数列：数列最值问题、数列新定义问题、数列实际应用问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列：数列最值问题、数列新定义问题、数列实际应用问题专项训练 数列：数列最值问题、数列新定义问题、数列实际应用问题专项训练 考点目录 数列最值问题 数列新定义问题 数列实际应用问题 考点一 数列最值问题 例1．（25-26高三上·四川眉山·阶段练习）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最大值． 例2．（25-26高三上·天津·期中）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. (1)求和的通项公式； (2)设（），求数列的前项和； (3)设（），数列的前项积为，求的最大值. 例3．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设是等差数列的前n项和，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前n项的和； (3)是否存在，使得?若存在，求满足条件的的最大值；若不存在，请说明理由. 例4．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项的积为，求的最大值. 变式1．（25-26高三上·黑龙江吉林·月考）设首项为2的数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若为整数，且对任意，，求的最大值； (3)设，求数列的前项和. 变式2．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)写出的表达式，并求的最大值及取得最大值时的值． 变式3．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且. (1)求，； (2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值. 变式4．（24-25高二下·江西萍乡·期中）已知是等差数列，，数列的前项和为且满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，当取得最大值时，求的值. 考点二 数列新定义问题 例1．（25-26高二上·北京·期中）将正整数任意排成n行n列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”. (1)当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”； (2)若表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（，），且满足，请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）； (3)对于由正整数排成的n行n列的任意数表，记其“特征值”为，求证：. 例2．（25-26高二上·北京西城·期中）已知无穷数列，给出以下定义：对于任意的，都有，则称数列为“数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“严格数列”. (1)已知数列，数列的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“数列”，并说明理由； (2)证明：若数列为“数列”，则对于任意的，，，当时，有； (3)已知数列为“严格数列”，且对任意的，，，求数列的最小项的最大值. 例3．（25-26高二上·福建莆田·期中）对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中 (1)若数列的通项公式，求的通项公式； (2)若数列的首项是1，且满足，求数列的前n项和. 例4．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的首项，前项和为，若对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列. (1)若等差数列是“”数列，求的值； (2)若正项数列是“”数列，求数列的通项公式； (3)对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 变式1．（25-26高三上·北京·期中）已知为有穷整数数列.给定正整数，若对任意的，在中存在，使得，则称为－连续可表数列. (1)判断是否为5－连续可表数列？是否为6－连续可表数列？说明理由； (2)若为8－连续可表数列，求证：； (3)若为20－连续可表数列，且，求的最小值. 变式2．（25-26高三上·辽宁营口·期中）定义：若，且和是公比不相同的等比数列，则称为“混双等比数列”.已知数列满足，，其中常数且. (1)证明：是等比数列. (2)设的前项和为，若是“混双等比数列”，求的值. 变式3．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）为实数，无穷数列为数列时满足：；；． (1)若数列前四项分别为，，，，判断数列是否有可能为数列； (2)若数列为数列，求的值； (3)数列前项和为，则是否存在值，，恒成立.如果有，求出所有符合要求的值；如果没有，请说明原因． 变式4．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）在数列中，，且． (1)求的通项公式． (2)证明：． (3)若数列中存在两项，，使得，则称为数列的等项数对．证明：的等项数对唯一． 考点三 数列实际应用问题 例1．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·阶段练习）李华准备通过某银行贷款8800元，后通过分期付款的方式还款，银行与李华约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月的还款额都相等，贷款的月利率为，则李华每个月的还款额为（    ）（精确到0.01元，参考数据） A．733.21元 B．757.37元 C．760.33元 D．770.66元 例2．（24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）一个网上贷款平台在2024年初给出贷款的月利率为，某大学生此时从该平台贷款元，按照复利计算，他10个月后一次性还款的金额应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 例3．