数列：奇偶数列问题、数列插项问题、数列恒成立问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列：奇偶数列问题、数列插项问题、数列恒成立问题专项训练 数列：奇偶数列问题、数列插项问题、数列恒成立问题专项训练 考点目录 奇偶数列问题 数列插项问题 数列恒成立问题 考点一 奇偶数列问题 例1．（25-26高三上·辽宁·期中）已知数列的各项均为正数，其前项和为，且．数列满足，其前项和为． (1)求； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 例2．（25-26高三上·云南红河·月考）记分别为数列的前项和，其中，. (1)求的通项公式； (2)求. 例3．（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知正项等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 例4．（25-26高三上·山东烟台·期中）已知数列的前项和为，且，数列满足且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 变式1．（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且满足，，成等比数列.数列是等比数列，满足，. (1)求与的通项公式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，求数列的前项和. 变式2．（25-26高二上·浙江绍兴·阶段练习）已知等差数列中，，等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项的和. 变式3．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知等比数列 的前 项和为，，且，，成等差数列. (1)求 ； (2)设，是数列 的前 项和，求； (3)设，是 的前 项的积，求证: 时，. 变式4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，，前项和为． (1)求证：数列是等比数列； (2)求； (3)记，数列中是否存在不同的项、、（其中、、成等差数列）成等差数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由． 考点二 数列插项问题 例1．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知等差数列的前n项和为，且，；数列满足（） (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前n项和； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求数列的前2025项和． 例2．（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足，. (1)求的值； (2)证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由. 例3．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求，及数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， ①设（），求； ②若都有不等式成立，求的取值范围． 例4．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入m个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值． 变式1．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知等差数列的项，公差． (1)在和中间都插3个数，使它们和原数列的数构成个新的等差数列，求数列的通项公式； (2)在和中间插入k项，所有插入的项构成以2为首项，2为公比的等比数列，构成的新数列为：，求数列的前50项的和． 变式2．（24-25高三上·天津·阶段练习）设数列是公差不为零的等差数列，满足，；数列的前项和为，且满足. (1)求数列、的通项公式； (2)求值； (3)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；……；在和之间插入个数，，…，，使，，，…，成等差数列. （i）求； （ii）写出所有使成立的正整数对.（直接写结果） 变式3．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． (3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 变式4．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中）组成新的数列记数列的前n项和为，若，求n的最小值． 考点三 数列恒成立问题 例1．（25-26高二上·北京西城·期中）已知为数列的前项和，满足，.