数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 考点目录 累加法 累乘法 Sn与an的关系 数列递推问题 考点 累加法 例1.(25-26高二上江苏苏州期中)己知在数列{a}中，a,=2,a1=an+nn∈N),则a的值为（) A.10 B.11 C.12 D.13 【答案】C 【详解】an1=an+n(n∈N）,a,=2, 当m22时，a,=(a,-a)+(a1-a2+…+(a,-a)+a=n-+n-2到+…+2+1川1+2=n-+2, 2 当n=1时，a=2满足a,=2+nn-, 2 0,=2+nn-1) n∈N）,a5=2+10=12 故选：C 例2.(25-26高三上四川成都开学考试)已知数列{a,}满足a=1,a1=a。+2”(n∈N),则ao=() A.210-1 B.2Ⅱ+1 C.20+1 D.21-1 【答案】A 【详解】因为数列a}满足a=1,a1=an+2, 所以an1-an=2”, 所以a,-a1+a3-a,+…+a,-a1=0。-a,=2+22+23++2-, 则a,=1+2+22+…+2-=1-2 1-2 =2-1, 所以a0=20-1, 故选：A 例3.(25-26高三上北京阶段练习)在数列{an}中，a1=3,a2=-2.数列b,}满足b。=a+1-an(n∈N).若 {b,}是公差为2的等差数列，则{b}的通项公式为b=一，an的最小值为_一 【答案】 2n-7 -6 数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 【详解】因为b,=a+1-an,a1=3,a2=-2, 则b=a2-41=-2-3=-5, 且{b}是公差为2的等差数列，所以bn=-5+2(n-1)=2n-7. 又因为bn=a+1-am, 当n22时，an=a,+(a2-a)+(a3-a2)+…+(an-an-)=a1+b+b2+…+bn-1, 且bn=2n-7, 则a,=4+-+6-3+a-=5+2n-9》=-n+10, 2 2 且a=3符合上式，所以an=n2-8n+10, 因为an=n2-8n+10=(n-4)-6≥-6，当且仅当n=4时取等号， 所以an的最小值为-6. 故答案为：2n-7;-6. 1 例4.(25-26高二上甘肃兰州阶段练习)己知数列an}满足a1=1,a+1-an=n+1,则数列 的前n项和为_ a 【答案】2n n+1 【详解】因为an=a+(a2-a)+(a-a2)+…+(an-an-), 所以a,=1+(2+3+4++m=n1+m-m2+n, 2 2 所以 2 n+1 2n 故答案为： n+1 例5.(25-26高二上江苏镇江阶段练习)数列an}满足a1=1,且对任意的n∈N都有an1=an+n+1,则 an=」 【答案】nn+ 2 【详解】因为an1=an+n+1，,所以an1-an=n+1, 2 数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 当n≥2时，a,=(a,-a+…+a,-a)+a=n+a-1++2+1=nn+, 2 其中a1=1满足a,= n(n+1) 2 所以数列{an}的通项公式为an= n(n+1) 2 故答案为：nn+ 2 例6.(24-25高二下·云南昆明阶段练习)已知在数列an}中，a=4,a1-a。=4”+n, (1)求42,4， (2)求数列{an}的通项公式. 【答案】(1)a2=9,a=27 @a号+g,线 2 +3neN, 【详解】(1)令n=1,可得a2-a=5,又a=4, 所以a2=9, 令n=2,可得a3-a2=18,又a2=9, 所以a3=27; (2)an=a+(a2-a)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =4+4+1+42+2+…+4"-+n-1 =4+(4+42+…+4"-）+[1+2+…+(n-1] +41-4n-L+(n-] =4+ 1-4 2 4",nn-1.8 323 2+。,n≥2，neN, 当n=1时，a=4符合， 所以an= 4",n(n-1,8 +,,n∈N 3231 例7.(2025云南昆明一模)已知数列a,}满足a=l，a-a,-+2n (m+1)2 0者京，Q成等茶数列，求 数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 (2)求an。 