（24-25高二上·河北秦皇岛·阶段练习）．（22-23高二下·河北秦皇岛·期末·多选）我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、VAR模型、队列要素法等多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法正确的有（    ） A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势 B．若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势 C．若在某一时期内，则这期间人口数摆动变化 D．若在某一时期内，则这期间人口数不变 例4．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米．则第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系是 ． 例5．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）小李在年月日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买第一个月后的月日第一次还款，且以后每月的日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2025年月日最后一次还款），月利率为.按复利计算，则小李每个月应还 元.(用，表示) 变式1．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 变式2．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习·多选）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ） （参考：：计算结果精确到分） A．等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2340元 D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 变式3．（24-25高二下·北京·期中）甲方和乙方分别作为买家和卖家藏某商品进行价格谈判．第一轮，甲方出价万元，乙方要价万元．以后每一轮谈判中，双方根据上一轮的情况调整自己的报价，其中甲方新报价为上一轮自己报价的加上乙方上一轮报价的，乙方新报价为上一轮甲方报价的加上自己上一轮报价的．当双方报价的近似值（四舍五入到万元）相等时，以该近似值为成交价结束谈判，则成交价为 万元，共进行了 轮报价． 变式4．（24-25高二下·北京·阶段练习）“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的，第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的，第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的，琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫，商，角，徵，羽”，则“宫”与“角”所对琴弦长度之比为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列：数列最值问题、数列新定义问题、数列实际应用问题专项训练 数列：数列最值问题、数列新定义问题、数列实际应用问题专项训练 考点目录 数列最值问题 数列新定义问题 数列实际应用问题 考点一 数列最值问题 例1．（25-26高三上·四川眉山·阶段练习）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，有，即， 由，有，将代入得， 则或，又数列的公差不为， 故，则， 故数列的通项公式； （2）， 则，又，故使成立的的最大值为. 例2．（25-26高三上·天津·期中）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. (1)求和的通项公式； (2)设（），求数列的前项和； (3)设（），数列的前项积为，求的最大值. 【答案】(1)，. (2) (3) 【详解】（1）设的公差为，的公比为（）， ，，又，， ， （2）当为奇数时， ， 数列的前项中所有奇数项之和 ， 当为偶数时，， 数列的前项中所有偶数项之和 ，① ，② ①－②得 . . . （3），， 当和时，； 当时，，即 又，，，，， ，，当时，， 的最大值为. 例3．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）设是等差数列的前n项和，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前n项的和； (3)是否存在，使得?若存在，求满足条件的的最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为 由，得，解得. . （2）由（1）得，， . （3）由（1）得， 由 得 ， ∵当时， 当时，；当时， ∴当或或或时，有最大值. 因为当时，， 而随增大而增大；随增大而减小. 所以的最大值为. 例4．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项的积为，求的最大值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1），① 当时，，解得； 当时，，② ①-②得，即， 故是首项为3，公比为2的等比数列， 所以. （2）由（1）知， 所以. 因为在上单调递增， 所以只需求出的最大值， 又，所以当或9时，取得最大值，最大值为36， 所以的最大值为. 变式1．（25-26高三上·黑龙江吉林·月考）设首项为2的数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若为整数，且对任意，，求的最大值； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）方法一：因为，所以. 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以数列的通项公式为. 方法二：因为，所以. 