数列是等差数列，且，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若，不等式恒成立，直接写出实数的最大值. 例2．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知正项数列的的前n项为，且满足，等比数列是递增数列，，为其前n项和，且满足． (1)分别求，的通项公式； (2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值． 例3．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）已知数列满足，， 其中为的前n项和，等比数列满足：，且，，成等差数列． (1)求数列、的通项公式； (2)设，的前项和为，若恒成立，求实数的最大值． 例4．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知数列满足,数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为,求; (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 变式1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如，. (1)求，的值； (2)已知数列满足. ①求的前项和； ②记数列的前项和为，若对任意，均有不等式恒成立，求实数的取值范围. 变式2．（25-26高三上·安徽·期中）已知数列满足，且，数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)在（2）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围． 变式3．（25-26高三上·湖北·月考）已知数列满足，，，． (1)求的通项公式； (2)的前项和记为，试求； (3)若，且对任意的正整数，都有恒成立，求的取值范围． 变式4．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且. (1)求，； (2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列：奇偶数列问题、数列插项问题、数列恒成立问题专项训练 数列：奇偶数列问题、数列插项问题、数列恒成立问题专项训练 考点目录 奇偶数列问题 数列插项问题 数列恒成立问题 考点一 奇偶数列问题 例1.(25-26高三上辽宁·期中)已知数列{a}的各项均为正数，其前n项和为Sn,且2√S,=a,+1.数列b,}满足 an+l,n为奇数 b= 3a,n为偶数，其前n项和为工. (1)求an: (2)若Tn-Sn≥入n恒成立，求实数2的取值范围. 【答案】(1)an=2n-1 (2)-0,1 【详解】(1)当n=1时，有2S,=a,+1=2a,, 所以(a-=0,得a=1, 当n≥2时，有2S=an+1, 耳8e面8= 两式作差，得品=8-8（色（色 化简得an+a-1)a,-a-1-2=0, 又an>0,所以an-am1=2n22), 所以数列{a,}是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以an=1+2n-1=2n-1: (2)当n为偶数时， Tn=(b+b+b+…+bn）+(b+b,+b。+…+bn) 数列：奇偶数列间题、数列插项问题、数列恒成立问题专项训练 n a+a,+a,++a+2十3a,+3a,+3a,++30, =S+7+2(a,+a,+as++a, (3+2n-1) =,+”+2. 2 2 2=3.+m+3n, 2 3 所以Tn-Sn=n2+。n,n为偶数n22), 由T,-Sn≥n恒成立，得2≤n+2: 3 是偶数，当=2时，n+有最小值子，所以元≤ 当n为奇数时，n+1为偶数， 万=7m-am=5+a++a+小-3m=8+- ,1 2 所以7，-S,=n-+,，n为奇数， 22 由7，-S,≥n恒成立，得元≤n+1-， 2n2’ 又=+公+树上单调范增。 所以当n=1时，四=n+-)有最小值1，所以元≤1. '2n2 综上，实数2的取值范围是(-o, 例2.(25-26高三上云南红河月考)记Sn,Tn分别为数列an},{b}的前n项和，其中Sn=2n2-n, 2an,n为奇数 br= an-9,n为偶数 (1)求{an}的通项公式； (2)求T1 【答案】(1)an=4n-3 (2)1222 【详解】(1)因为Sn=2n2-n, 当n=1时，41=1； 当n≥2时，则S=2(n-)-(n-1,又Sn=2n2-n, 数列：奇偶数列问题、数列插项问题、数列恒成立问题专项训练 两式相减得an=4n-3; 且a1=1符合上式，所以an=4n-3. [8n-6,n为奇数 (2)由(1)可得b,= 4n-12,n为偶数' 所以T21=b,+b2+b3+b4…+b20+b21=(b+b3+…+b21)+(b2+b+…+bo） -116+bl,10(6+b_-12+162,10(-4+68=122 2 2 2 2 例3.