【答案】(1)4 32n+1 (②a,=n+42n2+2n =n+1)2 【详解】(1)已知数列a,}满足4=l,a-a,-+2n 因为9,1 24’20,成等差数列，所以-2 +a=ak, 24 25 所以a1-0:-24 1+ 1251。-1=0, k(k+224k(k+224 整理得k2+2k-24=0,解得k=4,或k=-6（负值舍去)， 所以k=4: 所以n≥2时，an=a1+(a42-a)+(a3-a2)+…+(an-an-) =1+n-1+ 2324 n-1n+1 1 32n+1 =n+ =n+ 22nn+1) 42n2+2n' n=1时，a,=1也满足上式， 所以a,=n+ ,32n+1 42n2+2n 变式1.(24-25高二上湖北孝感阶段练习)数列an}满足：a1=1，a+1=a,+log2 则a=() A.2W2 B.3 C.4 D.42 【答案】C 【详解】由an=an+log2 n+1 可得a1-a,=log n+1 、n =l0g2 (n+1)-l0g2 n, 利用累加法可得 am-am-+am-1-am-2+…+a2-a1=l0g2n-l0g2n-l+l0g2n-1-log2n-2+…+l0g22-l0g21,n≥2， 化简得an=a1+log2n,则ag=1+l0g28=4 故选：C 变式2.(2025·江西新余·模拟预测)己知数列an}满足3-3.=2”，且a1=1,则数列an}的通项公式为() A.a,=2"-1 B.a l0g:2"-1+1 4 数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 C.a,=log2”+1 D.a=log;(2m-1) 【答案】C 【详解】由3-30=2”，知(30-3）+39-3）+…+3-3）=2+22+…+21， 所以3”-3 21-2,即3”=2+1 1-2 故an=log2”+1,又a=1适合上式，故an=log3(2”+1. 故选：C 变式3.(2526高三上：吉林延边：期中)在数列a中，4=3，a1=0.+g1+ 则a10= n 【答案】5 【详10=6++》可得a4-g}-(0）=a+小-ga 故a2-a,=lg2-lg1, a;-a2=1g3-1g2, a1o0-ag9=lg100-lg99, 相加可得a1oo=lg100-lg1+a1=5, 故答案为：5 1 变式4.(25-26高三上贵州遵义阶段练习)设数列{a}满足a,=1,且an1-an=n+1,则数列 前6项的和 a 【答案】号 【详解】由a1-a。=n+l, 则a2-4=2,a3-a2=3，，an-a-1=n(n≥2)， 将上述式子累加，得a,-a=2+3+…+1=m-(n+2-n2+n-2 2 2 则a,=严+卫，≥2，显然4，=1满足上式，则a,=+”, 2 2 数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 则数列 a }m6为-分+号》-》号 故答案为： 12 变式5.(25-26高三上湖南长沙阶段练习)记数列{a}的前n项之积为Tn,已知Tn+1-Tn=2n,且a=1,则 a6= 【答案】 3110 2121 【详解】依题意，当n≥2时，Tn-Tm1=2(n-1), Tm=T+(T2-T)+(I3-T)+…+(Tn-Tn)=1+2+4+…+2(n-1)=n(n-1)+1, T6_30+131 而T=a,=1满足上式，因此7.=m-)+1,所以a,行20+i21 1 故答案为：2 变式6.(25-26高三上贵州遵义阶段练习)已知首项为1的正项数列an}满足a-a=8n. (I)求{an}的通项公式： (2)令bn= 1neN),求数列{b,}的前n项和S, an·an+l 【答案】(I)an=2n-1n∈N); @52 【详解】(1)因为a2-a=8n, 所以当n≥2时，a=a+a-a）+(a-a)+…+(a-aii) =1+8+16++8m-1)=1+n-[8+8(n-] =4n2-4n+1=(2n-1)2, {an}是首项为1的正项数列， 则an=2n-1, 又a,=1满足上式，所以an=2n-1n∈N) e由可0，Aada22d 1 6 数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 所u0-g(o2】-a4 变式7.