由累乘法， 得， 当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）方法一：由题意可知， 由（1）可知， 易得对恒成立（当且仅当时取等号），即， 故有最小值， 故，即的最大值为2. 方法二：由题意可知， 由（1）可知， 设，则， 令，则，此时单调递增. 又，故，故， 即，而， 故有最小值， 故，即的最大值为2. （3）易得， 所以. 变式2．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)写出的表达式，并求的最大值及取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)，的最大值为30，此时为5或 6 【详解】（1）设首项为 ，公差为 ， 依题意得： ， 解方程得：， 所以通项公式为：. （2）由等差数列求和公式： ， ， 即：， 这是一个开口向下的二次函数（系数 )，在对称轴处取得最大值， 对称轴方程为：， 由于 为正整数，需检查 和 ： ， . 因此， 的最大值为 30，此时的值为5或6. 变式3．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且. (1)求，； (2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由， 当时，， 当时，，满足上式，所以. 由，正项等比数列的首项为1， 当公比时，，，不满足； 当公比，且时，，解得，此时. 综上所述，. （2）由，，则， 即对任意的恒成立， 当时，， 当时，设数列在第项取得最小值， 则，解得， 而，则，此时取得最小值， 由于，即， 则实数的最大值为. 变式4．（24-25高二下·江西萍乡·期中）已知是等差数列，，数列的前项和为且满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，当取得最大值时，求的值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 当时，则，与矛盾，不合题意； 当时， ， 解得，所以， 即. 当时，，得， 当时，  ①，   ②， ①-②得，即，即， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以. 即； （2），则， 所以， 令，则， ， 则 所以，得出 即， 所以数列中，最大，故. 考点二 数列新定义问题 例1．（25-26高二上·北京·期中）将正整数任意排成n行n列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”. (1)当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”； (2)若表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（，），且满足，请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）； (3)对于由正整数排成的n行n列的任意数表，记其“特征值”为，求证：. 【答案】(1)或 (2)、、； (3)证明见解析 【详解】（1）显然，交换任何两行或两列，“特征值”不变， 可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能， 2，3或2，4或3，4．得到数表的不同“特征值”是或； （2）当时,数表为： 7 1 4 5 8 2 3 6 9 此时，数表的“特征值”为； 当时,数表为： 13 1 5 9 10 14 2 6 7 11 15 3 4 8 12 16 此时，数表的“特征值”为； 当时,数表为： 21 1 6 11 16 17 22 2 7 12 13 18 23 3 8 9 14 19 24 4 5 10 15 20 25 此时，数表的“特征值”为； 归纳猜想“特征值”为：； 证明：由， 则， 则这个较大的数都在数表的对角线上， 即在这个数表的不同行且不同列中， 又此类数表的第行第列的数为， 即非对角线中最大的数为在第行第列， 由第行最大的数为， 第列最大的数为， 则此类数表的“特征值”为； （3）对于一个数表而言，这个较大的数中， 要么至少有两个数在一个数表的同一行（或同一列）中， 要么这个较大的数在这个数表的不同行且不同列中， ①当这个较大的数， 至少有两个数在数表的同一行（或同一列）中时， 设（）为该行（或列）中最大的两个数，则， 因为， 所以，从而； ②当这个较大的数在这个数表的不同行且不同列中时， 当它们中的一个数与在同行（或列）中， 设为与在同行、同列中的两个最大数中的较小的一个， 则有； 综上可得. 例2．（25-26高二上·北京西城·期中）已知无穷数列，给出以下定义：对于任意的，都有，则称数列为“数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“严格数列”. (1)已知数列，数列的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“数列”，并说明理由； (2)证明：若数列为“数列”，则对于任意的，，，当时，有； (3)已知数列为“严格数列”，且对任意的，，，求数列的最小项的最大值. 【答案】(1)是，不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由于，所以数列为首项是1，公差是2的等差数列 故； 由于，所以数列为首项是，公比是2的等比数列， 故. 对于任意的，都有， 故，所以数列是“数列”. 对于任意的，都有， 故，所以数列不是“数列”. （2）因为为“数列”， 所以对任意的，都有，即， 所以对任意的，，，当时，有 ， 所以. 又， 所以. 由于，故. （3）因为数列为“严格数列”，， 所以对任意的，都有，即. 设，则数列为单调递增数列，且， 所以. 因为，所以， 所以存在，时，，， 所以，当时，，数列为递减数列； 当时，，数列为递增数列. 因此，数列存在最小项为. 由于数列为单调递增数列，且， 所以，，…， 且，，…，. 因此，，即； ， 即. 记，则. 因为， 所以，， 故在单调递增，在单调递减， 所以当时，. 那么，当时，（）， 因此， 所以数列的最小项的最大值为. 例3．（25-26高二上·福建莆田·期中）对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中 (1)若数列的通项公式，求的通项公式； (2)若数列的首项是1，且满足，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，且， 所以； （2）因为，所以，所以． 所以，且，故是首项为，公差为的等差数列. 所以，所以数列的前n项和. 例4．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列的首项，前项和为，若对任意的正整数，均有成立，其中和是实数，则称此数列为“”数列. (1)若等差数列是“”数列，求的值； (2)若正项数列是“”数列，求数列的通项公式； (3)对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）等差数列是“”数列，， ，存在，. （2）正项数列是“”数列，， ，，即， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列，， 当时，， 当时，不满足， . （3）由“”数列定义知：，又，， 令，则，故，且，且， ，； 若，则恒成立，则， 若，则 ， 因为存在三个不同的数列为“”数列， 故有解，故有解且解不为1， 由双勾函数的单调性可得， ，即实数的取值范围为. 变式1．（25-26高三上·北京·期中）已知为有穷整数数列.给定正整数，若对任意的，在中存在，使得，则称为－连续可表数列. (1)判断是否为5－连续可表数列？是否为6－连续可表数列？说明理由； (2)若为8－连续可表数列，求证：； (3)若为20－连续可表数列，且，求的最小值. 【答案】(1)是连续可表数列；不是连续可表数列 (2)证明见解析 (3)7 【详解】（1），，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列． （2）若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾； 当时,数列，满足，，，， ，，，， ． 所以； （3）先证明. 从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字， 取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字， 取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字， 所以对任意给定的5个整数，最多可以表示个正整数，不能表示20个正整数，即. 若，最多可以表示个正整数， 由于为连续可表数列，且，所以至少有一项为负数， 既然任意5个正整数都不可能为20-连续可表数列，那么中间若插人一个负数项，更不能连续表示的正整数. 所以至少要有6个正整数才能连续表示的正整数.所以中至少包含6个正整数和一个负数，故. 当时，数列满足题意， 即的最小值为7 变式2．（25-26高三上·辽宁营口·期中）定义：若，且和是公比不相同的等比数列，则称为“混双等比数列”.已知数列满足，，其中常数且. (1)证明：是等比数列. (2)设的前项和为，若是“混双等比数列”，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意得，     则， 所以.         又，         所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）可得.     因为，代入可得， 可得， . 因为是“混双等比数列”，所以，解得. 变式3．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）为实数，无穷数列为数列时满足：；；． (1)若数列前四项分别为，，，，判断数列是否有可能为数列； (2)若数列为数列，求的值； (3)数列前项和为，则是否存在值，，恒成立.如果有，求出所有符合要求的值；如果没有，请说明原因． 【答案】(1)数列不可能为数列，理由见解析 (2). (3)存在，. 【详解】（1）数列不可能为数列，理由如下： 因为，，，所以，. 因为，所以，所以数列不可能为数列. （2）由数列定义，可知满足：，；； 或. 由或以及，可知，所以. 由或，或， 以及，可得，. 由或，以及，可知， 同理，由或，以及，可知. （3）假设数列是满足“恒成立”的数列. 因为或，且，所以， 由，可知， 从而或. 又因为，所以. 因为，且，所以. 又因为，所以. 因为，且，所以. 因为，所以. 根据假设，由可知，所以， 由及，可知. 由可知，所以. 综上可知，若数列是满足“恒成立”的数列，则. 当时，考虑数列：. 下面验证数列满足数列的要求： 由，可知. 因为，， 所以.，，使得，， 所以，， 所以，， 又， 所以：当时，；当时，. 所以. 由通项公式可知，当时，；当时，， 所以恒成立. 综上所述，存在数列，使得恒成立，此时. 变式4．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）在数列中，，且． (1)求的通项公式． (2)证明：． (3)若数列中存在两项，，使得，则称为数列的等项数对．证明：的等项数对唯一． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）因为，，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，得． （2）设， 则， 则， 因为，所以． （3）由（1）知，， 当时，，当时，， 所以，注意到， ，，，，， 所以的等项数对唯一，且唯一等项数对为． 考点三 数列实际应用问题 例1．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·阶段练习）李华准备通过某银行贷款8800元，后通过分期付款的方式还款，银行与李华约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月的还款额都相等，贷款的月利率为，则李华每个月的还款额为（    ）（精确到0.01元，参考数据） A．733.21元 B．757.37元 C．760.33元 D．770.66元 【答案】B 【详解】设每一期所还款数为元， 因为贷款的月利率为， 所以每期所还款本金依次为， 则， 即， ， ， ， 即李华每个月所要还款约元. 故选：B. 例2．（24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）一个网上贷款平台在2024年初给出贷款的月利率为，某大学生此时从该平台贷款元，按照复利计算，他10个月后一次性还款的金额应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【详解】应还金额=贷款金额 (1+月利率) 月份， 由题意知贷款金额为，月利率为，月份为10， 所以. 故选：D. 例3．（24-25高二上·河北秦皇岛·阶段练习）．