(25-26高三上山东潍坊期中)己知正项等差数列{a},41=2,a2a;=24. (1)求{an}的通项公式： (2)设b= [2产，n为奇数，求数列b,的前2n项和 an,n为偶数口 【答案】(1)an=2n 224-1+2n+2n 3 【详解】(1)因为正项等差数列an},a1=2,4,a;=24, 所以a2=a1+d=2+d,a=2+2d,(2+d)(2+2d=24台d2+3d-10=0, 因为正项等差数列，所以d=2, 所以an=2+2(n-1)=2n (2)因为b,= 22,n为奇数，即b= 2”,n为奇数 an,n为偶数 2n,n为偶数' 奇数项和为S奇 21-4）2(4-， 1-4 3 偶数项和为S偶= n4+4n=2n2+2n, 2 所以数列{b}的前2n项和S奇+S得= 2(4-1 +2n2+2n 3 例4.(25-26高三上山东烟台期中)己知数列an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+n,数列{bn}满足b=1,b2=2且 数列：奇偶数列问题、数列插项问题、数列恒成立问题专项训练 bb1=2" (1)求数列{an},b}的通项公式： anbn,n为奇数 ②设c,-3-川6，为偶数'求数列c的前2m项和7 an-10n+1 n-1 22,n为奇数 【答案】(1)an=2n;b,= ； 22,n为偶数 gz=9+2-3小2 20+1 8n+4 【详解】(1)因为S,=n2+n,故当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n; 当n=1时，41=S=2,满足上式， 所以an=2n,neN; 因为b=2,所以2=二=2，所以41=1x2A.=2x24=2, br-b 2br 22,n为奇数 所以bn= 22,n为偶数 (2)当n为奇数时，c,=a.b,=(2m)-2=nx, 记An=C+C+C+…+C2m-1,则有 4=1x2j°+3x2j°+5x2列°++2n-1×2①， 24,=1x2+3x2+5x2++(2n-1×2②， @-@得：(1-24，=2+2x2列+(2+(V2+…+2）-(2m-1×2, →-An=2+2 4×刘1-2-2n-1xm. 1-2 →A。=6+(2n-3)×2, 当n为偶数时，c.=G-m6=6-m2_人 a-41(2n-22n+2)22n-22n+2 数列：奇偶数列问题、数列插项问题、数列恒成立问题专项训练 记B。=C2+C4+C6+…+C2m 4n-24n+2 12州 28n+4 1.=A+B=2+2m-3到×21 13 2+1 8n+4 变式1.(25-26高三上·辽宁大连期中)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,S=35,且满足a,a4, a3成等比数列.数列{bn}是等比数列，满足b=a,b=a4 (I)求{an}与{b}的通项公式： (2)若对任意的n∈N,不等式n(an+1)-元(a,-1)(n+2)-l2<0恒成立，求实数1的取值范围； anbn,n=2k-l,k∈N (3)设cn=(3-4n) ,n=2k,k∈N,求数列c,的前2n项和n an-antl 【答案】(1)an=2n+1,bn=3" (2)[1,+0) 61n=21+24n-9 9”、9* 16 16 16n+12 【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d,d≠0，等比数列{b}的公比为q, 由S,=35,→5a,+10d=35,a1+2d=7,又a1,a4,a3成等比数列，所以a,4,=a,→(7+d)=(7-2d)(7+10d) ,→d=2,41=3, 故an=3+2(n-1=2n+1, 所以么=3，么=0，=9，所以2=g=3 b 所以{b}是以3为首项，3为公比的等比数列，故b,=33=3”, 故an=2n+1,bn=3” (2)由an=2n+1与n(an+l-2(an-1)(n+2)-12<0恒成立， 数列：奇偶数列问题、数列插项问题、数列恒成立问题专项训练 可得n2n+2)-12nn+2)-12<0恒成立， 三元>+m6恒成立，先求出+”6的最大值， n2+2n n2+2n 设fm)=m+m6=1-n+6， n2+2n n(n+2' n+7 ,n+6n2+13n+18 f+)-fm)=n+l++nn+2nn+ln+2+>0, ∴f(n)单调递增， 又n+6 ->0, n(n+2) f0m=1-n+6<1, n(n+2) .121. (3)当n为奇数时，c。=an·bn=(2n+1)3”, 记An=C+C+C,+…+C2m1,则有 An=3×3+7×33+11×3+…+(4n-1)×32m-①， 9An=3×33+7×3+11×37++(4n-1)×32m+1②， 作差得：-8An=9+4×33+35+37+…+32m-(4n-1)×321, →-8An=9+4× 27×1-9-4n-小×32m, 1-9 924n-9×9, →A,=1616 当n为偶数时，G,=仔=4n6=3-4n)3”=13”32 a-a1(2n-10(2n+3)42n-12n+3 记Bn=c2+C4+C6+…+C2n 13234、,13436、,13638、 ,1,3232m*2、13232+2、391 =一X -)+一× )+-×( )+…+一 437471141115 +44n-4n+3}=434n+3}-416m+12' 21,24n-9 T2n =An+B= 90、、9+1 1616 16n+12 变式2.(25-26高二上·浙江绍兴阶段练习)已知等差数列{an}中，a2+ao=22,ag=15,等比数列(b}中， b1=a2,b=a40+2 6 数列：奇偶数列问题、数列插项问题、数列恒成立问题专项训练 (1)求数列{b}的通项公式： an,n为奇数 (2)记cn= 6,n为偶数，求数列c,}的前n项的和S 【答案】(1)b,=3” (n+1)n,3-9 2 8,n为奇数， (2)Sn= (n-1)n,93”- 8 ,n为偶数， 【详解】(1)设等差数列an}的公差为d,等比数列bn}的公比为q, 由a2+40=22,ag=15, 得 a,+d+a,+9d=22a1=1 a1+7d=15 d=2 所以an=2n-1, 从而b=a2=3,b4=a40+2=81, 所以b,=bg3→81=3g3→q=3,所以bn=3 an,n为奇数 2n-1,n为奇数 2)c60为倒数·故c,= 3”,n为偶数 当n为偶数时，Sn=a1+b2+a3+b4+…+an-1+bn =(a+a…+an-)+(b2+b+…+bn) (4+a 31-329 1+2m-3)93-1 2+（ (n-1n,9(3-1, 2 1-32 2 8 2 8 当n为奇数时， 3=3n-h=a+l,93-1-3-u+n3-9. 2 8 2 8 2 8n为奇数， (n+1)n,31-9 综上可得Sn= (n-1)n93”-1 8 ,n为偶数， 变式3.(25-26高三上·湖南长沙阶段练习)己知等比数列{a}的前n项和为S,4=1,且S%,S,S,成等 差数列 (1)求a; 数列：奇偶数列问题、数列插项问题、数列恒成立问题专项训练 [n,n为偶数 (2)设bn= 0,n为奇数'乙是数列b,}的前n项和，求工； (3)设c,=n22a,2是{c,}的前n项的积，求证：n≥2时，，<2”e-" 【答】0a( (2)12n=n2+n+ - (3)证明见解析 【详解】(1)由题意得2Sg=S。+S,即Sg-S6=S,-Sg,即得a,+ag=-ag,则2a=-a, 则t数别a的公tg=分又a=山，故-司日厂 n,n为偶数 (2)由(1)得a= 则=24++2+(-( 2 1 1- 故n=2+n+ (3)由题意知c,=n2.2a=n22 =2n2,则gn=2(123…n2, 故lngn=nln2+2n(12.3.…n)=nln2+2nl+ln2+…+lnn, 则欲证g,<2”.e-",即证ln9,<n2-n+nln2,即证2(lnl+ln2+…+lnn)<n2-n, 设f=nx-x+1,x21,则f(x)=-1, 当x>1时，∫'(x<0,则fx)在1，+o）上单调递减，故fx<fI)=0, 所以lnx<x-1,x>1. 当n=1时，nl=0; 数列：奇偶数列问题、数列插项问题、数列恒成立问题专项训练 当n22时，1nn<n-1,则2(n1+h2+…+1nm川<2[0+1+2+…+n-l]=2×a0+m-=nn-1, 2 即2(ln1+lh2+…+nn<n2-n, 故n22时，gn<2”.e-" 变式4.(25-26高二上·江苏苏州阶段练习)已知数列an}满足a+1= 2an,n为奇数 a,+1,n为偶数’a=1,前n项和为Sn (1)求证：数列(a2n+2是等比数列； (2)求Sn; (3)记b。=S2m,数列b,}中是否存在不同的3项bm、b、b。（其中m、k、P成等差数列)成等差数列？若存在， 求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【答案】()证明见解析 2尝3,1，为奇数 (2)Sn= 3x23n 6,n为偶数 (3)不存在，理由见解析 2an,n为奇数 【详解】(1)因为数列an}满足a+1= a,+1,n为偶数'且a=1,则a,=2a,=2, 所以a2m+2=2a2m1=2(a2n+1)=2a2n+2, 故a2m+2+2=2am+2+2=2(a2n+2),且a2+2=4, 因此数列{a2n+2是等比数列. (2)当n为偶数时，设n=24eN),则1=号， 由（1)可知0，+2=0+2=0，+2-2=4×2=2=2，则a,=2-2, 当n为奇数时，4，=0+1=2宁-1=2-1 n+l 22-1,n为奇数 所以an= 2-2,n为偶数 当n为偶数时，设n=2eN)小则1-号4+4=(2-小+(2-2到=3×2-3， 此时S。=,=3×2-3+(3×22-3+…+3×2-3 数列：奇偶数列问题、数列插项问题、数列恒成立问题专项训练 =3x2+2++2y)-3 61-2)） -3t=3×21-31-6=3×221_3n-6, 1-2 2 当n为奇数时，设n=21-1teN),则1=n+, 2， 此时S,=51=S,-a=3x2-31-6-(2-2)=2:-3-4=27_3m+l-4 2 =293n+1 2， [2_3n+,n为奇数 综上所述，Sn= 2 3×2_30-6为偶数 2 (3)由(2)可知bn=S2。=3×2-3n-6, 假设数列{b}中是否存在不同的3项b.、b、b,（其中m、k、p成等差数列)成等差数列， 且有m+p=2k,不妨设m<k<p,则2b=bn+b,, 所以2×3×2+-3k-6)=3×2mH-3m-6+3×21-3p-6, 整理可得2+2=2m*1+2P+1, 等式2+2=2m1+2P+1两边同时除以2m1,得2-m+1=1+2-m, 因为2-m+1为偶数，1+2P-m为奇数，等式2-m+1=1+2P-m不成立， 故数列{bn}中不存在不同的3项b。、b、b。(其中m、k、p成等差数列)成等差数列 10