(25-26高三上·吉林延边开学考试)已知正项数列an}满足41=1，an1-an=2n+1. (I)求{an}的通项公式： (2)求 √an2-√and 的前n项和Sn Vantan+2 【答案】(1)an=n2 ②)5.=2n+2) 【详解】(1)当n≥2时，an-a-1=2(n-l+1=2n-1, an-1-an-2=2(n-2）+1=2n-3, a2-a1=3, 累加可得a,-1=3++2m-3+2n-1,即a,=1+3+…+2n-到+(2n-=1+2n-=m, 2 易得当n=1也符合上式，所以a,=n2. (2)数列 yan2-vam 的通项为 n+2-(n+1.1-1 √an+0n+2 (n+l(n+2n+1n+2’ 所以Sn= 2334 ++1-1）=11=n 11,11, …+气n+1n+2)厂2n+22n+2 数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 考点二 累乘法 1.2526高上河北保定中尼知S为数列a的前项和，a23S,n+20,则±+。。 3 A B. C. D 4 5 【答案】C 【详解】因为3Sn=(n+2)a,所以3S+1=(n+3)a+1, 两式相减可得3a1=(n+3a+1-(n+2)a., 所以na,4=(I+2a,所以山=n+2 an n, 当n之2时，a,=a×⊥xx4×a,=0+×”,××2×2=1+, 2 an-l an-2 a n-1n-2 1 当n=1时，a,=2符合n≥2的情况， 1 所以an=n(n+1),所以三= 111 an n(n+1)nn+1' 所以2+人+1+1=1-}+11+11114 1,1,1.1 一十 22334455’ 故选：C. 例2.(2025·四川绵阳·模拟预测)己知Sn为数列{an}的前n项和，若na,=Sn-1+1(n≥2)，a1=0,则S,等于() A.2026 B.2025 C.0 D.1013 【答案】D 【详解】因为nan=S.-1+1(n≥2)，a1=0,所以n(Sn-Sn)=Sn1+ln≥2)， 即nSn=(n+1S.+1n22) 所以n(Sn+1)=(n+1)(Sn1+1)(n≥2) 因为a=0,所以S,+1=1 所以令+1-3,8+4+-331=n+m≥2 S+12’S2+13'S,+14…S+1n 面4景-}2以” 8，a≥2 所以Sn+1=”+1, 所以S2027=1013 方法二： 数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 因为na,=S1+1(n22),所以(n+1a1=Sn+1(n21) 两式相减，得(n+)a1-nan=Sn-Sn1=an(n≥2)，即a+1=an(n≥2) 由na,=S1+1(n22,a=0,得2a,=la,=2 1 所以a,=n≥2到 所以S2027=a1+42+a3..+a2021=1013 故选：D. 例3.(2425高二下上海奉贤阶段练习)已知数列a,}满足4=1,44=2n+2a,则{口，的通项公式为， n 【答案】an=n…2"-,neN 【详】已知a272。,将n换为-1，可得a,-2-少+2。，2。 n n-1 -701, -=- 那么旦三 an7(n22) 2n 利用累乘法求a,(n≥2)， 由8=2n a-n-1 （n22)可得：4，=.1g4=2n.2m-》2x2x1 an-1 an-2 a1 n-1n-21 观察发现，约分后可得an=n2-1(n≥2). 当n=1时，a,=1×2-=1,与已知a=1相符 所以a=n2-,neN 故答案为：a,=n2-1,neN 例4.(24-25高二上江苏连云港期末)已知数列{an}中，a1=4,n+1a+1=(n+2an,则an= 【答案】2n+2 【详解】：(n+1)a1=(n+2)an,a=4, 0,n+,即品=n+1 :=n+2 an-1 n a=01.0.024a an an-2 an-3 a =n+1.n.n-13 ”n-1n-2…2×4=21+2 故答案为：2n+2 数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 26高三上：内蒙古赤峰，期中)）已知数列a满足：4-)20，三 (I)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn; (2)记]表示不超过x的最大整数，若T,=S。-[Sn」，证明Tn<1. 【答案】()a,=” 0，Sn=2-n+2 2” (②)证明见解析 【详解】(1)由题知： n+12n ≠0 12 :数列品是以为首项，为公比的等比数列 =1 n2’ n .0n= 2" 1.2,3 22+2++ Sn=5 n 12,3 25,=2+2+2+ 2"+H 1 1.11 两式作差得：。S。=,+ 1 n 2 2+2+2++ - 20+1 11 =22H n 24 S,=2-m+2 20 (2) n+”+2”+3-2n-4与2”0 2+ 2 2+ ∫n+2是递减数列， 2 当n=1时，1-”+2=-1 20 2 当n=2时，1-”+2 20=0: 当m=3时，1-n+2-3 28 :当n22时，0<”+2 分三1o三1 :当n≥2时， 10数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 考点目录 累加法 累乘法 Sn与a的关系 数列递推问题 考点 一 累加法 例1.(25-26高二上江苏苏州·期中)已知在数列{an}中，a=2,an1=an+nn∈N),则a,的值为() A.10 B.11 C.12 D.13 例2.(25-26高三上四川成都开学考试)已知数列{a}满足a=1,a1=an+2”(neN),则a。=（) A.20-1 B.2"+1 C.20+1 D.21-1 例3.(25-26高三上北京阶段练习)在数列an}中，4=3，a2=-2.数列bn}满足bn=an+1-an（n∈N)若 {b,}是公差为2的等差数列，则{bn}的通项公式为b,=一，a的最小值为一 1 例4.(25-26高二上·甘肃兰州阶段练习)己知数列an}满足a1=1,a+1-an=n+1,则数列 的前n项和为」 a 例5.(25-26高二上·江苏镇江阶段练习)数列an}满足a1=1,且对任意的n∈N都有a1=an+n+1,则 a= 1 数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 例6.(24-25高二下·云南昆明阶段练习)己知在数列an}中，4=4，a1-a。=4”+n, (1)求42,43， (②)求数列{an}的通项公式. 例7.(2025云南昆明一模)已知数列{a}满足4=1，a1-a,= n+1)2 n2+2n 0老空0：4成等差藏列，求好 (2)求an. 变式1.425商二上潮北净略阶段练习)数列a满起：。=1，m=,+e:( 则a=() A.2√2 B.3 C.4 D.42 数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 变式2.(2025江西新余模拟预测)己知数列{an}满足31-3.=2”，且a1=1,则数列{an}的通项公式为() A.an=2"-1 B.a=l0g;2"-+1 C.an=log32”+1 D.a=log3 (24-1) 变式3.(25-26高三上吉林延边：期中)在数列a,中，4=3，a=a,+g1+, 则a100= n 变式4.(25-26高三上贵州遵义·阶段练习)设数列a}满足a1=1,且a+1-an=n+1,则数列 1 ,前6项的和 a 为 变式5.(25-26高三上湖南长沙阶段练习)记数列{an}的前n项之积为T,已知T+1-Tn=2n,且4=1，则 a6= 变式6，(25-26高三上贵州遵义·阶段练习)已知首项为1的正项数列(a}满足a1-a后=8n. (I)求{an}的通项公式： 2令，=ueN),求数列{b,的前n项和S. anan+ 数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 变式7.(25-26高三上·吉林延边开学考试)已知正项数列an}满足a1=1,a+1-an=2n+1 (I)求{an}的通项公式； (2)求{ a2-a1的前n项和S anan2 数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 考点二 累乘法 例1.(2526高三上河北保定：期中)已知S为数列0，的前n项和，a=2,3S,=n+2)a,则。++元+。=（） B.3 C. 4 3 D. 4 5 2 例2.(2025四川绵阳·模拟预测)已知Sn为数列{an}的前n项和，若nan=S.-1+1(n≥2)，a1=0,则S2,等于() A.2026 B.2025 C.0 D.1013 例3.(2425高二下上海奉贤阶段练习)已知数列a满足a=la4=2+24,则{a,的通项公式为 n 例4.(24-25高二上江苏连云港期末)己知数列{an}中，a1=4,(n+1)a+1=(n+2)a,，则an= .Q526高三上内蒙古赤峰：期中)已知数列4，满足：4三)2n01=(m+)a (I)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn; (2)记x表示不超过x的最大整数，若T,=S,-[S],证明T,<1. 数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 例6.(2025浙江宁波一模)记Sn为正项数列{an}的前n项和，已知4Sn=a+2a,-3 (I)求数列{an}的通项公式： 2若数列b,满足A=1,A1=b,求证：么+b+6++b,<弓 an+2 变式1.(2425高二下-广东阶段练习)记S为首项为1的数列a,的前n项和，且S=m,则3。=(） a A. 60 B.20 c. D. 50 变式2.2425商二下广东深圳阶段练习)在数列a中，4=1，a,=,n≥2，m∈N,则数列a的通项 公式为() 2 A. 1 B.n(n+1) D.2 2n-1 n n+1 变式3.(25-26高二上甘肃平凉阶段练习)已知数列an}满足a=1,nan=(n+2)an1,则数列(an}的通项公式是 式4：(24-25高三下-四广安阶段练习）数列a,中，若42,0n+则2024as 6 数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 变式5.(25-26高三上湖北期中)已知数列{a,的首项4=1，且满足a-2”- -nEN' ant 2n+1 (1)求数列{an}的通项公式； 2若1+1+…+1<9 aa,a,a,a,a,19,求满足条件的最大整数n的值 变式6.(25-26高三上江苏徐州期中)已知数列an}的前n项和为Sn,a,=1,3Sn=(n+2)a. (I)求数列{an}的通项公式： (2)求数列{(-1)”an}的前2n项和Tn 数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 考点三 Sn与a的关系 例1.(25-26高二上江苏苏州期中)已知数列(a,}的前n项和Sn满足4Sn+a。+2-2nan,n∈N.其中a2=6 (1)求a1,a3的值. (2)求证：数列{an}为等差数列. (3)证明：不等式√4a.n+1-√a.a,≥1对任意的正整数m,n都成立. 例2.(25-26高二上陕西西安期中)己知数列{an}的前n项和Sn=-n2+10n+2(n∈N (1)求数列{an}的通项公式： (2)设Tn=la+la2+a+…+a,求Tn 数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 例3.(2526高三上山东泰安期中)已知数列a,的前n项和为S,S,=+3n,数列6，}的各项均为正数，且 2 b=2,2bn2-(bn1-2）bn-bn1=0. (1)求数列{an},{bn}的通项公式： a,b n为奇数 (2)设cn=(2-3n)bn n为偶数'求数列c,}的前2n项和T. an-an+l (3)若对于任意的neN,不等式nan-元(an-l)(n+2)-6<0恒成立.求实数入的取值范围. 例4.（24-25高二上·云南昆明期中)己知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an-2. (1)求a,和a2; (2)求数列{an}的通项公式 9 数列：累加法、累乘法、Sn与an的关系、数列递推问题专项训练 变式1.(25-26高二上福建莆田期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,Sn=an+n2-n (1)求数列{an}的通项公式： ②设b,=1（n≥2).求和T,=b,+b++. an·am-l 变式2.(2526高二上福建宁德期中)已知数列{a,}的前n项和为S, 是首项为3，公差为1的等差数列 n (1)求a2,a3的值； (2)求{an}的通项公式： (3)若数列bn}满足b1-b,=am+1,且b=3,求数列 的前n项和Tn b ⊙