（22-23高二下·河北秦皇岛·期末·多选）我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、VAR模型、队列要素法等多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法正确的有（    ） A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势 B．若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势 C．若在某一时期内，则这期间人口数摆动变化 D．若在某一时期内，则这期间人口数不变 【答案】ABD 【详解】由，得当时，， 因为，所以，对任意的，， 所以，，则， 此时，在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势，A对； 对于B选项，当时，， 因为，所以，对任意的，， 所以，，则， 故在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势，B对； 对于C选项，由B选项可知，在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势，C错； 对于D选项，当时，， 故在某一时期内，则这期间人口数不变，D对. 故选：ABD. 例4．（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米．则第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系是 ． 【答案】 【详解】依题意， ，所以. 故答案为： 例5．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）小李在年月日采用分期付款的方式贷款购买一台价值元的家电，在购买第一个月后的月日第一次还款，且以后每月的日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2025年月日最后一次还款），月利率为.按复利计算，则小李每个月应还 元.(用，表示) 【答案】 【详解】设每月还元， 按复利计算，则， 即，解得. 故答案为：. 变式1．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5月1日向银行贷款元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是，并按复利计息.若每月月底还银行相同金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【详解】设小胡每月月底还款钱数为元，根据等额本息还款法可得： 第1次还款后欠银行贷款为， 第2次还款后欠银行贷款为， …， 第12次还款后欠银行贷款为 ， 因为贷款12个月还清，所以，即， 所以. 故选：C. 变式2．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习·多选）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行贷款，月利率，分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）．有两种金融方案：等额本金还款，将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同等数额的本息和，利息以复利计算．下列说法正确的是（    ） （参考：：计算结果精确到分） A．等额本息方案，每月还款金额为10196.07元 B．等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元 C．等额本金方案，所有的利息和为2340元 D．等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案 【答案】ABC 【详解】对于A，设第个月贷款利息为，偿还本金为， 则，， 则， ， 则， 同理得，，……，， 所以数列是以为公比的递增等比数列， 则有，得， 所以每月还款的本息和为， 所以A正确; 对于B，倒数第二个月还款后，剩余本金10000，一个月利息为30元， 本息和应为10030元，故B正确； 对于C，利息和为（元）， 故C正确； 对于D， 由A知等额本息还款利息和为 ， 两种贷款方案各有优劣，比等额本金高，但等额本金方案起初还款金额高，还款压力大，还款金额逐年递减；等额本息每月还款金额相同，低于等额本金方案前半段时间还款额，高于后半段时间还款额；还有通货膨胀等诸多经济因素影响两种方案的收益，故不能简单认为某种贷款方案优于另一种方案，故D错误. 故选：ABC. 变式3．（24-25高二下·北京·期中）甲方和乙方分别作为买家和卖家藏某商品进行价格谈判．第一轮，甲方出价万元，乙方要价万元．以后每一轮谈判中，双方根据上一轮的情况调整自己的报价，其中甲方新报价为上一轮自己报价的加上乙方上一轮报价的，乙方新报价为上一轮甲方报价的加上自己上一轮报价的．当双方报价的近似值（四舍五入到万元）相等时，以该近似值为成交价结束谈判，则成交价为 万元，共进行了 轮报价． 【答案】 【详解】设甲方第轮报价为万元，乙方第轮报价为万元，则，， 当时，由题意可得， 上述两个等式相加得，即数列是常数列， 故，即①， 由上可得，且， 即数列是首项为，公比为的等比数列， 所以②， 由①②可得，， 由可得，由于，且，，即. 故的最小值为，且，， 因此，成交价为万元，共经过了轮谈判. 故答案为：；. 变式4．（24-25高二下·北京·阶段练习）“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的，第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的，第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的，琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫，商，角，徵，羽”，则“宫”与“角”所对琴弦长度之比为 ． 【答案】 【详解】设第一根弦长为， 则第二根弦长为，第三根弦长为，第四根弦长为，第五根弦长为， 又因为， 又因为琴弦越短，发出的声音音调越高， 所以“宫，商，角，徵，羽”对应的弦长为：， 所以“宫”与“角”所对琴弦长度之比为：. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $