精品解析：四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2026届高三上学期10月月考数学试题

2025-2026学年度成都市锦江区嘉祥外国语高级中学 高2023级高三上10月月考考试 数学学科试题题卷 注意事项： 1.开考前，请先将自己的个人信息填写在答题卡的相应位置. 2.请使用考试规定用笔进行作答，否则后果自负. 3.不得污染，折叠答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求集合A，再根据交集运算求解. 详解】由题意可得：，所以. 故选：B. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 3. 已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则= A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积. 【详解】由，，得，则，．故选C． 【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大． 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性和零点存在定理，即可求得函数的零点所在的区间. 【详解】因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 所以在上单调递减. ， 当时，， ， ， 因为，所以， ， 所以，所以的零点所在区间为. 故选：C． 5. 已知圆M：，圆N：，圆N上存在点P，过P作圆M的两条切线PA，PB，若，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，得到，得出点P轨迹是圆心在原点，半径为的圆，结合两圆的位置关系列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，圆：可化为， 因为，所以四边形MAPB是正方形，所以， 可得点P的轨迹是圆心在原点，半径为的圆， 又因为点P在圆N上，所以，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D. 6. 已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项求出展开式前三项的系数，列出方程求出的值，由二项式系数的性质求出答案. 【详解】展开式中的第项为， 所以前三项的系数依次为， 依题意，有，即， 整理得，解得（舍去）或. 由二项式系数的性质可知，展开式中第5项的二项式系数最大， 即. 故选：C. 7. 已知数列的前n项和，，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用的关系可得，结合已知即可求k的值. 【详解】由题设，当时，，又， ∴，可得. 故选：C 8. 已知实数，且，为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简条件后根据形式构造函数，利用单调性判断不等式 【详解】因为，所以， 函数在上单调递增，且，因为 所以，所以，即， 又，所以，所以，即，综上，. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分数，有选错得0分） 9. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 在上单调递增 D. 图像关于原点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换规律得出，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；计算的值可判断B选项；由，在的单调性可判断C选项；利用奇函数的定义可判断D选项. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象 . 对于A选项，函数的最小正周期为，A选项正确； 对于B选项，，B选项错误； 对于C选项，，则，，在上单调递增，C选项正确； 对于D选项，函数的定义域为，， 所以，函数为奇函数，D选项正确. 故选：ACD. 10. 已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（ ） A. 当点在圆内（不与圆心重合）时，点的轨迹是椭圆 B. 点的轨迹可能是一个定点 C. 点的轨迹不可能是圆 D. 当点在圆外时，点的轨迹是双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据点所在的位置分类讨论，结合椭圆、圆、双曲线的定义判断即可. 【详解】对A，如图1，连接， 由已知得，所以． 又因为点在圆内，所以， 根据椭圆的定义，点的轨迹是以、为焦点，为长轴长的椭圆，A对； 对B，如图2， 当点在圆上时，点与圆心重合，轨迹为定点，B对； 对D，如图3，连接， 由已知得，所以． 又因为点在圆外，所以， 根据双曲线的定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线，D对； 对C，当点与点重合时，如图4， 则线段的中垂线与直线的交点即为线段的中点， 此时，，即点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，C错. 故选：ABD. 11. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前n项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前30项和为357 【答案】AD 【解析】 【分析】当时，，两式相减可求出，检验满足，可判断A；由等差数列的前项和公式可判断B；由分组求和法可判断C，D. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以， 显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C错误； 令， 所以的前30项和为： ，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数在上为减函数，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可得出关于实数的等式与不等式，解出的值，可得出函数的解析式，即可求得的值. 【详解】由已知有，解得，故，所以． 故答案为：． 13. 在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是____ 【答案】 【解析】 【分析】灯亮即开关闭合，且，至少有一个闭合，结合对立事件和独立事件的概率可解得结果. 【详解】设“开关，，闭合”分别为事件，，，则灯亮这一事件为，且，，相互独立，互斥， 所以， 故答案为：. 14. 如图，在长方体中， 分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是______・ 【答案】 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，确定在直线，再根据时线段最短即可求解. 【详解】解：如图，连结， ∵分别为的中点， ∴平面，平面， ∴平面 ∵平面，平面， ∴平面， ∵，∴平面平面， ∵平面， ∴点在直线上，在中，， ∴当时，线段的长度最小，最小值为＝. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （1）已知函数是偶函数，求的值； （2）求函数 的值域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值； (2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可. 【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：， 函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应值为. (2)由函数的解析式可得： . 据此可得函数的值域为：. 【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16. 如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2. (1)求证：AB1∥平面BC1D； (2)求异面直线AB1与BC1的夹角． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】连接交于点，连接在三角形中由中位线得，继而证明线面平行 (2) 建立空间直角坐标系,运用空间向量求出向量夹角的余弦值，从而得到夹角 【详解】(1)证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD． ∵O为B1C的中点，D为AC的中点，∴OD∥AB1. ∵AB1平面BC1D，OD平面BC1D， ∴AB1∥平面BC1D． (2)解：建立如图所示的空间直角坐标系B­xyz. 则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,2)，B1(0,0,2)． ∴＝(0，－2,2)，＝(2,0,2)． 设异面直线AB1与BC1的夹角为θ，则. ， 【点睛】本题考查了线面平行及异面直线所成角的问题，在证明线面平行时运用其判定定理，有中点找中点，构造三角形中位线或者平行四边形来证明线线平行，异面直线所成角的问题可以采用建立空间直角坐标系，运用坐标来求解。 17. 为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局） （1）求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率； （2）求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率； （3）若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件“甲队第局获胜”，利用互斥事件的概率求法求概率即可； （2）讨论上场或不上场两种情况，应用全概率公式求甲队获得最终胜利的概率； （3）利用贝叶斯公式求甲队明星队员上场的概率. 【小问1详解】 事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”， 事件“甲队第局获胜”，其中相互独立. 又甲队明星队员前四局不出场，故， ，所以. 【小问2详解】 设为甲3局获得最终胜利，为前3局甲队明星队员上场比赛， 由全概率公式知，， 因为每名队员上场顺序随机，故， ， 所以. 【小问3详解】 由（2），. 18. 如图，定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点作轴的垂线交其“伴随圆”于点，称点为点的“伴随点”．已知椭圆上的点的一个“伴随点”为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，点与点关于轴对称． （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）记（ⅰ）中的直线所过的定点为，若在直线上的射影分别为（，为不同的两点），记，，的面积分别为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由椭圆过点，其伴随圆过点列方程组即可求得椭圆方程； （2）（i）分直线的斜率不为0和为0两种情况讨论，直线的斜率不为0时可设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程，结合椭圆的对称性，利用韦达定理化简即可求得直线恒过定点； （ii）法一：设直线的方程为，分别求出，则可得，结合二次函数的性质即可得的取值范围； 法二：表示，再结合二次函数的性质即可得的取值范围； 法三：设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理化简可得，再结合二次函数的性质即可得的取值范围. 【小问1详解】 因为椭圆过点，其伴随圆过点． 所以解得 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）证明：当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，则， 联立整理得，则，，，所以， 直线的方程为，由椭圆的对称性知，若存在定点，则必在轴上． 当时， ， 即直线恒过定点． 当直线的斜率为0时，直线的方程为，也过． 综上，直线恒过定点． （ⅱ）解：法一：由题意知的斜率存在且不为0，， 设直线的方程为，，，， ， ， ， 由（ⅰ）知且， 则 ， 因为，所以，所以， 所以，所以， 故的取值范围为． 法二：， 由（ⅰ）知， ． （剩余部分同解法一） 法三：由（ⅰ）知直线恒过定点，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立整理得， 则，， 恒成立， ， ， ， 因为，不妨设，， ， 因为，所以，所以，所以， 故的取值范围为． 【点睛】对于范围和最值问题，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值或范围,最值常用基本不等式法、二次函数的性质以及利用求函数值域的方法(配方法、导数法等)求解. 解题模板: 第一步：将所求最值或范围的量用变量表示出来; 第二步：用基本不等式或二次函数的性质或求函数值域的方法求出最值或范围. 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，讨论单调性； （3）若对任意的，，恒有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值，无极大值；（2）参考解析；（3） 【解析】 【详解】试题分析：第一问，将代入中确定函数的解析式，对进行求导，判断的单调性，确定在时，函数有极小值，但无极大值，在解题过程中，注意函数的定义域；第二问，对求导，的根为和，所以要判断函数的单调性，需对和的大小进行3种情况的讨论；第三问，由第二问可知，当时，在为减函数，所以为最大值，为最小值，所以的最大值可以求出来，因为对任意的恒成立，所以，将的最大值代入后，，又是一个恒成立，整理表达式，即对任意恒成立，所以再求即可. 试题解析：（1）当时， 由解得. ∴在上是减函数，在上是增函数. ∴的极小值为，无极大值. （2）. ①当时，在和上是减函数，在上是增函数； ②当时，在上是减函数； ③当时，在和上是减函数，在上是增函数. （3）当时，由（2）可知在上是减函数， ∴. 由对任意的恒成立， ∴ 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 由于当时，，∴. 考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的极值；3.利用导数求函数的最值；4.不等式的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度成都市锦江区嘉祥外国语高级中学 高2023级高三上10月月考考试 数学学科试题题卷 注意事项： 1.开考前，请先将自己的个人信息填写在答题卡的相应位置. 2.请使用考试规定用笔进行作答，否则后果自负. 3.不得污染，折叠答题卡. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则= A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆M：，圆N：，圆N上存在点P，过P作圆M的两条切线PA，PB，若，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前n项和，，则k的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 8. 已知实数，且，为自然对数底数，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分数，有选错得0分） 9. 将函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 在上单调递增 D. 图像关于原点对称 10. 已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（ ） A. 当点在圆内（不与圆心重合）时，点的轨迹是椭圆 B. 点的轨迹可能是一个定点 C. 点的轨迹不可能是圆 D. 当点在圆外时，点的轨迹是双曲线 11. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前n项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前30项和为357 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数在上为减函数，则______． 13. 在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是____ 14. 如图，长方体中， 分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是______・ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （1）已知函数是偶函数，求的值； （2）求函数 的值域. 16. 如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝，D是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝2. (1)求证：AB1∥平面BC1D； (2)求异面直线AB1与BC1夹角． 17. 为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局） （1）求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率； （2）求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率； （3）若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率. 18. 如图，定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点作轴的垂线交其“伴随圆”于点，称点为点的“伴随点”．已知椭圆上的点的一个“伴随点”为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，点与点关于轴对称． （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）记（ⅰ）中的直线所过的定点为，若在直线上的射影分别为（，为不同的两点），记，，的面积分别为，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，讨论的单调性； （3）若对任意，，恒有成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $