13.1.2 直角三角形的判定课件2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

13.1 勾股定理及其逆定理 第13章 勾股定理 华东师大版（2024）八年级上册 2.直角三角形的判定 情境引入 1.了解直角三角形的判定条件．（重点） 2.能够运用勾股数解决简单实际问题．（难点） 核心素养目标 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) 你想知道这是什么道理吗? 据说,古埃及人曾用下面的方法画直角： 他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个 工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住 第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形,其 直角在第4个结处. 问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角? 导入新课 问题：试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形： (1)a=3,b=4,c=5; (2)a=4,b=6,c=8; (3)a=6,b=8,c=10. 可以发现，按（1）、（3）所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按（2）所画的三角形不是直角三角形. 讲授新课 4 这三组数都满足 a2+b2=c2吗？ 在这三组数据中，（1）、（3）两组数据恰好都满足a2+b2=c2. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个 三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角. 对于任意一个三角形，若三边长满足 a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形吗？ B′ C′ 例1 已知：如图，在△ABC中，AB=c, BC=a, AC=b，a²+b²=c²，求证：∠C=90°. A B C A′ 证明：如图，作△A'B′C′,使∠C′=90° A′C′=b，B′C′=a， 则A′B′²=a²+b²=c²， 即A′B′=c. 在△ABC和△A′B′C′中， ∵BC=a=B′C′， AC=b=A′C′， AB=c=A′B′， ∴△ABC≌△A′B′C′. ∴∠C=∠C′=90°. 典例精析 分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方. 例2 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形? (1) a=7，b=25，c=24; (2) a=13，b=11，c=9. 解:(1)最长边为25， ∵a2+c2=72+242 =49+576 =625， b2=252 =625， ∴a2+c2=b2. ∴以7, 25, 24为边长的 三角形是直角三角形. (2)最长边为13， ∵b2+c2=112+92 =121+81 =202， a2=132 =169， ∴b2+c2≠a2. ∴以13, 11, 9为边长的 三角形不是直角三角形. 例 3 一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示,你说这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图1 图2 8 在△BCD中， 所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 解：在△ABD中， 所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角. 例4 已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1（n为大于1的正整数）. 试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)² =n4 -2n²+1+4n² =n4 +2n²+1 =(n²+1)² =AC²， ∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角. 先确定AB、BC、AC、 的大小 能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数.例如3 ,4 ,5 ；6, 8, 10； n²-1,2n,n²+1(n为大于1的正整数)等都是勾股数. 讲授新课 例5 下列各组数是勾股数的是( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可. 典例精析 一定是直角三角形 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形. 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数 课堂小结 1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(  ) A．3，4，5    B．2，3，4 C．4，6，7    D．5，11，12 A 当堂练习 C 3．已知△ABC的三边长为a，b，c，满足a＋b＝10，ab＝18，c＝8，则此三角形为________三角形. 直角 解：∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝42－2×1＝14＝c2，∴△ABC是直角三角形 5．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5. (1)求△ABC的周长； (2)△ABC是不是直角三角形？为什么？ 解：(1)在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2，AC2＝AD2＋CD2.又∵AD＝12，BD＝16，CD＝5，∴AB＝20，AC＝13.∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BD＋DC＝20＋13＋16＋5＝54　(2)∵AB＝20，AC＝13，BC＝21，∴AB2＋AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形 6．请完成以下未完成的勾股数： (1)8，15，____；(2)10，____，26. 7．满足条件a2＋b2＝c2的一组正整数a，b，c称为勾股数，下列各组数中，不是勾股数的是(  ) A．5，12，13    B．6，8，10 C．7，24，25    D．9，30，31 8．若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定还是勾股数的是(  ) A．a＋2，b＋2，c＋2    B．a2，b2，c2 C．3a，3b，3c    D．a－2，b－2，c－2 17 24 D C 9．对于任意两个正整数m，n(m＞n)，下列各组三个数为勾股数的一组是(  ) A．m2＋mn，m2－1，2mn B．m2－n2，2mn，m2＋n2 C．m＋n，m－n，2mn D．n2－1，n2＋mn，2mn B 10．(复习题11变式)已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，则它的形状为( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 D 11．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是(  ) C 12．如图，P是等边△ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为PP′＝____，∠APB＝________度． 6 150 点拨：连结PP′，易知△AP′P是等边三角形， ∴P′P＝6，∠APP′＝60°， 由△PAC≌△P′AB得P′B＝PC＝10， 在△PP′B中，易知有P′P2＋PB2＝P′B2， ∴∠BPP′＝90°， ∴∠APB＝60°＋90°＝150° 13．(复习题8变式)如图所示的一块地ABCD，已知AD＝4 m，CD＝3 m，∠ADC＝90°，AB＝13 m，BC＝12 m，求这块地的面积． 解：24 m2 14．(例题4变式)如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且BE＝3CE.试判断△AEF的形状，并说明理由． 解：△AEF是直角三角形，理由如下： 设CE＝a，则BE＝3a， 正方形ABCD的边长为4a，DF＝CF＝2a， ∵AF2＋EF2＝(AD2＋DF2)＋(CE2＋CF2) ＝[(4a)2＋(2a)2]＋[a2＋(2a)2] ＝25a2， AE2＝AB2＋BE2＝(4a)2＋(3a)2＝25a2， ∴AF2＋EF2＝AE2， ∴∠AFE＝90°，即△AEF是直角三角形 16．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： (1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含自然数n(n＞1)的式子表示：a＝__________，b＝____，c＝_________； (2)猜想以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想． n2－1 2n n2＋1 解：(2)以a，b，c为边的三角形是直角三角形． 证明：∵(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2， 即符合a2＋b2＝c2， ∴以a，b，c为边(即以n2－1，2n，n2＋1为边)的三角形是直角三角形 2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( ) A．∠A＝∠B－∠C B．a∶b∶c＝1∶ eq \r(3)∶2 C．a∶b∶c＝1∶2∶2 D．b2＝a2－c2 4．(例题4变式)如图所示，已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a＋b＝4，ab＝1，c＝ eq \r(14)，试判断△ABC的形状． 15．已知△ABC的三边a＝m－n(m＞n＞0)，b＝m＋n，c＝2 eq \r(mn). (1)求证：△ABC是直角三角形； (2)利用第(1)题的结论，写出两组m，n的值，要求三角形的边长均为整数． 解：(1)∵a＝m－n(m＞n＞0)，b＝m＋n，c＝2 eq \r(mn)， ∴(m－n)2＋(2 eq \r(mn))2＝m2＋n2－2mn＋4mn＝(m＋n)2，即a2＋c2＝b2， ∴△ABC是直角三角形　 当m＝4，n＝1时，三角形的边长为3，4，5； 当m＝9，n＝4时，三角形的边长为5，12，13 $