直线与椭圆的位置关系导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦直线与圆锥曲线的位置关系，涵盖位置判断、弦长计算、中点弦问题等核心知识点。从点与椭圆位置关系切入，衔接直线与椭圆的判别式应用，再扩展到双曲线、抛物线，通过例题变式搭建知识迁移支架。 资料特色在于分层例题设计（A基础巩固、B能力提升），整合三类圆锥曲线问题，突出点差法、直线设法等优化策略。助力学生提升逻辑推理与数学运算素养，培养从特殊到一般的思维，适合分层教学与自主探究。

2024级高二数学选修一 编号：X040 课题： 2.8直线与圆锥曲线的位置关系 学案类型：新授课 编制人： 审核人： 编制日期：2025.11 班级： 姓名： 一、学习目标 核心素养 会判断点、直线与椭圆的位置关系. 逻辑推理、数学运算 直线与椭圆相交时，会求弦长、弦中点坐标 数学运算、逻辑推理 能用“点差法”解决椭圆、双曲线的中点弦问题 数学运算、逻辑推理 二、重难点：（1）联立方程，韦达定理（计算）（2）点差法（3）直线的设法，减少计算量 三、学习过程 1、点与椭圆的位置关系:设，椭圆，则点P与椭圆的位置关系如下所示：（1）点在椭圆内 ；（2）点在椭圆上 ； （3）点在椭圆外 . 2、判断直线和椭圆（闭合曲线）位置关系的方法：将直线的方程和椭圆的方程联立， 消去一个未知数，得到一个一元二次方程。若消去y，得到一个一元二次方程，，则有 位置关系 解的个数 △的取值 相交 △ 0 相切 △ 0 相离 △ 0 思考：直线与双曲线只有一个交点，它们的位置关系是相切吗？ 3、直线与椭圆相交弦长的有关问题 (1)当弦的两端点的坐标容易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不容易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于两点，则有 为直线斜率）. (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 4、解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决． (2)点差法：弦端点坐标，利用“点”在曲线上，坐标满足方程，将“点”坐标分别代人椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． 四、典型例题 (A)例1.若点在椭圆的内部，求的取值范围. （A）例2（1）经过点且斜率为的直线与椭圆交于P和Q点，求的取值范围. （A）例2（2）已知直线：与双曲线：交于A，B两点.求m的取值范围. （A）变式1.若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求k的取值. （A）变式2．已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 （A）变式3.若直线与双曲线的右支有两个交点，求k的取值范围． （A）变式4：已知双曲线，过点作直线l.若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. （A）例2（3）已知抛物线方程，求过点且与抛物线只有一个交点的直线方程. （A）例3.已知椭圆，直线交椭圆于两点， （1）弦AB的中点坐标（2）求弦长 推导一般的弦长公式：①当斜率存在时 ②当斜率不存在时， 解： （A）例3变式1：求直线被双曲线截得的弦长及弦的中点坐标. （A）例3变式2：斜率为1的直线经过点，与抛物线相交于两点，求弦长. （A）例3变式3：直线与抛物线交于两点，且.求. （A）例4.为椭圆内一定点，过点作一弦，使此弦被点平分，求此弦所在直线的方程． 方法一：（联立方程，韦达定理） 方法二：（点差法）设出弦端点坐标代入圆锥曲线方程作差,得到关于的关系式 （A）变式1：已知双曲新,经过点是否能作一条直线使得与双曲线交于，且点是线段的中点.若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由. （B）变式2:已知点是双曲线C：上的两点,则可以作为中点的是（） A. B. C. D. 例5：知识清单：直线的设法 点斜式方程：，过定点，不足：不能表示斜率不存在的直线. 横截式方程： 其中， 多数情况简化为： ；过定点 优点：可以表示斜率不存在的竖直直线，但是不能表示斜率为0的水平直线. 举例：已知直线过，设出它的横截式方程：，简化为：. （A）例5：已知抛物线，过点的直线交于两点，圆是以线段为直径的圆，求证：坐标原点在圆上. 法一：点斜式方程 （A）例5：已知抛物线，过点的直线交于两点，圆是以线段为直径的圆，求证：坐标原点在圆上. 法二：横截式方程 （B）例6：（定点问题）已知椭圆：，设直线不经过且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点． （B）例7.（定值问题）已知双曲线：,过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点. 设点，直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，请说明理由. （B）例8.（最值问题）已知椭圆C：左、右焦点分别、， P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q．若且，求的最大值． 五、课标达测 （A）1、如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围. （A）2.已知抛物线与过其焦点的斜率为1的直线交于A，B两点，O为坐标原点，求． （A）3.已知双曲线 ，过点 作直线 ，若 是 与 交点的中点，求 的方程，并判断是否存在这样的直线.（弦中点问题） （A）4.已知直线与双曲线交于两点，记为坐标原点，求. （B）5.已知椭圆的右焦点为，直线过点且与椭圆交于两点，若的面积为，求直线的方程. 2.8直线与圆锥曲线的位置关系答案 例4、解法1 如图，设所求直线方程为． 由方程组 消去，得．由题可得判别式大于0. 设弦的两端点为，由韦达定理． 又是弦的中点，所以，所以，解得． 所以弦所在的直线方程是，即． 解法2 设弦的两端点为，弦所在直线的斜率为， 则，两式相减整理得：. 由题，则，又直线过点， 则弦所在的直线方程为，即． 例5 例6：当斜率不存在时，设 得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足题意． 当斜率存在时，设 联立， 整理得 则 ，此时，存在使得成立． ∴直线的方程为，即 当，时，上式恒成立，所以过定点． 例7设直线的方程为，，. 由得. ，， 则 ，即为定值. 例8 .易知，设，， 则，， 因为，所以，即； 所以， 解得； 可得 ， 因为，所以， 当且仅当，即时，取等号．所以可得最大值为． 5、 课标达测 1.直线方程与双曲线方程联立：得：, 当时，即时，直线与渐近线平行，有一个公共点，舍去； 当时，<0，即或，无公共点 综上所述：或. 5. 4. 学科网（北京）股份有限公司 $