精品解析：江西省景德镇市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

景德镇市2025-2026学年度上学期期中质量检测卷 九年级数学 说明：本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 菱形的周长为，其中一个内角为，则该菱形较短的对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，属于基础题，注意有一个内角为的菱形，连接对角线可得出等边三角形．根据菱形有一个内角为，可得这条较短对角线与菱形的两条边构成等边三角形，由此可得出答案． 【详解】解：由题意可知，菱形的边长为， ∵菱形的一个内角是， ∴角所对的对角线与菱形的两边构成的三角形是等边三角形， ∴这个菱形较短的对角线长是． 故选：C． 2. 已知，为一元二次方程的两实数根，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与积，再逐一验证各选项． 【详解】解：∵方程的根为， ∴，， A．，故错误； B．，故错误； C．，故错误； D．，故正确； 故选：D． 3. 夏天同学在教练的指导下进行了大量重复射击训练，用频率估计他命中环的概率为，则下列说法中正确的是（ ） A. 夏天射击次，不一定会命中环 B. 夏天射击次，一定不会命中环 C. 夏天射击次，一定有次命中环 D. 夏天射击次，一定能命中环 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率的基本概念，主要涉及对用频率估计概率的理解，以及随机事件概率与事件发生可能性之间的关系．理解概率是描述事件发生可能性的度量，而不是确定某次或某几次试验结果的依据．概率为并不意味着在特定次数的试验中，事件一定会按照概率比例发生．根据概率的定义和性质，对每个选项进行分析判断．概率表示一个事件在大量重复试验中发生的可能性大小，但对于单次试验或有限次试验，实际结果具有不确定性，不能根据概率值确定必然会出现某种结果． 【详解】解：选项A：夏天命中环的概率为，这意味着射击次时，命中环是一个随机事件，有可能发生，也有可能不发生，所以不一定会命中环，该选项符合题意． 选项B：虽然命中环的概率是，但射击次仍有的可能性命中环，不是一定不会命中环，该选项不符合题意． 选项C：夏天射击次，命中环的次数是不确定的随机事件．虽然概率为，理论上平均可能命中次，但实际射击中不一定恰好有次命中环，该选项不符合题意． 选项D：射击次，命中环是随机事件，不是必然事件，不一定能命中环，该选项不符合题意． 故答案为：A． 4. 如图，小华在自己的练习本上画了一个，在边上取一点，作，已知点A、B、C、D、E均在网格线上，网格线的宽度忽略不计，小华用尺子测得，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练相似三角形的判定与性质是解题的关键． 作交于，交于，易得，由相似三角形的性质可得，进而计算即可． 【详解】解：如图，作交于，交于， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，即 解得． 故选：B． 5. 因我市成为旅游热门城市，某公司计划第三季度（7月、8月、9月）在我市投放一批共享电动车，已知7月份投放共享电动车300辆，第三季度一共投放了1200辆，若每月按相同的增长率投放，设增长率为，由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解增长率问题是解题关键．第三季度包括7月、8月、9月三个月，设增长率为x，每月投放量按相同增长率x增长，总投放量为1200辆．因此，方程应为三个月投放量之和等于1200． 【详解】解：设增长率为x， 由题意可知，7月投放量：300辆， 则8月投放量：辆，9月投放量：辆， ∴总投放量：， 故选：D． 6. 如图，点为正方形对角线上一动点，过点作，垂足为点，连接，，其中与交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接．已知正方形的边长为6，当四边形的周长最短时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，根据正方形的性质得到，，证明，得到，可得四边形的周长，可知当四边形的周长最短时，最短，即，此时P为中点，证得和，根据相似三角形的性质得到，求出，然后利用勾股定理求得，结合，得到，即可求得． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的周长，为定值， ∴当四边形的周长最短时，最短， 即， ∵， ∴P为中点， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵正方形的边长为6， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握各知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 8. 物理老师在复习《物质的形态及其变化》这一章内容时，将写有“汽化”“液化”“熔化”“升华”字样的卡片背面朝上吸附在黑板上（背面完全一样），小明和小颖先后抽取一张卡片（不放回），则抽到的卡片内容对应的物态变化过程都是要吸热的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法和概率公式，熟练掌握列举法是解题的关键．首先确定吸热的物态变化过程为汽化、熔化和升华，共3张卡片，放热的为液化，1张卡片；再列举小明和小颖先后抽取不放回时，两人抽到卡片的所有情况，利用概率公式计算即可； 【详解】解：总共有4张卡片，小明先抽一张，小颖再抽一张，不放回，因此总共有种可能的结果：汽化和熔化，汽化和升华，汽化和液化，熔化和汽化，熔化和升华，熔化和液化，升华和汽化，升华和熔化，升华和液化，液化和汽化，液化和熔化，液化和升华； ∵吸热的物态变化过程有汽化、熔化和升华，共3张卡片， ∴两人都抽到吸热卡片的情况有种， ∴两人都抽到吸热卡片的概率为． 故答案为：． 9. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 分两种情况讨论：当时，方程变为一次方程，有实数根；当时，方程为一元二次方程，利用根的判别式求解． 【详解】解：当，即时，方程为，解得，有实数根； 当，即时，方程为一元二次方程，判别式， 由得，解得， 综上，实数的取值范围是． 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，以原点为位似中心，将各边放大为原来的2倍得到，则的面积为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查位似变换． 以原点为位似中心，将图形放大为原来的2倍，相似比为2，面积比为相似比的平方，即4．先计算的面积，再乘以4得到的面积． 【详解】的顶点坐标为、、， 其面积为． 将各边放大为原来的2倍得到，则面积比为4， 因此的面积为． 故答案为：6． 11. 20世纪70年代，优选法经著名数学家华罗庚倡导在我国得到了较大规模的推广，取得了优异的成果．如图，在中，，，的平分线交于点，点即为线段的黄金分割点．若，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，掌握黄金比是解题的关键．根据点为线段的黄金分割点得到，求出，即可求出． 【详解】解：∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 12. 已知等腰三角形的底角，且在直线上有一点（不与点、重合），使得，则_______． 【答案】或或2 【解析】 【分析】该题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识点，根据题意分三种情况画图求解即可． 【详解】解：∵， 设． ①如图，等腰，，过点作， 则， ∴，， ∴， ∴． ②如图，等腰，，过点作， 同理，，， ∴， ∴． ③如图，等腰，，过点作与相交于点， ∵，， ∴， ∴， 即点P与点D重合， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵． ∴，, ∴． 故答案为：或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解即可； （2）直接运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴，． 14. 如图，是直角三角形，且，是斜边的中线，求证：． 【答案】 证明：如图，延长至，使得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质．延长至，使得，证明四边形是矩形，可得，即可求证． 【详解】略 15. 我省城市足球超级联赛“赣超”以蓬勃之势席卷全省，成为激活地方体育活力、点㦓群众运动热情的重要引擎．在这股火热的氛围带动下，我省某市成立了12支企事业单位足球队；根据足球比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，倒数第二轮比赛后积分位于前3名的分别是A队26分，B队26分，C队25分，D队22分；在最后一轮的比赛中，他们分别和第4名以后的球队进行比赛，最新消息：B队已和对手打平； （1）已知D队获得亚军是_____事件（填“必然”“随机”“不可能”）； （2）请用列表或画树状图的方法，计算C队夺得冠军的概率是多少？ 【答案】（1）不可能 （2） 【解析】 【分析】本题考查了事件的判断，列表法或画树状图法求概率． （1）目前D队排名最后，取最理想情况判断即可； （2）列出表格，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：倒数第二轮比赛后A队26分，B队26分，C队25分，D队22分， 即使在最后一轮的比赛中，D队胜利、C队失败，使得C队25分，D队25分，D队也只能得到季军， 即D队获得亚军是不可能事件， 故答案为：不可能； 【小问2详解】 解：由题意，列出表格： 队伍 积分 A队 B队 C队 胜 29 × 28 负 26 × 25 平 27 27 26 由表格可知三队最终得分共有9种情况，且当A，B，C三队得分分别为26，27，28或27，27，28时，C队夺冠，则． 16. 如图，矩形的对角线与菱形的边在同一条直线上，且． （1）在图1中，找出线段的中点． （2）在图2中，找出线段上的一个三等分点． 【答案】（1） 如图，点为所求； （2） 如图，点即为所求， 【解析】 【分析】（1）利用矩形对角线互相平分的性质找到AC中点，再结合菱形对边平行的性质，通过构造平行四边形确定BC的中点． （2）借助菱形的角度和边长关系，构造相似三角形或利用线段比例，确定BC的三等分点． 【小问1详解】 解：证明：令交于，连接， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∵四边形BCEF是菱形， ∴，， ∵， ∴△CEF是等边三角形， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴M是BC的中点； 【小问2详解】 解：证明：由（1）得，，，， ∴，． ∴，， ∴， ∴，即是线段的一个三等分点． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的性质，利用图形的平行、相等关系构造中点或比例线段是解题的关键． 17. 已知，，满足，求的值． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质、一元一次方程等知识点，掌握比例的基本性质是解题的关键． 当，则，进而得到，然后求解；②当时，不防令，则． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ②当时，不防令，则． 综上，k值1或． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，，过的中点作交的平分线于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接，根据平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边可得，再根据直角三角形的性质证明是等边三角形可得；易证四边形为平行四边形，再结合即可证明结论； （2）先说明，由菱形的性质可得，，进而得到，最后根据菱形的性质求面积即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：如图：设相交于点O， ∵是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 19. 如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． （1）求花圃四周绿地的宽度； （2）矩形与矩形相似吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 矩形与矩形不相似，理由如下： 由（）知，，则矩形的长为米，宽为米． 原矩形的长与宽的比值为，矩形的长与宽的比值为． ∵ ∴矩形与矩形不相似 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似多边形的判定，熟练掌握矩形的面积公式和相似多边形的定义是解题的关键． （1）设花圃四周绿地的宽度为米，根据矩形面积公式，分别表示出花圃的长和宽，再结合花圃面积是原绿地面积的一半列出方程求解． （2）先求出矩形的长和宽，再根据相似多边形的定义，判断对应边的比例是否相等，对应角是否相等（矩形的内角都是直角，对应角相等）． 【小问1详解】 解：设花圃四周绿地的宽度为米．则花圃的长为米，宽为米．由题意得 ， ， 解得或， ∵绿地的宽度不能超过原矩形的宽度，即，解得， ∴， 答：花圃四周绿地的宽度为； 【小问2详解】 解：略． 20. 如图，矩形的对角线交于点，在上取一点，使． （1）当为多少度时，四边形为正方形？ （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，正方形的判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据等边对等角，结合正方形的判定方法，进行求解即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出和的长，进而得到的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：当时，四边形为正方形，理由如下： ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴四边形为正方形； 【小问2详解】 在中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图是凸透镜成像示意图，蜡烛通过凸透镜所成的像是（），点是凸透镜的中心，光线，，点是凸透镜的焦点，已知焦距的长为，蜡烛的长为，点，，，在同一条直线上． （1）如图，当蜡烛通过该凸透镜成正立放大的虚像时，若． ①填空：的值为_______；②求此时虚像的高度； （2）如图，当蜡烛通过该凸透镜成倒立缩小的实像，且时，求此时物距的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质在凸透镜成像中的应用，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质，结合凸透镜成像的特点分析线段关系是解题的关键． （1）①通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求的值．②利用相似三角形的对应边成比例，结合已知条件求虚像的高度． （2）证明三角形相似，根据相似三角形的性质和已知的像与物的长度关系，结合焦距求解物距的长． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 【小问2详解】 解：∵，蜡烛的长为， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴即 ∴， ∴， ∵， ∴． ∴即， 解得． 22. 利用配方法解一元二次方程是一种有效的手段，其实配方法还有其他的重要应用．例如，对于二次三项式，可以配方为，即，而对于任意实数都有，所以，即有最小值3； （1）试说明，无论取何值，二次根式恒有意义； （2）为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如测量数据为，，，时，设最佳值为，那么的值应为最小，求出此时的值； （3）若某次实验测量了6次，由这6次数据的得到的最佳值为4；又测量了4次，这4次数据得到的最佳值为6，则利用这10次数据得到的最佳值应为多少？ 【答案】（1） 解：∵， ∴二次根式恒有意义； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，配方法：根据完全平方公式为，二次项系数为1的多项式配成完全平方式是加上一次项系数一半的平方，注意等式是恒等变形是解题关键． （1）将配方即可解答． （2）化简，配方后的，即可解答； （3）设最佳值为，根据前6次数据的得到的最佳值为4，得出其与前6个数据的差的平方和可表示为，同理，其与后4个数据的差的平方和可表示为，化简得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 而， 故当时，有最小值为； 【小问3详解】 解：设最佳值为， ∵前6次数据的得到的最佳值为4， ∴其与前6个数据的差的平方和可表示为， 同理，其与后4个数据的差的平方和可表示为， ∴； 故当时原式取得最小值， 所以最佳值应为． 六、（本题12分） 23. 马超同学在学习完相似三角形的性质后，对相似三角形的面积关系展开如下探究： （1）如图1，的两条中线与交于点，连接，则________；若的面积为12，则四边形的面积为_________； （2）如图2，已知点是的重心，过点作的平行线交于点，连接并延长交于点，_________； （3）如图3，在等腰中，点是边上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转，交边于点E，连接；过点作边的平行线交线段的延长线于点； ①若，求； ②若，请直接写出的值． 【答案】（1）2；9 （2） （3）①，② 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、三角形重心的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据中线的性质以及三角形中位线的判定可得、，易得，，即可求得的值；先根据相似三角形的性质求得，再根据面积的和差即可解答； （2）由重心的性质可得，，再证明可得，再结合即可证明结论； （3）①先证明可得，即，最后运用算术平方根的性质求解即可；②先证明可得，即；设，则，；，最后代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵的两条中线与交于点， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； ∵， ∴，即，解得：， ∴四边形的面积为． 故答案为：2，9． 【小问2详解】 解：∵点是的重心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵等腰中， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 设，则，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇市2025-2026学年度上学期期中质量检测卷 九年级数学 说明：本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 菱形的周长为，其中一个内角为，则该菱形较短的对角线的长为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，为一元二次方程的两实数根，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 夏天同学在教练的指导下进行了大量重复射击训练，用频率估计他命中环的概率为，则下列说法中正确的是（ ） A. 夏天射击次，不一定会命中环 B. 夏天射击次，一定不会命中环 C. 夏天射击次，一定有次命中环 D. 夏天射击次，一定能命中环 4. 如图，小华在自己的练习本上画了一个，在边上取一点，作，已知点A、B、C、D、E均在网格线上，网格线的宽度忽略不计，小华用尺子测得，则长为（ ） A. B. C. D. 5. 因我市成为旅游热门城市，某公司计划第三季度（7月、8月、9月）在我市投放一批共享电动车，已知7月份投放共享电动车300辆，第三季度一共投放了1200辆，若每月按相同的增长率投放，设增长率为，由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点为正方形对角线上一动点，过点作，垂足为点，连接，，其中与交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接．已知正方形的边长为6，当四边形的周长最短时，的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一元二次方程的根是______． 8. 物理老师在复习《物质的形态及其变化》这一章内容时，将写有“汽化”“液化”“熔化”“升华”字样的卡片背面朝上吸附在黑板上（背面完全一样），小明和小颖先后抽取一张卡片（不放回），则抽到的卡片内容对应的物态变化过程都是要吸热的概率是______． 9. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是_______． 10. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，以原点为位似中心，将各边放大为原来的2倍得到，则的面积为________． 11. 20世纪70年代，优选法经著名数学家华罗庚倡导在我国得到了较大规模的推广，取得了优异的成果．如图，在中，，，的平分线交于点，点即为线段的黄金分割点．若，则_______． 12. 已知等腰三角形的底角，且在直线上有一点（不与点、重合），使得，则_______． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）； 14. 如图，是直角三角形，且，是斜边的中线，求证：． 15. 我省城市足球超级联赛“赣超”以蓬勃之势席卷全省，成为激活地方体育活力、点㦓群众运动热情的重要引擎．在这股火热的氛围带动下，我省某市成立了12支企事业单位足球队；根据足球比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，倒数第二轮比赛后积分位于前3名的分别是A队26分，B队26分，C队25分，D队22分；在最后一轮的比赛中，他们分别和第4名以后的球队进行比赛，最新消息：B队已和对手打平； （1）已知D队获得亚军是_____事件（填“必然”“随机”“不可能”）； （2）请用列表或画树状图的方法，计算C队夺得冠军的概率是多少？ 16. 如图，矩形的对角线与菱形的边在同一条直线上，且． （1）在图1中，找出线段的中点． （2）在图2中，找出线段上的一个三等分点． 17. 已知，，满足，求的值． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，，过的中点作交的平分线于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 19. 如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． （1）求花圃四周绿地的宽度； （2）矩形与矩形相似吗？请说明理由． 20. 如图，矩形的对角线交于点，在上取一点，使． （1）当为多少度时，四边形为正方形？ （2）若，，求的长． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图是凸透镜成像示意图，蜡烛通过凸透镜所成的像是（），点是凸透镜的中心，光线，，点是凸透镜的焦点，已知焦距的长为，蜡烛的长为，点，，，在同一条直线上． （1）如图，当蜡烛通过该凸透镜成正立放大的虚像时，若． ①填空：的值为_______；②求此时虚像的高度； （2）如图，当蜡烛通过该凸透镜成倒立缩小的实像，且时，求此时物距的长． 22. 利用配方法解一元二次方程是一种有效的手段，其实配方法还有其他的重要应用．例如，对于二次三项式，可以配方为，即，而对于任意实数都有，所以，即有最小值3； （1）试说明，无论取何值，二次根式恒有意义； （2）为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如测量数据为，，，时，设最佳值为，那么的值应为最小，求出此时的值； （3）若某次实验测量了6次，由这6次数据的得到的最佳值为4；又测量了4次，这4次数据得到的最佳值为6，则利用这10次数据得到的最佳值应为多少？ 六、（本题12分） 23. 马超同学在学习完相似三角形的性质后，对相似三角形的面积关系展开如下探究： （1）如图1，的两条中线与交于点，连接，则________；若的面积为12，则四边形的面积为_________； （2）如图2，已知点是的重心，过点作的平行线交于点，连接并延长交于点，_________； （3）如图3，在等腰中，点是边上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转，交边于点E，连接；过点作边的平行线交线段的延长线于点； ①若，求； ②若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $