析】由题设易得，数列的前项和为，进而结合各项的正负情况求解即可. 【详解】由，得， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 则， 数列的前项和为， 当时，，当时，， 则数列的前32项和为 . 故选：C 8. 聚光式太阳灶（如图1）广泛应用于我国西部农村地区.其轴截面图（如图2）中，点为抛物线的焦点，此处放置烧水壶，按照一般制作工艺，抛物线的顶点与焦点关于其外沿所在的平面对称.已知、两点间的距离为0.5米，则该太阳灶的最大口径（外沿所在圆的直径）大约为（ ） A. 1.2米 B. 1.4米 C. 1.6米 D. 1.8米 【答案】B 【解析】 【分析】将抛物线置于一个坐标系中，使得抛物线顶点在原点，焦点在轴上，根据所给数据求得抛物线方程，带入中点横坐标即可得解. 【详解】 建立坐标系，使得抛物线顶点在原点，焦点在轴上， 由、两点间的距离为0.5米， 设抛物线方程为， 则，所以，所以， 由中点横坐标为，即， ，所以， 所以弦长， 最大口径就是的长， 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. 为递减数列 C. 不等式的解集为有限集 D. 当且仅当时，有最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】计算判断A；举反例判断B；求出通项公式即可求解不等式判断C；根据数列项的符号求解最大值判断D. 【详解】根据题意，数列的前项和， 当时，有，故A正确； 当时， ， 对于B，，显然不满足为递减数列，故B错误； 对于C，显然，当时，，当且仅当， 则不等式的解集为，为有限集，故C正确； 对于D，由于， 所以当或4时，取得最大值，故D错误； 故选：AC． 10. 当变化时，方程表示的曲线形状，下列说法中正确的是（ ） A. 时，方程表示一条直线 B. 或是方程表示双曲线的充要条件 C. 时，方程表示椭圆 D. 该方程不可能表示抛物线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据的不同取值分别判断曲线形状即可. 【详解】对于A：当时方程为，所以此时曲线为直线，此时图像是一条直线，A正确； 对于B：方程可以化为， 当时方程为，表示焦点在轴上的双曲线， 当时方程为，表示焦点在轴上的双曲线，所以是充分条件； 若方程表示双曲线，则或，解得或者，所以是必要条件， 所以是充要条件，B正确； 对于C：方程可以化为，当时方程为，此时曲线为圆，C错误； 对于D：因为方程可以化为，所以不可能是抛物线，D正确， 故选：ABD （本题改编自选择性必修第一册第103页第19题） 11. 已知圆，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（ ） A. 圆关于轴对称的圆的方程为 B. 若反射光线与圆相切于点，与轴相交于点，则 C. 若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为 D. 若反射光线与圆交于两点，则面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由对称的性质直接求解判断A；由题意反射光线所在的直线过点，利用对称性及圆的性质求得，进而可得判断B；由题意可知入射光线所在的直线过点和，即可求出直线方程判断C；设，表示出弦长和弦心距，进而表示出面积，最后利用正弦函数性质求解最大值判断D. 【详解】对于A，由圆的方程可得，故圆心，半径， ∴圆关于轴对称的圆的圆心为，半径为1， ∴所求圆的方程为，即，故A正确； 对于B，反射光线经过点关于轴的对称点，，，故，故B不正确； 对于C，反射光线平分圆的周长，∴反射光线经过圆心， ∴入射光线所在直线经过点， ∴入射光线所在直线方程为：，即，故C正确； 对于D，设， 则圆心到直线的距离， ． 则当时，面积的最大值为，故D正确． 故选：ACD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的离心率为，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线方程求得，然后利用离心率公式列式求解即可. 【详解】由双曲线方程可得，则，所以， 又双曲线的离心率为，所以离心率，即，解得． 故答案为：2． 13. 从集合中取个元素，若这个元素的和不大于50，则的最大值为__________. 【答案】7 【解析】 【分析】记，则是首项为1，公差为2的等差数列，且为递增数列，要使最大，则中的元素从小到大依次取个，根据等差数列的前项和公式求解即可． 【详解】记， 则是首项为1，公差为2的等差数列，且为递增数列， 由题意，集合中取出个不同元素，它们的和， 要使最大，则中的元素从小到大依次取个， ∴， ∵，∴的最大值为7． 故答案为：7． 14. 已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用椭圆的定义可得出，分析可知当点为射线与椭圆的交点时，取最小值，即可得解. 【详解】设椭圆的左焦点为，由题知， ， ， ，当且仅当三点共线时等号成立， ， ， 则的最小值为2． 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知直线经过直线与的交点． （1）若直线平行于直线，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）联立方程组求得交点坐标，再根据直线平行求得直线斜率，进而由点斜式得直线方程； （2）根据截距是否为0分类讨论，再把点的坐标代入求解即可. 【小问1详解】 联立，得， 因为直线平行于直线，所以直线的斜率为2， 又直线经过交点，所以直线的方程为，即． 【小问2详解】 由题意，直线经过点且在轴和轴上截距相等， 可分两种情况讨论： ①截距都为0时，则直线过原点，且过点， 故直线的方程为，即． ②截距都不为0时，则可设直线的方程为， 由直线过点，得，解得， 故直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或． 16. 已知动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数. （1）求动点的轨迹； （2）过且斜率为1的直线交动点的轨迹于，两点，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据动点到定点的距离和它到定直线距离之比为常数，建立距离比的等式，化简即可； （2）已知直线过定点和斜率，可得直线方程，与双曲线联立得出关于的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和，两根之积，代入弦长公式即可求解. 【小问1详解】 设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是点的集合， 即. 将上式两边平方，并化简，得， 所以点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为、虚轴长为2的双曲线. 【小问2详解】 设点的坐标为，点的坐标为. 又直线过且斜率为1，联立， 得，此时， 由韦达定理可得， 因为， 所以. 17. 已知等差数列的公差，其前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列前n项和及通项公式基本量的运算求解即可； （2）先判断数列的单调性，然后利用单调性求解数列最大值即可求解. 【小问1详解】 由，可得，解得． 所以． 【小问2详解】 因为，且时，恒成立，所以， 因为时，，所以， 所以时，数列单调递减， 所以，所以，即实数的最小值为． 18. 已知椭圆的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点，且． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左､右顶点分别为，点是椭圆上的动点，且点与点不重合，直线与直线分别交于点，求证：以线段为直径的圆过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将代入椭圆方程结合离心率得到，再由离心率和关系，即可求解； （2）求出直线的斜率，，由点的椭圆上，得到为定值，求出坐标，证明即可. 【小问1详解】 由得，代入椭圆方程得， 又椭圆离心率为，所以，解得，得， 又，得，所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由题知，， 因为点是椭圆上的动点，所以，得， 设直线的斜率分别为，则， 所以，故， 所以直线，直线， 所以点， 由， 故以线段为直径的圆过定点． 19. 已知抛物线仅经过中的一点． （1）求抛物线的方程； （2）过原点作圆的两条切线，切点分别为，且恰在抛物线的准线上．求； （3）过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段，的中点分别为，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先根据对称性判定和都不在抛物线上，然后将点代入抛物线的方程即可求解； （2）先由题意四点共圆，求出该圆的方程，与圆相减得直线的方程，利用该直线为准线列方程即可求解； （3）设，设直线的方程为，与抛物线方程联立，韦达定理得，进而得，当时，得直线的方程为，过点．当时，，也过定点，即可证明． 【小问1详解】 根据抛物线的对称性，以及点关于轴对称， 可知点和要么都在上，要么都不在上， ∵抛物线只经过三个点中的一点，和都不在抛物线上． ∴点在上，将其坐标代入中，得， ∴抛物线的方程为． 【小问2详解】 由知，四点共圆，且该圆是以为直径的圆， 该圆的方程为， 与圆的方程相减，得直线的方程为， 恰在抛物线的准线上，，解得． 【小问3详解】 证明：由（1）知，设，则， 易知直线的斜率均存在，故设直线的方程为， 由消去整理得， 则， 用替换，得， 当时，， 则直线的方程为，即， 当时，． 当时，，此时直线过点． 故直线过定点． 附加题：本题共20分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 20. 已知双曲线C：的两条渐近线分别为：和：，右焦点坐标为，为坐标原点. （1）求双曲线C的标准方程； （2）设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是的中点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值； （3）直线与C的右支交于点，（A₁在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与C的右支交于点，（在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，…，这样一直操作下去，可以得到一系列点，，，记的坐标为.证明：共线. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，由双曲线的性质，列出关于的方程，计算即可求得方程； （2）设，，，利用点差法可证得结论； （3）设斜率为2且与双曲线右支相交于，两点的直线方程为，，与双曲线方程联立方程组，结合韦达定理代入计算，即可表示出直线的方程，以及直线的方程，然后联立两直线方程，即可表示出的坐标，即可证明. 【小问1详解】 由已知得 解得， 故双曲线C的标准方程为：； 【小问2详解】 设，，， 因为M，N为双曲线C上的两点，所以， 两式相减得：， 整理得，， 则，得证. 【小问3详解】 设斜率为2且与双曲线右支相交于，两点的直线方程为 ，， 联立：，整理得：， 因为该方程有两个正根，则，解得：或（舍）， 设，，由韦达定理得：，， 直线的方程为：， 因为，所以，① 直线的方程为， 因为，所以，② 联立①②得，， 所以， 因为， 所以， ， 所以， 则都在直线上， 故共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 神木中学2025~2026学年度第一学期第三次检测考试 高二数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分（不含附加题20分），时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离 3. 下列结论中，正确的是（ ） A. 数列和数列是相同的数列 B. 数列的通项公式的形式是唯一的 C. 数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D. 数列不存在通项公式 4. 设等差数列的前项和为，若，则等于（ ） A. 30 B. 50 C. 60 D. 70 5. 已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知分别为双曲线的左､右焦点，点是双曲线上的一点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在数列中，，则数列的前32项和为（ ） A. 625 B. 646 C. 674 D. 992 8. 聚光式太阳灶（如图1）广泛应用于我国西部农村地区.其轴截面图（如图2）中，点为抛物线的焦点，此处放置烧水壶，按照一般制作工艺，抛物线的顶点与焦点关于其外沿所在的平面对称.已知、两点间的距离为0.5米，则该太阳灶的最大口径（外沿所在圆的直径）大约为（ ） A. 1.2米 B. 1.4米 C. 1.6米 D. 1.8米 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. 为递减数列 C. 不等式的解集为有限集 D. 当且仅当时，有最大值 10. 当变化时，方程表示的曲线形状，下列说法中正确的是（ ） A. 时，方程表示一条直线 B. 或是方程表示双曲线的充要条件 C. 时，方程表示椭圆 D. 该方程不可能表示抛物线 （本题改编自选择性必修第一册第103页第19题） 11. 已知圆，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（ ） A. 圆关于轴对称的圆的方程为 B. 若反射光线与圆相切于点，与轴相交于点，则 C. 若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为 D. 若反射光线与圆交于两点，则面积的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的离心率为，则______． 13. 从集合中取个元素，若这个元素的和不大于50，则的最大值为__________. 14. 已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知直线经过直线与的交点． （1）若直线平行于直线，求直线的方程； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程． 16. 已知动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数. （1）求动点的轨迹； （2）过且斜率为1的直线交动点的轨迹于，两点，求. 17. 已知等差数列的公差，其前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 18. 已知椭圆的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点，且． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左､右顶点分别为，点是椭圆上的动点，且点与点不重合，直线与直线分别交于点，求证：以线段为直径的圆过定点． 19. 已知抛物线仅经过中的一点． （1）求抛物线的方程； （2）过原点作圆的两条切线，切点分别为，且恰在抛物线的准线上．求； （3）过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段，的中点分别为，求证：直线过定点． 附加题：本题共20分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 20. 已知双曲线C：的两条渐近线分别为：和：，右焦点坐标为，为坐标原点. （1）求双曲线C的标准方程； （2）设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是的中点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值； （3）直线与C的右支交于点，（A₁在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与C的右支交于点，（在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，…，这样一直操作下去，可以得到一系列点，，，记的坐标为.证明：共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $