精品解析：吉林地区普通高中友好学校联合体2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷

吉林地区普通高中友好学校联合体第四十一届基础年级期中联考 （2025-2026学年度上学期） 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知直线经过点，斜率为，则直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线斜率和直线在轴上截距，求直线的斜截式方程. 【详解】直线经过点，则直线在轴上截距为4，又直线斜率为， 则直线方程是. 故选：A 2. 在空间直角坐标系中，，，若∥，则x的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可； 【详解】解：依题意，即，所以，解得 故选：D 3. 若椭圆的长轴比短轴长，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断与的值，再由即可求得. 【详解】因为，所以， 所以结合椭圆方程，可得，，即，， 由题意可知，即，解得． 故选：D. 4. 已知圆 圆 则这两圆的圆心距为（ ） A. 5 B. 25 C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆的标准方程来确定圆心坐标，利用两点间距离公式，来求出圆心距即可. 【详解】由圆 可得圆心坐标为， 由圆 整理得：，可得圆心坐标为， 所以两圆的圆心距为， 故选：A. 5. 已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的性质可得椭圆上的点到右焦点距离最小值为，即可求出，再根据，即可得解； 【详解】解：根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为， 即 ，又，所以， 由，所以； 故选：A 6. 已知直线：和圆：，若点在圆上运动，则其到直线的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出点到直线：的距离为，点在圆上运动，则其到直线的最短距离为，求解即可. 【详解】圆：的圆心， 所以点到直线：的距离为， 所以点在圆上运动，则其到直线最短距离为：. 故选：A. 7. 在直角坐标系中，椭圆右焦点为是上一点，且轴，若直线的斜率为2，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，借助斜率坐标公式列式计算即得. 【详解】依题意，点在第一象限，设，则，解得， 由直线的斜率为2，得，即，于是， 即，又，解得， 所以的离心率为. 故选：B 8. 若双曲线的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用渐近线与圆相切得到圆心到渐近线的距离，列出方程得到a和b的关系，再由a，b，c的关系得到a和c的关系，最后求除双曲线的离心率即可． 【详解】取双曲线的渐近线，即， ∵双曲线（，)的渐近线与相切， ∴圆心到渐近线的距离， ∴，化为， 两边平方得， 再由a，b，c的关系可得即， ∴，又，所以. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线简单几何性质的应用，考查直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于常考题. 二、多选题 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量坐标运算法则求解即可． 【详解】因为向量，， 所以，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：AD 10. 已知直线：，：，则（ ） A. 若，则的一个方向向量为 B. 若，则或 C. 若，则 D. 恒过定点 【答案】AC 【解析】 【分析】将代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断选项B、C；将化简得，结合一次函数的性质可判断D. 【详解】对于A，当，直线：，斜率为，则其一个方向向量为，故A正确； 对于B，若，当时，显然不符合题意， 当时，即直线的斜率为，直线的斜率为，则有， 所以，解得或； 当时，直线：，：，显然两直线重合，故B错误； 对于C，若，当时，显然不符合题意； 当时可得，解得，即C正确； 对于D，将化简得，可知当时，直线过，即不论为何值时，直线恒过定点，即D错误； 故选：AC 11. 已知椭圆的离心率为，是的焦点，是上一动点，是圆上一动点，则（ ） A. B. 的焦距为 C. 的最小值为1 D. 的最大值为5 【答案】AC 【解析】 【分析】先利用椭圆的几何性质，求得，得到，由椭圆的定义，可判定A正确；由椭圆的焦距为，可判定B不正确；由圆的方程，得到圆心坐标为，半径，设点，求得，得到，结合二次函数的性质和圆的性质，可判定C正确，D不正确. 【详解】由椭圆：的离心率为，可得， 解得，所以，则， 对于A中，由椭圆的定义，可得，所以A正确； 对于B中，椭圆的焦距为，所以B不正确； 对于C中，如图所示，圆，则圆心为，半径， 设点，其中，则满足，可得， 则， 当时，取得最小值，，此时，所以C正确； 当时，取得最大值，，此时，所以D不正确. 故选：AC. 三、填空题 12. 求经过两点的直线方程___________. 【答案】 【解析】 【分析】可由两点式写出直线方程，然后化简． 【详解】直线方程为，即． 【点睛】本题考查直线方程的两点式，掌握两点式是解题关键．两点式为． 13. 已知，，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积公式求，再利用数量积的坐标表示求模. 【详解】因为，所以，解得 所以，. 故答案为： 14. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则的面积为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意和双曲线标准方程可推出椭圆的值，根据椭圆与双曲线定义可求出的值，根据三边关系即可求出面积. 【详解】由题可知，的离心率为2，则的离心率为，则. 根据对称性，不妨设在第一象限，则，解得， 则，所以为直角三角形， 则的面积为. 故答案为：6. 四、解答题 15. 已知点P(-1，4)，Q(3，2). （1）求以PQ为直径的圆N的标准方程； （2）过点M(0，2)作直线l与（1）中的圆N相交于A，B两点，若，求直线l的方程. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】 （1）圆心N为线段PQ的中点，求出圆N的半径即可写出圆的标准方程；（2）当直线斜率不存在时求出，符合条件；当直线斜率存在时设直线方程为，利用勾股定理求出圆心到直线的距离d，再利用点到直线的距离公式即可求得斜率k，从而写出直线方程. 【详解】（1）方法1：以PQ为直径的圆方程为， 化解得：， 则圆N的标准方程为：. 方法2：圆心N的坐标(1，3)，直径， 则圆N的标准方程为：. （2）①当直线斜率不存在时，方程为，解得，，符合条件； ②当斜率存在时，设直线方程为， 设圆心到直线距离为d，由，则，得， 又，解得，此时直线方程为. 所以直线方程为或. 16. 如图所示，在直三棱柱中，分别为棱，的中点. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 证明：如图以为坐标原点，、、分为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，，， 设平面的法向量为，则，即，令则， 设平面的法向量为，则，即，令则， 因为，所以， 所以平面平面. 【小问2详解】 解：由（1）知平面的法向量为， 显然平面的法向量可以为， 所以， 所以，所以二面角的正弦值为. 17. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点到的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于，两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由双曲线实轴长为2可得，再利用右焦点到的距离为可得，即可求得双曲线的方程； （2）联立直线和双曲线方程容易解出，两点坐标即可求得的面积. 【小问1详解】 设双曲线的焦距为， 因为双曲线的实轴长为2，所以，解得. 因为右焦点到的距离为，所以，解得或. 因为，所以.可得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 设，， 联立直线和双曲线可得， 即，或 不妨设，，所以. 所以. 即的面积为 18. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面ABC； （2）若点在线段BC上（异于点，），平面与平面的夹角为，求的值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，求出各边长，由勾股定理逆定理得到⊥，结合⊥，得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设，，求出平面的法向量，利用面面角的余弦值得到方程，求出，得到. 【小问1详解】 连接， 因为，，所以， 由勾股定理逆定理得， 故， 因为，所以为等边三角形， 又为的中点， 所以⊥，且， 因为，所以， 由勾股定理逆定理得⊥， 因为，平面， 所以⊥平面； 【小问2详解】 因为，为的中点， 所以⊥， 由（1）可知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， 故， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，故 平面的法向量为， 所以， 因为平面与平面的夹角为， 故，解得，负值舍去， 故 19. 在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点和上顶点分别为，点是直线上的动点，设直线斜率分别为. （1）求椭圆的离心率； （2）求证：为定值； （3）若直线与椭圆的另一个交点分别为，试判断直线与直线的位置关系. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）平行 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程及离心率公式计算即可； （2）利用两点斜率公式计算即可； （3）设直线方程、方程与椭圆联立，结合（2）的结论及韦达定理表示出C、D坐标，计算其斜率即可判定两直线关系. 【小问1详解】 设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为：， 则由； 小问2详解】 不妨设， 又， 则，即为定值； 【小问3详解】 设， 联立直线与椭圆C方程， 所以， 设， 同理联立直线与椭圆C方程， 所以 ， 所以， 易知，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林地区普通高中友好学校联合体第四十一届基础年级期中联考 （2025-2026学年度上学期） 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知直线经过点，斜率为，则直线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，，，若∥，则x的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 5 D. 4 3. 若椭圆的长轴比短轴长，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆 圆 则这两圆的圆心距为（ ） A. 5 B. 25 C. 10 D. 5. 已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知直线：和圆：，若点在圆上运动，则其到直线的最短距离为（ ） A B. C. D. 7. 在直角坐标系中，椭圆的右焦点为是上一点，且轴，若直线的斜率为2，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若双曲线的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 二、多选题 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线：，：，则（ ） A. 若，则的一个方向向量为 B. 若，则或 C. 若，则 D. 恒过定点 11. 已知椭圆离心率为，是的焦点，是上一动点，是圆上一动点，则（ ） A. B. 的焦距为 C. 的最小值为1 D. 的最大值为5 三、填空题 12. 求经过两点的直线方程___________. 13. 已知，，且，则_____． 14. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则的面积为__________. 四、解答题 15 已知点P(-1，4)，Q(3，2). （1）求以PQ为直径的圆N的标准方程； （2）过点M(0，2)作直线l与（1）中的圆N相交于A，B两点，若，求直线l的方程. 16. 如图所示，在直三棱柱中，分别为棱，中点. （1）证明：平面平面； （2）求二面角正弦值. 17. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点到的距离为. （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于，两点，求的面积. 18. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面ABC； （2）若点在线段BC上（异于点，），平面与平面的夹角为，求的值． 19. 在平面直角坐标系中，椭圆的右顶点和上顶点分别为，点是直线上的动点，设直线斜率分别为. （1）求椭圆的离心率； （2）求证：为定值； （3）若直线与椭圆的另一个交点分别为，试判断直线与直线的位置关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $